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Champ gravitationnel d'un disque plein



  1. #1
    curiossss

    Champ gravitationnel d'un disque plein

    Bonjour,

    J'aimerais connaitre la formule (exacte ou approximative) du champ gravitationnel d'un disque plein homogène d'épaisseur a et de rayon R (a << R, donc disque mince), en fonction de la distance d au centre (pour d de 0 à plus grand que R). Je ne m'intéresse qu'au plan du disque, on peut simplifier en raisonnant sur un cercle plein.

    Le calcul fait intervenir la distance à chaque point de la circonférence d'un cercle, intégrations sur la circonférence puis sur le rayon du disque, et la difficulté dépasse ce qui me reste de connaissances en math après tout ce temps sans pratiquer.

    La force qu'une masse M ponctuelle exerce à la distance x étant bien sûr : F = G.M/x^2, G constante gravitationnelle. On prendra G=1 et M=1 pour simplifier.

    Un fort en math pourrait y arriver ?
    Merci.

    -----


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  3. #2
    Sethy

    Re : Champ gravitationnel d'un disque plein

    Tout d'abord, la formulation est un peu ambiguë. On est d'accord que si tu suggères une "force", on n'est pas du tout dans le contexte de la relativité générale.

    Ensuite, il me semble justement que c'est un résultat connu. La résultante des effets sur un disque homogène concourt exactement au centre de celui-ci.

    Ca peut paraitre bizarre avec les termes 1/x2 quand on est à la surface du disque, mais pas plus que nous qui ne sommes pas attiré par une force infinie à la surface de la terre.

  4. #3
    mach3

    Re : Champ gravitationnel d'un disque plein

    Ensuite, il me semble justement que c'est un résultat connu. La résultante des effets sur un disque homogène concourt exactement au centre de celui-ci.
    je n'en mettrais pas ma main au feu. Dans le plan contenant le disque c'est très probablement la cas, sur l'axe de symétrie du disque, c'est possible, mais j'ai déjà des doutes, ailleurs aucune certitude.

    Faut faire le calcul. Deux voies possibles :
    -soit on calcule la résultante de toutes les forces en un point donné en mode brutal
    -soit on calcule le potentiel, et on extrait la force en prenant le gradient

    m@ch3
    Never feed the troll after midnight!

  5. #4
    calculair

    Re : Champ gravitationnel d'un disque plein

    a prrio ri cela doit être possible sur l'axe de symétrie

    on on peut aussi supposer que l'épaisseur du disque est petit par rapport à la distance de calcul

    mais à quoi peut servir ce résultat ?
    En science " Toute proposition est approximativement vraie " ( Pascal Engel)

  6. #5
    Sethy

    Re : Champ gravitationnel d'un disque plein

    Un extrait de la question originale :

    Citation Envoyé par curiossss Voir le message
    Je ne m'intéresse qu'au plan du disque, on peut simplifier en raisonnant sur un cercle plein.
    Effectivement, en dehors du plan, c'est faux.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    yves95210

    Re : Champ gravitationnel d'un disque plein

    Citation Envoyé par mach3 Voir le message
    sur l'axe de symétrie du disque, c'est possible, mais j'ai déjà des doutes
    à juste titre...

    Soit un disque infiniment mince de densité surfacique homogène et de rayon R. En un point de son axe de symétrie situé à une distance du centre du disque, l'accélération gravitationnelle est parallèle à l'axe de symétrie et vaut (en valeur absolue)





    On ne retrouve que pour

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  10. #7
    Deedee81

    Re : Champ gravitationnel d'un disque plein

    Salut,

    Citation Envoyé par yves95210 Voir le message
    On ne retrouve que pour
    Ah tiens, j'aurais dit intuitivement pour h ~ R. Comme quoi, faut se méfier de l'intuition.
    Merci pour ce calcul.
    Tout est relatif, et cela seul est absolu. (Auguste Comte)

  11. #8
    coussin

    Re : Champ gravitationnel d'un disque plein

    Vous pouvez faire une recherche sur le potentiel électrostatique d'un disque chargé, vous aurez plein de résultats.
    Ça se transpose trivialement à votre cas.

