Type de tenseur pour le champ magnétique

[invité576543]

Bonjour

Dans le Caroll, le calcul de l'expression tensorielle pour les équations de Maxwell n'est pas complété.

En essayant avec mes faibles moyens de le finir, j'obtiens ceci, auquel j'ajoute l'expression de la force:

(Désolé pour les br/, je ne sais pas d'où ils viennent)
### Note de la modération : ça venait de retours à la ligne dans l'environnement TEX. Je les ai enlevés ###

(Les unités et les notations sont, j'imagine, suffisamment claires...)



(S'il y a une erreur, ce qui est fort possible, merci de me l'indiquer...)

Ce qui me chagrine là-dedans est que le champ B apparaît sous les trois ordres de tenseur, à savoir (2, 0), (1,1) et (0,2). C'est beaucoup trop! Il doit bien y avoir une interprétation physiquement correcte parmi les trois. Mais laquelle?

Ensuite, si une seule sorte de tenseur est utilisée pour B, la transformation des formules fait intervenir le tenseur métrique (pour monter/descendre les indices). Autant je comprendrais l'intervention du tenseur métrique dans l'expression de la force, autant je trouve cela déplaisant dans les équations de Maxwell. Il y-a-t-il une alternative à l'introduction du tenseur métrique dans les équations de Maxwell si on veut une présentation unique pour B?

(J'ai cherché à répondre par moi-même, mais c'est assez flou. On peut interprêter les équations avec rho et J comme une dérivée extérieure, ce qui amène à repenser (rho, J) comme une 3-forme - ce qui me semble la bonne manière de voir (rho, J). Cela interprête B comme une 2-forme. Mais alors, E n'est plus un vecteur mais une 1-forme, ce qui paraît curieux...)

Cordialement,
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[invite8915d466]

par la dualité, tu peux associer n'importe quelle composante avec un indice covariant à une composante avec un indice contravariant, c'est juste une commodité d'écriture. Meme si pour un mathématicien ce n'est pas la meme chose, le physicien voit ca comme la meme quantité physique exprimée differemment !
ainsi il assimile le vecteur A (vecteur contravariant) a la 1-forme associée par dualité qui a un vecteur B associe A.B (vecteur covariant).

Le tenseur métrique permettant de passer d'une composante a l'autre apparait naturellement dans toutes les equations (il y a encore manifestement des problemes de TeX dans tes equations ) Naturellement, E et B seraient plutot des 1 et 2 formes (en fait une 2 forme quadridimensionnelle en relativité) : E associe a un vecteur géométrique dl la ddp -dV=E.dl et B associe a un element de surface dS le flux B.dS.

[invite93279690]

bonjour,

Normalement le tenseur électromagnétique covariant s'écrit:
(1)

où
et
La métrique utilisée est de signature (---+)
La composante covariante de la force s'écrit alors:
(2) où
A l'aide de (1) et (2) on remarque que la partie spatio-temporelle du tenseur EM correspond au champ électrique et que la partie purement spatiale correspond au champ magnétique.
Ce qui donne en notation matricielle:

En introduisant le quadrivecteur source de champ , les équations de Maxwell s'écrivent:

J'ai cherché à répondre par moi-même, mais c'est assez flou. On peut interprêter les équations avec rho et J comme une dérivée extérieure, ce qui amène à repenser (rho, J) comme une 3-forme - ce qui me semble la bonne manière de voir (rho, J). Cela interprête B comme une 2-forme. Mais alors, E n'est plus un vecteur mais une 1-forme, ce qui paraît curieux...

Y a-t-il un interet particulier à exprimer E comme une 1-forme et B comme une 2-forme au lieu d'être simplement les composantes du tenseur EM au niveau du formalisme? A priori ça complique un peu l'écriture non?

