calcul de self inductance : cas d'une perle de ferrite

[cupidonihack]

Bonjour tout le monde,

Voila bien longtemps que je n'ai pas pratiqué dans ce domaine.
Vous verrez que je suis bien rouillé et nul en math, enfin bon je vais tout de même tenter d'être clair dans l'énonciation du problème et dans ma démarche de résolution (qui coince).

Je cherche ici à calculer l'inductance d'un fil droit parcouru par un courant alternatif I (Arms) en fonction de la géométrie et de la perméabilité d'une perle de ferrite.

la perméabilité de la perle de ferrite vaux µ1 à la fréquence d'excitation.
La perle de ferrite est considérée comme un cylindre entourant le fil, elle à un diamètre intérieur noté a*2 et un diamètre extérieur noté b*2 (b et a étant la notation des rayons respectifs en mètre).
La longueur de la ferrite est notée petit l . (toutes les longueurs sont en mètre)



voici la démarche de résolution que j'ai tenté sans succès :

1) j'exprime la valeur de l'inductance en fonction du courant qui traverse le fil et du flux magnétique:



2) j'exprime le flux magnétique en fonction de r en tenant compte que µ dépend de r:



3) je découpe l'intégrale par portion de µ(r) constante ce qui me donne:



4) le second terme entre a et b semble être à ma portée mais pour le reste je coince.... :



pour le ln de 0 je peux peut etre considèrer la section du fil à la place mais pour ln(+inf) alors la mon cerveau explose ... s'il vous plait comment puis je m'en sortir?

Bonne soirée/journée/nuit !
-----

[Biname]

Salut,

Tu es dans le cas d'un circuit magnétique fermé(le champ magnétique boucle sans sortir de la ferrite, pas d'entrefer), si ur>>>u0, on peut alors considérer que tout le flux passe dans la ferrite et négliger le flux extérieur ... ouf ! (Ton intégrale devrait le prouver).

Par contre, en signaux forts, tu as un autre problème, la perméabilité relative n'est pas constante, elle dépend de la courbe BH aussi connue sous le doux nom d'hystérésis qui dépend des caractéristiques de la ferrite.

Aucune théorie ne couvre le sujet, je te conseille le modèle de LTSpice : http://ltwiki.org/LTspiceHelpXVII/LT...l/L-device.htm en bas de page.

Biname

[gts2]

Bonjour,

Première intégrale : on est à l'intérieur du fil et B change d'expression, si I est réparti uniformément . De plus il est dans ce cas, difficile de définir une surface de circuit, on utilise plutôt une méthode énergétique.
Troisième intégrale : l'intégrale diverge, mais c'est normal, le fil infini est quand même une modélisation très forte.

La première inductance (rectifiée) est négligeable par rapport à la deuxième.
Pour la troisième le fil finira par faire une boucle, donc donnera une surface finie, mais ce qui vous intéresse en fait est la modification de l'inductance suite à la mise de la perle, donc la deuxième intégrale.

[cupidonihack]

Merci beaucoup !
@ Biname : En effet j'ai mal présenté le problème en oubliant de dire que je comptais calculer la self inductance en petit signaux (tenant compte ainsi que de de µi) donc en dehors des seuils de saturation ou d'effet non linéaire. Merci pour le modèle LT Spice ! en effet l'hypothèse µr >> µ0 est très arrangeante pour justifier de négliger le flux qui passe à a l’extérieur de la self.
@ gts2 : je prenais (surement à tord) l'exemple d'un fil de section tendant vers 0, or effectivement avec ce modèle si j'ai bien compris la densité de courant tend vers l'infini . Je peux considérer la section du conducteur = c et utiliser la relation que tu fourni pour avoir le flux magnétique dan le conducteur, puis prendre ma première intégrale entre c et a et considérer que le troisième terme est négligeable dans le cas µ1>>µ0 , je devrais alors trouver que les deux premiers termes (flux interne au conducteur et flux entre le conducteur et la perle de ferrite) sont négligeable . ais je bien compris ?