  12. #9
    Resartus

    Re : Champ gravitationnel d'un disque plein

    Bonjour,
    Citation Envoyé par coussin Voir le message
    Vous pouvez faire une recherche sur le potentiel électrostatique d'un disque chargé, vous aurez plein de résultats.
    Ça se transpose trivialement à votre cas.
    Bonjour,
    Pas sûr : les calculs qu'on trouve sont faits dans l'axe (ce sont ceux de Yves)
    En dehors, je crains qu'on ne puisse calculer le champ que numériquement.

    Mais si on n'est pas trop près, on doit pouvoir se contenter de rajouter à la composante en 1/r du potentiel une contribution quadrupolaire* qui est de la forme A*[3*cos(theta)^²-1)/r^3.**
    La valeur de A peut se retrouver à partir du développement en série de la formule exacte du potentiel sur l'axe
    (qui se calcule ou se trouve sur internet : c'est la même méthode que yves, mais pour le potentiel).
    Perso, je n'ai pas le courage. S'il y a des amateurs (ou des spécialistes de Wolfram...)

    *par symétrie, il n'y a pas de composante dipolaire
    ** au passage, cette formule du potentiel montre aussi que, en dehors de l'axe et du plan le champ n'est pas dirigé exactement vers le centre
    Dernière modification par Resartus ; 14/06/2019 à 15h53.
    Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast

  13. #10
    coussin

    Re : Champ gravitationnel d'un disque plein

    Oui, il n'y a que pour un endroit sur l'axe que l'intégrale est analytique grâce à la symétrie de révolution. Pour un endroit quelconque, c'est seulement numérique.
    Le but de mon message était de remarquer qu'il y a beaucoup plus de travaux faits sur le pendant électrostatique. Qui, à part curiossss, se pose la question du champ gravitationnel d'un disque...

  14. #11
    obi76

    Re : Champ gravitationnel d'un disque plein

    Citation Envoyé par coussin Voir le message
    Qui, à part curiossss, se pose la question du champ gravitationnel d'un disque...
    Je préfère ne pas savoir... cela dit je peux faire une simu vite fait...
    Paradoxalement, ce sont les débats stériles qui se reproduisent le plus.

  15. #12
    RomVi

    Re : Champ gravitationnel d'un disque plein

    Citation Envoyé par curiossss Voir le message
    Bonjour,

    J'aimerais connaitre la formule (exacte ou approximative) du champ gravitationnel d'un disque plein homogène d'épaisseur a et de rayon R (a << R, donc disque mince), en fonction de la distance d au centre (pour d de 0 à plus grand que R). Je ne m'intéresse qu'au plan du disque, on peut simplifier en raisonnant sur un cercle plein.
    Tu as fait une recherche ? On trouve notamment ceci :
    http://astrowww.phys.uvic.ca/~tatum/celmechs/celm5.pdf

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  17. #13
    coussin

    Re : Champ gravitationnel d'un disque plein

    Citation Envoyé par obi76 Voir le message
    Je préfère ne pas savoir... cela dit je peux faire une simu vite fait...
    Ça doit intéresser ceux qui pensent que la Terre est plate

  18. #14
    LeMulet

    Re : Champ gravitationnel d'un disque plein

    Citation Envoyé par coussin Voir le message
    Qui, à part curiossss, se pose la question du champ gravitationnel d'un disque...
    Ceux qui étudient les galaxies ?
    Bonjour, et Merci.

  19. #15
    curiossss

    Re : Champ gravitationnel d'un disque plein

    Citation Envoyé par LeMulet Voir le message
    Ceux qui étudient les galaxies ?
    Exact !

    Bon, en relisant ma question je ne vois plus où était la difficulté !