[invitea29d1598]

bonjour,

Y a-t-il un interet particulier à exprimer E comme une 1-forme et B comme une 2-forme au lieu d'être simplement les composantes du tenseur EM au niveau du formalisme? A priori ça complique un peu l'écriture non?

bah tout dépend du point de vue... quand tu es habitué à l'algèbre extérieure, ça simplifie au contraire... et si tu veux te placer en RG et définir proprement la notion d'intégration sur une variété, faut passer par là (sans parler de la "puissance de calcul" du formalisme de Cartan : parfois tu fais de cette façon en dix lignes des calculs qui te prennent plusieurs pages avec le calcul tensoriel usuel)

un lien qui détaille Maxwell en formes (cadre non-relativiste) en commençant par des bases :

http://www.ee.byu.edu/forms/forms-home.html

J'ai cherché à répondre par moi-même, mais c'est assez flou. On peut interprêter les équations avec rho et J comme une dérivée extérieure, ce qui amène à repenser (rho, J) comme une 3-forme - ce qui me semble la bonne manière de voir (rho, J). Cela interprête B comme une 2-forme. Mais alors, E n'est plus un vecteur mais une 1-forme, ce qui paraît curieux...

pourquoi est-ce curieux ? uniquement une question d'habitude...

Il y-a-t-il une alternative à l'introduction du tenseur métrique dans les équations de Maxwell si on veut une présentation unique pour B?

pas vraiment... si tu veux exprimer tout avec des dérivées extérieures, tu dois néanmoins faire intervenir le dual (au sens de Hodge) qui dépend de la métrique (Cartan avait remarqué ça dans les années 20)

mais tu parlais de quel "Caroll"? parce que dans ce chapitre du cours de Mac Carroll, l'approche de Maxwell à la Cartan est abordée : http://pancake.uchicago.edu/~carroll/notes/one.ps

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite93279690]

bonjour,



bah tout dépend du point de vue... quand tu es habitué à l'algèbre extérieure, ça simplifie au contraire... et si tu veux te placer en RG et définir proprement la notion d'intégration sur une variété, faut passer par là (sans parler de la "puissance de calcul" du formalisme de Cartan : parfois tu fais de cette façon en dix lignes des calculs qui te prennent plusieurs pages avec le calcul tensoriel usuel)

un lien qui détaille Maxwell en formes (cadre non-relativiste) en commençant par des bases :

http://www.ee.byu.edu/forms/forms-home.html

Merci pour ces informations!!
(j'ai vraiment pas le niveau pour l'instant )

[invité576543]

http://www.ee.byu.edu/forms/forms-home.html

Je vais regarder, merci!

pourquoi est-ce curieux ? uniquement une question d'habitude...

Tout à désapprendre! Le champ en tant que 2-forme agissant sur la 4-vitesse fois q (un flux de charge?) donne une 1-forme, et, à moins de prendre la force aussi pour une 1-forme (et donc le qv (E, p)), la métrique doit être utilisée. (Mais le qv (E, p) comme 1-forme n'est pas nécessairement idiot?)

pas vraiment... si tu veux exprimer tout avec des dérivées extérieures, tu dois néanmoins faire intervenir le dual (au sens de Hodge) qui dépend de la métrique (Cartan avait remarqué ça dans les années 20)

Le problème que j'ai est de comprendre où sont les "vrais" passages au dual. J'essaye d'expliquer: j'ai l'impression que est plus clair considéré comme le dual d'un tenseur de flux de charge, une 3-forme , parce cette forme a un sens physique clair (opérateur qui appliqué à un triplet de qv donne la charge passant à travers, et de dérivée extérieure nulle de par la conservation de la charge). Je ne serais pas étonné que la 3-forme soit indépendante de la métrique, et que celle-ci intervient dans (rho, J) du fait que c'est un dual. Ainsi, je m'imagine que selon le cas, il y a une manière de voir correcte entre une p-forme et son dual, et que l'on doit privilégier celle qui ne fait pas intervenir la métrique. Dans le cas (rho, J) c'est assez clair parce que J est un vecteur, ce à quoi on s'attend pour un dual.

