Energie de l'état fondamental

[PetiteAnne]

Bonsoir,

Je me demandais comment expliquer clairement pourquoi pour un système composé de N spins, l'énergie de l'état foncdamental diminue avec le nombre de spins du système ?
Par exemple, le énergie de l'état fondamental pour un système composé de 100 spins sera plus basse que l'énergie de l'état fondamental pour un système composé de seulement 10 spins.

Je sais que par exemple la fonction d'onde de l'état fondamentale d'une particule dans une boîte unidimensionelle est une sinusoïde d'une demi période qui tend vers zéro aux deux bords de la boîte, et que l'énergie de la particule sera donnée par :

où h est la constante de Planck,
m la masse de la particule,
n l'énergie de l'état (n=1 correponsdant à lénergie de l'état fondamentale),
et L la largeur de la boîte.
Mais dans cet exemple, c'est la particule.

Maintenant, que se passe-t-il quand on considère un système de 4 spins par exemple dans un réseau cubique ? Je veux dire, quelle sera l'énergie fondamentale de ce système en entier ? Et si ensuite, je considère un système de 8 spins dans un réseau "hypercubique", l'énergie fondamentale de ce système sera plus basse que le système de 4 spins.
Mais comment expliquer cela mathématiquement (ce n'est pas simplement une addition de N termes de l'équation précédente.)?


Merci d'avance pour tout élément de réponse !
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[albanxiii]

Bonjour,

Le calcul de l'énergie d'un système de spins n'est pas le même que celui d'une particule dans un boîte.
Ce qui importe, ça n'est pas la dimension de la boîte, mais la disposition relative des spins entre eux et les constantes de couplage entre voisins.
En l'absence de couplage, et en présence d'un champ magnétique, l'énergie est proportionnelle à la différence entre le nombre de spins up et le nombre de spins down, donc si le rapport spins up / spin down reste constant, l'énergie du fondamental sera plus basse pour un système composé d'un plus grand nombre de spins.

Ce qui vous pose peut-être problème c'est que contrairement à la particule dans une boîte, l'énergie du fondamental pour un spin placé dans un champ magnétique est négative. C'est juste un problème de référence, puisque toutes les énergies dans ce cas sont définies par rapport à un niveau arbitraire.

Dans l'état de plus haute énergie, un système de 100 spins aura une énergie plus grande qu'un système de 10 spins. Dit comme ça, j'imagine que cela ne vous choque pas ?

[PetiteAnne]

Bonjour,

Le calcul de l'énergie d'un système de spins n'est pas le même que celui d'une particule dans un boîte.
Ce qui importe, ça n'est pas la dimension de la boîte, mais la disposition relative des spins entre eux et les constantes de couplage entre voisins.
En l'absence de couplage, et en présence d'un champ magnétique, l'énergie est proportionnelle à la différence entre le nombre de spins up et le nombre de spins down, donc si le rapport spins up / spin down reste constant, l'énergie du fondamental sera plus basse pour un système composé d'un plus grand nombre de spins.

Ce qui vous pose peut-être problème c'est que contrairement à la particule dans une boîte, l'énergie du fondamental pour un spin placé dans un champ magnétique est négative. C'est juste un problème de référence, puisque toutes les énergies dans ce cas sont définies par rapport à un niveau arbitraire.

Dans l'état de plus haute énergie, un système de 100 spins aura une énergie plus grande qu'un système de 10 spins. Dit comme ça, j'imagine que cela ne vous choque pas ?

Merci pour votre réponse et votre rapidité Mais en fait, je ne suis pas sûre de comprendre parce que si l'énergie est proportionelle à la différence entre le nombre de spins up et le nombre de spins down, alors si on est dans, par exemple, un système avec un même nombre de spins up et spins down (par exemple, le modèle d'Heisenberg antiferromagnétique), alors l'énergie fondamentale serait de zéro ... Mais ce n'est évidemment pas ce que j'observe. Mais peut-être que je vous ai mal compris ?

Et il y a autre chose, c'est que énergie de l'état fondamental pour un système composé de 100 spins est plus basse (et non plus haute) que l'énergie de l'état fondamental pour un système composé de seulement 10 spins. Et en fait, c'est ça que j'aimerais comprendre pourquoi ?

