Champ gravitationnel d'un disque plein

[curiossss]

Bonjour,

J'aimerais connaitre la formule (exacte ou approximative) du champ gravitationnel d'un disque plein homogène d'épaisseur a et de rayon R (a << R, donc disque mince), en fonction de la distance d au centre (pour d de 0 à plus grand que R). Je ne m'intéresse qu'au plan du disque, on peut simplifier en raisonnant sur un cercle plein.

Le calcul fait intervenir la distance à chaque point de la circonférence d'un cercle, intégrations sur la circonférence puis sur le rayon du disque, et la difficulté dépasse ce qui me reste de connaissances en math après tout ce temps sans pratiquer.

La force qu'une masse M ponctuelle exerce à la distance x étant bien sûr : F = G.M/x^2, G constante gravitationnelle. On prendra G=1 et M=1 pour simplifier.

Un fort en math pourrait y arriver ?
Merci.
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[Sethy]

Tout d'abord, la formulation est un peu ambiguë. On est d'accord que si tu suggères une "force", on n'est pas du tout dans le contexte de la relativité générale.

Ensuite, il me semble justement que c'est un résultat connu. La résultante des effets sur un disque homogène concourt exactement au centre de celui-ci.

Ca peut paraitre bizarre avec les termes 1/x2 quand on est à la surface du disque, mais pas plus que nous qui ne sommes pas attiré par une force infinie à la surface de la terre.

[mach3]

Ensuite, il me semble justement que c'est un résultat connu. La résultante des effets sur un disque homogène concourt exactement au centre de celui-ci.

je n'en mettrais pas ma main au feu. Dans le plan contenant le disque c'est très probablement la cas, sur l'axe de symétrie du disque, c'est possible, mais j'ai déjà des doutes, ailleurs aucune certitude.

Faut faire le calcul. Deux voies possibles :
-soit on calcule la résultante de toutes les forces en un point donné en mode brutal
-soit on calcule le potentiel, et on extrait la force en prenant le gradient

m@ch3

[calculair]

a prrio ri cela doit être possible sur l'axe de symétrie

on on peut aussi supposer que l'épaisseur du disque est petit par rapport à la distance de calcul

mais à quoi peut servir ce résultat ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Sethy]

Un extrait de la question originale :

Je ne m'intéresse qu'au plan du disque, on peut simplifier en raisonnant sur un cercle plein.

Effectivement, en dehors du plan, c'est faux.

[yves95210]

sur l'axe de symétrie du disque, c'est possible, mais j'ai déjà des doutes

à juste titre...

Soit un disque infiniment mince de densité surfacique homogène et de rayon R. En un point de son axe de symétrie situé à une distance du centre du disque, l'accélération gravitationnelle est parallèle à l'axe de symétrie et vaut (en valeur absolue)





On ne retrouve que pour

[Deedee81]

Salut,

On ne retrouve que pour

Ah tiens, j'aurais dit intuitivement pour h ~ R. Comme quoi, faut se méfier de l'intuition.
Merci pour ce calcul.

[coussin]

Vous pouvez faire une recherche sur le potentiel électrostatique d'un disque chargé, vous aurez plein de résultats.
Ça se transpose trivialement à votre cas.

[Resartus]

Bonjour,

Vous pouvez faire une recherche sur le potentiel électrostatique d'un disque chargé, vous aurez plein de résultats.
Ça se transpose trivialement à votre cas.

Bonjour,
Pas sûr : les calculs qu'on trouve sont faits dans l'axe (ce sont ceux de Yves)
En dehors, je crains qu'on ne puisse calculer le champ que numériquement.

Mais si on n'est pas trop près, on doit pouvoir se contenter de rajouter à la composante en 1/r du potentiel une contribution quadrupolaire* qui est de la forme A*[3*cos(theta)^²-1)/r^3.**
La valeur de A peut se retrouver à partir du développement en série de la formule exacte du potentiel sur l'axe
(qui se calcule ou se trouve sur internet : c'est la même méthode que yves, mais pour le potentiel).
Perso, je n'ai pas le courage. S'il y a des amateurs (ou des spécialistes de Wolfram...)

*par symétrie, il n'y a pas de composante dipolaire
** au passage, cette formule du potentiel montre aussi que, en dehors de l'axe et du plan le champ n'est pas dirigé exactement vers le centre

[coussin]

Oui, il n'y a que pour un endroit sur l'axe que l'intégrale est analytique grâce à la symétrie de révolution. Pour un endroit quelconque, c'est seulement numérique.
Le but de mon message était de remarquer qu'il y a beaucoup plus de travaux faits sur le pendant électrostatique. Qui, à part curiossss, se pose la question du champ gravitationnel d'un disque...