Mais dans les autres cas, avec des montées et descentes d'indices plus ou moins ad-hoc, et on peut mettre des duals de Hodges (presque) partout, et cela masque le sens physique.

mais tu parlais de quel "Caroll"? parce que dans ce chapitre du cours de Mac Carroll, l'approche de Maxwell à la Cartan est abordée : http://pancake.uchicago.edu/~carroll/notes/one.ps

[/QUOTE]


C'est bien cela (c'est Sean Carroll!), mais il y un trou dans sa progression depuis la formulation classique, et sa présentation avec le dual de Hodges (si c'est de cela dont tu parles!), et j'essaye de suivre!

Mes réflexions viennent de là. Effectivement, la vision du tenseur champ comme une 2-forme est assez claire (en modifant un peu la formulation de Carroll): la charge est conservative, la 3-forme densité-flux de charge (*rho, *J) a donc une dérivée extérieure nulle, et le champ B se définit comme la 2-forme dont la dérivée extérieure est (*rho, *J); cela définit le champ a une 2-forme de dérivée extérieure nulle près, et cette liberté est levée par la condition que *B a une dérivée extérieure nulle. La signification physique de cette contrainte m'échappe...

Cordialement,

[invité576543]

Bonjour,

Merci Rincevent pour le lien forms-home... Ca complémente bien ce que je regarde. (Mais je préfère la notation tensorielle...)

Cela m'amène à clarifier quelques points de mon poste précédent.

Je croyais avoir compris que le dual de Hodges était la contraction avec le tenseur unité contravariant totalement antisymétrique, ce qui donne un multi-vecteur (par exemple en 3D, le dual d'une 2-forme est un vecteur, et en 4D, celui d'une 3-forme est un quadri-vecteur). Le texte form-homes utilise une notion de dual entre un p-forme et une (n-p)-forme. Ce passage aux formes implique une deuxième étape, une contraction avec n-p fois la métrique.

Quand tu dis que le dual dépend de la métrique, cela refère-t-il uniquement à la seconde étape, ou aussi à la première? (La contraction avec le tenseur unité contravariant totalement antisymétrique est une multiplication par le volume élémentaire - ma compréhension tout du moins - , et ce volume doit, j'imagine, avoir un rapport avec la métrique? Le 4-volume est invariant en module dans le groupe de Poincaré, mais je m'imagine qu'il ne l'est pas nécessairement en RG...)

Cordialement,

[invité576543]

Mes réflexions viennent de là. Effectivement, la vision du tenseur champ comme une 2-forme est assez claire (en modifant un peu la formulation de Carroll): la charge est conservative, la 3-forme densité-flux de charge (*rho, *J) a donc une dérivée extérieure nulle, et le champ B se définit comme la 2-forme dont la dérivée extérieure est (*rho, *J); cela définit le champ a une 2-forme de dérivée extérieure nulle près, et cette liberté est levée par la condition que *B a une dérivée extérieure nulle. La signification physique de cette contrainte m'échappe...

Cordialement,

Bonjour,

J'ai tout mis à l'envers (permutation B et *B)... Je rectifie:

Effectivement, la vision du tenseur champ comme une 2-forme est assez claire (en modifant un peu la formulation de Carroll): la charge est conservative, la 3-forme densité-flux de charge (*rho, *J) a donc une dérivée extérieure nulle, et le champ *B se définit comme la 2-forme dont la dérivée extérieure est (*rho, *J); cela définit le champ *B à une 2-forme de dérivée extérieure nulle près, et cette liberté est levée par la condition que B (le dual de *B, ou le champ dont *B est le dual) a une dérivée extérieure nulle (ce qui permet à son tour de dériver B comme différentielle extérieure d'une 1-forme, le potentiel, enfin je crois...). La signification physique de cette contrainte m'échappe...

Et le passage entre B et *B, si on veut que les deux soient des 2-formes doit faire intervenir la métrique, et cela devrait (?) intervenir dans le calcul de la différentielle extérieure?

Cordialement,