    Traçons une droite sur le plan du disque et passant par son centre : en partant du centre, à chaque distance d du centre la masse attractive M est proportionnelle à PI.d² (surface) étant donné que la partie du disque située à une distance supérieure à d ne contribue en rien à l'attraction (la somme des forces attractives à l'intérieur d'un anneau est égal à zéro). Considérant M concentrée au centre on a donc F = f(PI.d² / d²) = Cte (constante proportionnelle à la densité de matière dans le disque) (note : sur une sphère la force croit proportionnellement à la distance au centre...). Puis quand on sort du disque elle décroit suivant le carré de la distance au centre, comme on le sait.

    Ce résultat me parait étonnant (ça voudrait dire qu'au sein d'une hypothétique galaxie spirale homogène (entre les bras il y a presque autant de matière il parait) on devrait avoir grosso-modo partout une force attractive identique en valeur absolue. J'ai dû me tromper quelque part => vous confirmez que la somme des forces attractives à l'intérieur d'un anneau est égal à zéro ?

    Après il ne me restera plus qu'à retrouver la courbe théorique publiée par les astronomes concernant les vitesses qu'auraient dû avoir les étoiles dans une galaxie, si elles suivaient strictement et uniquement la Loi d'Attraction Universelle de Newton et sans matière noire. Ce ne sera pas compliqué Je dois quitter on m'attend, je continuerai mes réflexions plus tard ^^

    Merci à tous pour vos contributions.

  20. #16
    yves95210

    Re : Champ gravitationnel d'un disque plein

    Citation Envoyé par curiossss Voir le message
    J'ai dû me tromper quelque part => vous confirmez que la somme des forces attractives à l'intérieur d'un anneau est égal à zéro ?
    Il me semble que non (si j'ai le courage je ferai le calcul demain matin). Mais regarde le chapitre 2.4 de ce document.

  21. #17
    azizovsky

    Re : Champ gravitationnel d'un disque plein

    Dans Landau-Lifshitz tome VIII, le potentiel du champ crée par un disque circulaire chargé de rayon est :



    par simplification des coordonnées ellipsoïdales ....

    avec : x²+y²=r²
    Dernière modification par mach3 ; 14/06/2019 à 21h01. Motif: Correction de signe

  22. #18
    azizovsky

    Re : Champ gravitationnel d'un disque plein

    il y'a un + devant (formule d'un exercice ....) ## c'est corrigé ! , mach3 ##

    http://www.mathcurve.com/surfaces/tr...leorthog.shtml
    Dernière modification par mach3 ; 14/06/2019 à 21h02.

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  24. #19
    azizovsky

    Re : Champ gravitationnel d'un disque plein

    Pour ne pas prendre les maîtres pour des apprentis, je termine leurs explication:
    Au voisinage du bord du disque, on introduit, au lieu de et , les coordonnées et conformément aux frontières ainssi , on retrouve :

    sur un schéma est l'angle entre le disque à son bord et le point variable .....
    Dernière modification par azizovsky ; 14/06/2019 à 20h54.

  25. #20
    azizovsky

    Re : Champ gravitationnel d'un disque plein


  26. #21
    curiossss

    Re : Champ gravitationnel d'un disque plein

    Citation Envoyé par curiossss Voir le message
    vous confirmez que la somme des forces attractives à l'intérieur d'un anneau est égal à zéro ?.
    Bonjour,

    J'ai vérifié, c'est faux.

    Je savais qu'à l'intérieur d'une sphère creuse la gravité induite par la sphère est nulle, mais je n'ai pas le droit d'extrapoler en disant que c'est pareil pour un anneau. Mea culpa.

    En fait à l'intérieur de l'anneau la force résultante s'exerce vers l'extérieur de l'anneau (et nulle au centre bien sûr). Pour ce qui est de l'intensité de cette force les calculs sont bien plus compliqués que pour le cas d'une sphère.

    Merci pour les documents très intéressants à lire que vous m'avez fournis.

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