Est-ce que vous pourriez expliquer autrement ?

[Deedee81]

Salut,

Mais ce n'est évidemment pas ce que j'observe.

Tu peux préciser où tu l'observes (je soupçonne comme Albanxiii une simple définition du "zéro") ?

Et il y a autre chose, c'est que énergie de l'état fondamental pour un système composé de 100 spins est plus basse (et non plus haute) que l'énergie de l'état fondamental pour un système composé de seulement 10 spins. Et en fait, c'est ça que j'aimerais comprendre pourquoi ?

Cela a été expliqué. Si le zéro d'énergie est choisi de tel manière que le fondamental a une énergie négative, alors 10 fois l'énergie négative donne une énergie plus basse. C'est juste une question de signe.

[A voir en vidéo sur Futura]

[PetiteAnne]

Si le zéro d'énergie est choisi de tel manière que le fondamental a une énergie négative, alors 10 fois l'énergie négative donne une énergie plus basse. C'est juste une question de signe.

Merci Deedee81 ! Oui, cela doit être cela. Mais c'est peut-être une question bête mais comment fait-on pour choisir un zéro d'énergie de sorte que le fondamental ait une énergie négative ?

Et mon autre question sur une énergie proportionelle à la différence entre le nombre de spins up et le nombre de spins down tient toujours. Si l' énergie est proportionelle à la différence entre le nombre de spins up et le nombre de spins down, alors si on est dans, par exemple, un système avec un même nombre de spins up et spins down (par exemple, le modèle d'Heisenberg antiferromagnétique), alors l'énergie fondamentale serait de zéro ... Mais ce n'est évidemment pas le cas. Mais j'ai certainement mal compris ... C'est peut-être un peu maladroit de ma part d'insister mais j'aimerais vraiment comprendre .
Prenons un exemple concret : que se passe-t-il (par rapport à l'énergie fondamentale) si on augmente le nombre de spins d'un système de chaine de spins (système unidimensionel) dans le cadre du modèle d'Heisenberg antiferromagnétique ou bien le modèle d'Ising ? L'énergie fondamentale du système est censée diminuer quand on augmente le nombre de spins mais pourquoi ? A cause de la longueur du système et de la masse des particules ?

[Deedee81]

Merci Deedee81 ! Oui, cela doit être cela. Mais c'est peut-être une question bête mais comment fait-on pour choisir un zéro d'énergie de sorte que le fondamental ait une énergie négative ?

Ben, c'est juste une convention, une constante à ajouter ou soustraire, etc.

Un exemple, l'énergie potentielle de liaison. Pour la gravité on choisi souvent "le sol" pour l'état avec une énergie zéro. Et l'énergie potentielle est mgh donc positive si h est positif.
Par contre, il est fréquent en physique atomique de choisir zéro pour les électrons libres et les états liés ont alors une énergie négative (-13.6 eV pour l'hydrogène dans son état fondamental).

Et mon autre question sur une énergie proportionelle à la différence entre le nombre de spins up et le nombre de spins down tient toujours. Si l' énergie est proportionelle à la différence entre le nombre de spins up et le nombre de spins down, alors si on est dans, par exemple, un système avec un même nombre de spins up et spins down (par exemple, le modèle d'Heisenberg antiferromagnétique), alors l'énergie fondamentale serait de zéro ...

En effet.

Mais ce n'est évidemment pas le cas.

Pourquoi "évidemment" ???

Si l'énergie du fondamental obtenu d'une certaine manière vaut E. Je peux toujours dire "je change mon énergie de référence et j'enlève la constante E à la valeur". L'énergie du fondamental devient alors 0. Et ce quel que soit le système envisagé (que ce soit des spins ou pas).

Prenons un exemple concret : que se passe-t-il (par rapport à l'énergie fondamentale) si on augmente le nombre de spins d'un système de chaine de spins (système unidimensionel) dans le cadre du modèle d'Heisenberg antiferromagnétique ou bien le modèle d'Ising ? L'énergie fondamentale du système est censée diminuer quand on augmente le nombre de spins mais pourquoi ? A cause de la longueur du système et de la masse des particules ?