[obi76]

Qui, à part curiossss, se pose la question du champ gravitationnel d'un disque...

Je préfère ne pas savoir... cela dit je peux faire une simu vite fait...

[RomVi]

Bonjour,

J'aimerais connaitre la formule (exacte ou approximative) du champ gravitationnel d'un disque plein homogène d'épaisseur a et de rayon R (a << R, donc disque mince), en fonction de la distance d au centre (pour d de 0 à plus grand que R). Je ne m'intéresse qu'au plan du disque, on peut simplifier en raisonnant sur un cercle plein.

Tu as fait une recherche ? On trouve notamment ceci :
http://astrowww.phys.uvic.ca/~tatum/celmechs/celm5.pdf

[coussin]

Je préfère ne pas savoir... cela dit je peux faire une simu vite fait...

Ça doit intéresser ceux qui pensent que la Terre est plate

[invite6486d7bd]

Qui, à part curiossss, se pose la question du champ gravitationnel d'un disque...

Ceux qui étudient les galaxies ?

[curiossss]

Ceux qui étudient les galaxies ?

Exact !

Bon, en relisant ma question je ne vois plus où était la difficulté !

Traçons une droite sur le plan du disque et passant par son centre : en partant du centre, à chaque distance d du centre la masse attractive M est proportionnelle à PI.d² (surface) étant donné que la partie du disque située à une distance supérieure à d ne contribue en rien à l'attraction (la somme des forces attractives à l'intérieur d'un anneau est égal à zéro). Considérant M concentrée au centre on a donc F = f(PI.d² / d²) = Cte (constante proportionnelle à la densité de matière dans le disque) (note : sur une sphère la force croit proportionnellement à la distance au centre...). Puis quand on sort du disque elle décroit suivant le carré de la distance au centre, comme on le sait.

Ce résultat me parait étonnant (ça voudrait dire qu'au sein d'une hypothétique galaxie spirale homogène (entre les bras il y a presque autant de matière il parait) on devrait avoir grosso-modo partout une force attractive identique en valeur absolue. J'ai dû me tromper quelque part => vous confirmez que la somme des forces attractives à l'intérieur d'un anneau est égal à zéro ?

Après il ne me restera plus qu'à retrouver la courbe théorique publiée par les astronomes concernant les vitesses qu'auraient dû avoir les étoiles dans une galaxie, si elles suivaient strictement et uniquement la Loi d'Attraction Universelle de Newton et sans matière noire. Ce ne sera pas compliqué Je dois quitter on m'attend, je continuerai mes réflexions plus tard ^^

Merci à tous pour vos contributions.

[yves95210]

J'ai dû me tromper quelque part => vous confirmez que la somme des forces attractives à l'intérieur d'un anneau est égal à zéro ?

Il me semble que non (si j'ai le courage je ferai le calcul demain matin). Mais regarde le chapitre 2.4 de ce document.

[azizovsky]

Dans Landau-Lifshitz tome VIII, le potentiel du champ crée par un disque circulaire chargé de rayon est :



par simplification des coordonnées ellipsoïdales ....

avec : x²+y²=r²

[azizovsky]

il y'a un + devant (formule d'un exercice ....) ## c'est corrigé ! , mach3 ##

http://www.mathcurve.com/surfaces/tr...leorthog.shtml

[azizovsky]

Pour ne pas prendre les maîtres pour des apprentis, je termine leurs explication:

Au voisinage du bord du disque, on introduit, au lieu de et , les coordonnées et conformément aux frontières ainssi , on retrouve :

sur un schéma est l'angle entre le disque à son bord et le point variable .....

[azizovsky]

Une idée des lignes d'équipotentiel pour

https://www.wolframalpha.com/input/?...%B2%2B4y%C2%B2))

ou

https://www.wolframalpha.com/input/?...%B2%2B4y%C2%B2))

[curiossss]

vous confirmez que la somme des forces attractives à l'intérieur d'un anneau est égal à zéro ?.

Bonjour,

J'ai vérifié, c'est faux.

Je savais qu'à l'intérieur d'une sphère creuse la gravité induite par la sphère est nulle, mais je n'ai pas le droit d'extrapoler en disant que c'est pareil pour un anneau. Mea culpa.

En fait à l'intérieur de l'anneau la force résultante s'exerce vers l'extérieur de l'anneau (et nulle au centre bien sûr). Pour ce qui est de l'intensité de cette force les calculs sont bien plus compliqués que pour le cas d'une sphère.

Merci pour les documents très intéressants à lire que vous m'avez fournis.