Démonstration du théorème de l'énergie cinétique

[invitefca0057f]

Bonjour lors de la démonstration du théorème de l'énergie cinétique en partant de la relation fondamentale de la dynamique, il y a une opération que je ne comprends pas. Enfin du moins qu'il ne me semblait pas possible de réaliser.
On part de :
F = ma
Et on applique à cette formule un déplacement infinitésimal dr :
F = ma = ma.dr (ou le . est "scalaire" entre le vecteur a et le vecteur r)
ma.dr = m(dv/dt).dr

Jusque là tout va bien, on a juste exprimé l'accélération a par la dérivée de la vitesse par rapport au temps : dv/dt.
Mais à ce moment là, dans la démonstration on se permet d'écrire cela :

m(dv/dt).dr = mdv.(dr/dt) (A)

C'est cette opération que je ne comprends pas, comment est-il possible mathématiquement décrire cette égalité ? C'est toujours le cas ?

Cela nous permet ensuite d'écrire :
(dr/dt) = v => mdv.dv
Et on en déduit ensuite dEc = d(1/2*m*v²)
Mais ma question porte sur l'opération (A)

Merci à vous, bien cordialement.
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[Yezu]

Salut,

On appelle cela un raisonnement à la physicienne ^^

[invitedd63ac7a]

On considère en général que v et r sont des fonctions du temps t, définies deux fois dérivables au moins d'un intervalle de IR dans IRˆ3.
Si dr est une variation infinitésimale de r obtenue par une variation infinitésimale de t on a:
dr=(dr/dt)dt, avec (dr/dt) la dérivée> (c'est la définition mathématique de la différentielle, en gros)
il en est de même de :
dv=(dv/dt)dt
Ceci dit, on a:
(dv/dt).dr=(dv/dt).[(dr/dt)dt]
On peu sortir le dt du produit scalaire car il se comporte comme un réel
(dv/dt).dr=(dv/dt).[(dr/dt)]dt
(dv/dt).dr=[(dv/dt)dt].(dr/dt)
(dv/dt).dr=dv.(dr/dt)
J'ai répondu en mathématicien, enfin je pense, un physicien aura peut-être une autre lecture du problème...

[invitef29758b5]

Salut

On peut faire plus simple en écrivant la deuxième loi du mouvement de Newton sous la forme :
F.dt = m.dv
On multiplie scalairement des 2 cotés par v
F.v.dt = m.v.dv
F.dr = m.d(v²)/2

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitefca0057f]

Merci @eudea-panjclinne,
C'est exactement une réponse de mathématicien dont j'avais besoin.
Ta réponse me montre bien le raisonnement qui me manquait.

Merci à toi, je vais pouvoir préciser ça dans mon calcul, ça m'aidera à l'avenir.