Parce que l'énergie du fondamental c'est N (spins) fois la valeur du fondamental pour un seul spin (ou deux si ça va par paire comme dans l'antiferromagnétisme).
Si le fondamental a une énergie zéro, alors N fois zéro reste zéro.
S'il a une énergie positive, alors ça augmente.
S'il a une énergie négative, alors ça diminue.

A nouveau, tout dépend de la manière dont on a défini le fondamental. Même dans les modèles de Heisenberg ou Ising ça peut varier d'un auteur à l'autre.
Il faudrait vraiment que tu nous donnes la formule que tu as en main pour pouvoir mieux comprendre.
(dans la formulation habituelle : https://fr.wikipedia.org/wiki/Hamiltonien_de_Heisenberg la valeur du fondamental et le signe dépend des constantes J et g).

[PetiteAnne]

Merci Deedee81 ! J'ai compris

Je m'intérroge maintenant sur les autres autres choses (autre que le nombre de spins du système) qui peuvent influencer l'énergie du niveau fondamentale. Pour reprendre les 2 modèles dont je parlais dans le message précédent, pourquoi, pour un même système (c'est-à-dire le même nombre de spins et la même géométrie de réseau), nous avons une énergie d'état fondamental inférieure pour le modèle de Heisenberg antiferromagnétique (AFHM) par rapport à l'énergie d'état fondamental du modèle d'Ising avec champ transverse (TFIM)? Quelle est la signification physique (et / ou la raison mathématique) derrière cela?

Par exemple, un système à 10 spins avec l'AFHM a une énergie d'état fondamental inférieure à celle du même système (10 spins) avec le TFIM. Pourquoi ? J'ai lu des discussions intéressantes sur ce forum sur certaines des différences entre ces deux modèles mais je n'ai vu aucune de ces différences qui pourrait expliquer pourquoi l'énergie de l'état fondamental d'un système à N spins avec AFHM est inférieure à l'énergie de l'état fondamental du même système de N spins avec TFIM.
Enfin, je me doute que cela a voir avec le champ magnétique transverse h qu'il y a dans l'hamiltonien de TFIM qu'il n'y a pas dans l'hamiltonien de AFHM, mais je ne sais pas clairement pourquoi (j'ai juste des "suspicions" pas très claires), et je me dis qu'il a d'autres raisons en plus peut-être ?

Pour être plus précise, l' hamiltonien considéré pour l’AFHM est :
.
Avec L = longueur de la chaîne, c'est-à-dire le nombre de spins.
Conditions aux limites périodiques.
σ⃗ = (σ , σ, σ): vecteur des matrices de Pauli. (Il y a un facteur 2 entre les matrices de Pauli et les opérateurs de spin 1/2 (donc un facteur de 4 dans H )).

Pour le TFIM, le hamiltonien est :


où J = 1 et h = 1 est le champ magnétique transverse.
Condition limite périodique.
Peut-être que la réponse peut être essentiellement expliquée par le fait qu'il existe le terme suivant dans le hamitonien TFIM, et qui n'est pas présent dans le hamiltonien AFHM?

[Deedee81]

Salut,

Peut-être que la réponse peut être essentiellement expliquée par le fait qu'il existe le terme suivant dans le hamitonien TFIM, et qui n'est pas présent dans le hamiltonien AFHM?

Je ne vois que ça oui, en effet.

[PetiteAnne]

Salut,



Je ne vois que ça oui, en effet.

En fait, je me suis trompée de signe : le terme avec le champ transverse magnétique h ne vient avec un signe + mais avec un signe -. Il y a un signe - devant le terme contenant h. Donc, finalement, c'est pas ça. Peut-être que c'est simplement/mathématiquement parlant le fait qu'il y a plus de termes dans l'hamiltonian de l'AFHM ? Mais du coup, physiquement parlant, je pensais que j'aurais dû avoir l'inverse comme résultats (ie une énergie fondamentale pour un même système plus basse pour TFIM (car il y a un terme -h et donc comme y a un champ magnétique, je croyais que l'énergie fondamentale diminuait plus vite que dans le cas AFHM) que pour AFHM (qui est une chaine "antiferromagnétique" càd qui alterne spins up et spins down)) ?

