Vidange réservoir fluide visqueux et retenu du fluide

[inviteaee6a73a]

Bonjour,

Je fais appel à votre aide car je cherche à expliquer un phénomène physique dont je ne comprends pas le fonctionnement et à calculer un temps de vidange.

• Pour faire simple : un fluide en l’occurrence de l'huile est contenu dans un tube cylindrique, une extrémité est bouchée hermétiquement l'autre est ouverte. J'aimerais comprendre pourquoi le fluide ne s'écoule pas ? Est-ce que c'est dû au fait que la pression atmosphérique à l'extérieur du tube est plus importante que la pression de l'air au dessus du fluide notée P1 ?

• En considérant que le volume du fluide est connue ainsi que l'orifice de sortie j'aimerais calculer le temps de vidange de ce réservoir. Je ne peux pas appliquer les équations de Bernoulli et la formule de Torricelli car le fluide est visqueux. D'où ma question, il-y-a t-il une façon de calculer à la main le temps de vidange d'un réservoir avec un fluide visqueux ?

Tout indice serai le bienvenue! Excellente soirée!

Merci!
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[gts2]

Votre explication est la bonne, l'huile commence à couler, le gaz au-dessus occupe un volume plus grand, sa pression baisse, et elle baisse suffisamment pour arrêter l'écoulement.

Pour ce qui est de l'écoulement, une fois enlevé le bouchon, si l'huile est suffisamment visqueuse, le débit est donné par la loi de Hagen Poiseuille associé à la loi de Bernoulli généralisé (avec pertes de charge).

[Opabinia]

Bonjour,

Prendre 3 points sur l'axe vertical de symétrie du système:
- (A) et (B), infiniment proches mais situés de part et d'autre de la surface libre inférieure du liquide, assimilable à une calotte sphérique de rayon (R) bombée vers l'extérieur;
- (C) placé au niveau de la surface plane de séparation du même liquide avec le gaz qui le surmonte.

Il suffit d'écrire: P_A - P_C = P_A - P_B + P_B - P_C ;
sachanr que l'on a par ailleurs:

P_A = P_atm ; P_C = P₁ ;
P_A - P_B = -A°/R (due à la tension superficielle (A°) du liquide),
P_B - P_C = µgh (écart hydrostatique de pression),

il vient:

P₁ = P_atm + A°/R - µgh .

Le terme en (A°/R ) est probablement négligeable.

Voilà pour l'état initial, qui relève de l'hydrostatique.

[Opabinia]

Aspect cinétique: il s'établit rapidement un équilibre quasi-stationnaire pour lequel la surpression responsable de l'écoulement du liquide (µgh) est compensée par la perte de charge accompagnant l'écoulement du fluide visqueux (k.D); µgh = kD .

On a par ailleurs le volume de liquide fonction affine de (h): V = V° + Sh ,
et par définition le débit volumique de fluide sortant: D = -(dV/dt), d'où: D = -S(dh/dt) ;
la hauteur de liquide dans le tube vérifie donc l'équation différentielle: -kS(dh/dt) = µgh ,
laquelle admet une solution de la forme:

h = h°.Exp(-(µg/kS).t) .

On suppose ici la perte de charge localisée au niveau de l'orifice inférieur, très étroit par rapport au cylindre; cependant il ne va pas de soi que les forces de frottement visqueux soient négligeables au niveau du tube vertical lui-même; cela conduirait, en tenant compte de la loi de Poiseuille, à prendre un facteur (k) non constant, de la forme:

k = k₀ + k₁.h .

La solution exacte moins simple, mais le résultat reste qualitativement inchangé.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaee6a73a]

Bonjour,

Merci beaucoup à tous les deux pour vos éléments de réponse !
En reprenant les équations j'obtiens les résultats suivants :

Aspect hydrostatique:

Pa - Pc = Pa - Pb + Pb - Pc
Pa = Patam Pc = P1
Pa - Pb = Pb = -A°/R
Pb - Pc = µgh

Le fluide étant de l'huile d'olive, A° = 32mN.m-1; Restimé = 1mm; µ = 900kg/m3; g = 9,81 N.kg; h = 0,1m

En négligeant le rapport A°/R on obtient :
P1 = Patm - µgh soit P1 = 101 325 - (900 x 9,81 x 0,1) = 100 442 Pa

P1 étant inférieur à Patm le fluide ne s'écoule donc pas.

Aspect cinétique:

Je ne suis pas certain d'avoir bien saisis le sens de V° et h°. Est-ce une condition aux limites ? Pour la valeur du coefficient K, est-ce possible d'utiliser une valeur de perte singulière standard (https://www.thermexcel.com/french/re.../pdc_singu.htm) ou il faut aussi le calculer ? Pour calculer la vitesse d'écoulement gravitaire et ainsi connaitre le débit, dois-je passer par la formule de Torricelli ? Etant débutant dans ce domaine, si cela est suffisamment proche de la réalité j'aimerais me limiter au calcul de la perte de charge localisée, cela parait plus simple. Au vu de la faible vitesse d'écoulement puis-je prendre l'hypothèse d'un écoulement laminaire ?

N'hésitez pas à me reprendre si j'ai commis une erreur. Encore merci pour votre aide!

[Opabinia]

Je ne suis pas certain d'avoir bien saisi le sens de V° et h°

(V°) désigne une constante liée à l'emplacement de l'origine, emplacement ici mal défini;
(h°) représente la valeur initiale (t = 0) de la hauteur de liquide.