[Deedee81]

Oui, pour le signe j'avais vu sans relever.

Mais tu as raison, ça devrait être plus bas dans le cas TFIM. Là je ne comprend pas bien. Espérons qu'un plus calé que moi va passer

[PetiteAnne]

Oui, pour le signe j'avais vu sans relever.

Mais tu as raison, ça devrait être plus bas dans le cas TFIM. Là je ne comprend pas bien. Espérons qu'un plus calé que moi va passer

C'est ma faute, je me suis précipitée : j'ai fait une faute dans les hamiltoniens. Je vais donc les réécrire pour que ce soit plus clair :

Pour AFHM, c'est :
.
Avec J=-1 et L = longueur de la chaîne, c'est-à-dire le nombre de spins.
Conditions aux limites périodiques.
σ⃗ = (σ , σ, σ): vecteur des matrices de Pauli. (Il y a un facteur 2 entre les matrices de Pauli et les opérateurs de spin 1/2 (donc un facteur de 4 dans H )).

Pour le TFIM, le hamiltonien est :


où J = 1 et h = 1 est le champ magnétique transverse.

Donc AFHM est antiferromagnétique (avec son nom, c'est difficile de se tromper) et TFIM est ici (avec J=1 et non -1) est en changement de phase (h/J = 1) et est entre le paramagnétique (où h/J<1) et le ferromagnétique (où h/J >1) (et donc, c'est quoi quelque chose entre le paramagnétique et le ferromagnétique, ça ressemble à quoi physiquement parlant ?).

--> Le fait que j'obtienne une plus basse énergie fondamentale pour TFIM que pour AFHM pour un même système vien finalement sans doute du fait pour TFIM, j'ai choisi h=1 ce qui est petit (mais qui m'a permis d'étudier une transition de phase). Si je prenais un h plus élevé, j'aurai une plus basse énergie fondamentale pour AFHM que pour TFIM. Correct ?

Pour AFHM, J=-1 (antiferromagnétique), on appelle ça une phase et non une transition de phase pour J=-1, n'est-ce pas ?

[Deedee81]

Tout ça m'a l'air juste cette fois, mais avec un petit grain de sel car j'ai beaucoup potassé le ferromagnétisme et pratiquement pas l'antiferromagnétisme (et assez peu le modèle d'Heisenberg). Et je ne voudrais pas t'induire en erreur.

Pour :
"Et donc, c'est quoi quelque chose entre le paramagnétique et le ferromagnétique, ça ressemble à quoi physiquement parlant"

Le "entre" fait ici juste référence aux constantes de couplage, physiquement c'est assez différent (paramagnétisme, spins orientés aléatoirement mais qui s'orientent sous un champ magnétique externe, ferromagnétisme alignement spontané, antiferromagnétisme alignement spontané alterné des spins).

[PetiteAnne]

Tout ça m'a l'air juste cette fois, mais avec un petit grain de sel car j'ai beaucoup potassé le ferromagnétisme et pratiquement pas l'antiferromagnétisme (et assez peu le modèle d'Heisenberg). Et je ne voudrais pas t'induire en erreur.

Pour :
"Et donc, c'est quoi quelque chose entre le paramagnétique et le ferromagnétique, ça ressemble à quoi physiquement parlant"

Le "entre" fait ici juste référence aux constantes de couplage, physiquement c'est assez différent (paramagnétisme, spins orientés aléatoirement mais qui s'orientent sous un champ magnétique externe, ferromagnétisme alignement spontané, antiferromagnétisme alignement spontané alterné des spins).

Merci encore pour la rapidité de vos réponses ! En tout cas la dernière réponse que vous avez postée me rend moins confuse à propos du côté physique de cette transition de phase. J'y vois plus clair. Merci

Et pour les autres questions qui restent, peut-être en effet que quelqu'un passera plus tard avec quelques infos supplémentaires à ce sujet ... Je reste prenante mais c'est vrai que sur le web, je trouve pas non plus de réponse à ce sujet.