Si je peux abuser, j'aimerais connaitre la méthode qui me perpétrais de pouvoir résoudre le même genre de problème en introduisant un air gap dans le circuit magnétique , je pensais calculer une perméabilité équivalente (µeq < µ1 ) qui diminuerait en fonction de la taille du air gap mais je coince au niveau math. J'ai lu également que cet air gap aide à élever le seuil de saturation de la feritte (est ce uniquement à cause de la diminution de la perméabilité ?). Qu'en est il des pertes provoquée par une telle modification?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gts2]

Je prenais (surement à tord) l'exemple d'un fil de section tendant vers 0, or effectivement avec ce modèle si j'ai bien compris la densité de courant tend vers l'infini. Je peux considérer la section du conducteur = c et utiliser la relation que tu fourni pour avoir le flux magnétique dan le conducteur, puis prendre ma première intégrale entre c et a et considérer que le troisième terme est négligeable dans le cas µ1>>µ0 , je devrais alors trouver que les deux premiers termes (flux interne au conducteur et flux entre le conducteur et la perle de ferrite) sont négligeable.

La densité de courant infini n'est pas vraiment un problème : ce n'est que la schématisation d'un fil fin, par contre le champ qui tend vers l'infini va conduire à une inductance infinie.
Prendre la première intégrale entre c et a signifie que vous oubliez l'inductance "interne" du fil négligeable donc OK.
Votre nouvelle première intégrale sera négligeable par rapport à la deuxième, OK.
Votre troisième terme n'est pas négligeable, il est infini, le problème est plutôt que cette intégrale ne représente pas l'inductance d'un circuit réel.

J'aimerais connaitre la méthode qui me permettrait de pouvoir résoudre le même genre de problème en introduisant un air gap dans le circuit magnétique , je pensais calculer une perméabilité équivalente (µeq < µ1 ) qui diminuerait en fonction de la taille du air gap mais je coince au niveau math. J'ai lu également que cet air gap aide à élever le seuil de saturation de la feritte (est ce uniquement à cause de la diminution de la perméabilité ?).

Vous pouvez calculer µeq en écrivant le théorème d'Ampère avec un entrefer .
On voit que B diminue, il suffit de calculer l'entrefer pour que B(Imax)<Bmax, Bmax raisonnable pour rester en zone linéaire et éviter la saturation.

[Biname]

Salut,

Il me semble++ que l'intégrale n'est pas bonne ???, IIRC la loi de Biot Savart est introduite par le théorème de Gauss ??? qui concerne des surfaces fermées (le rond dans l'intégrale), ici entre zéro et l'infini ... plus ouvert que ça ?

Sejam

[gts2]

Il me semble que l'intégrale n'est pas bonne ?

De quelle intégrale parlez-vous ?

[Biname]

De quelle intégrale parlez-vous ?

Parmi les trois ? Celle dont une borne est l'infini ... au moins.
Surface fermée ou contour fermé, à mon avis l'erreur est là mais c'est un peu loin pour moi (??? ~~mon Biot Savart ??? serait plutôt Ampère )
https://fr.wikiversity.org/wiki/Cham...%27Amp%C3%A8re
Biname

[cupidonihack]

elle est pour sur fausse dans sa syntaxe car j'ai écris dx au lieu de dr par réflexe . je viens de me rendre compte que ma solution ne prend pas en compte la longueur l de la ferrite. ça fait déjà deux erreurs il me semble. en tout cas mon intension était de calculer le flux passant au travers de surfaces a partir de la définition de leurs contours .

[gts2]

Bonjour

" je viens de me rendre compte que ma solution ne prend pas en compte la longueur l de la ferrite."
Si (c'est autre faute de frappe) le b de votre intégrale est en fait le l (longueur de la ferrite).

"Surface fermée ou contour fermé, à mon avis l'erreur est là ... Ampère"

Pourquoi une référence au théorème d'Ampère dans une erreur signalée dans un calcul de flux ?
Le problème initial est le calcul de l'inductance d'un fil infini, la fermeture du circuit se fait à l'infini (on est dans une modélisation très (trop ?) forte). Pour y voir clair il faut donc prendre une modélisation moins forte, mais pour cela il faut savoir dans quel contexte, cette perle de ferrite a un rôle à jouer.

[Biname]

Re ,

" je viens de me rendre compte que ma solution ne prend pas en compte la longueur l de la ferrite."
Si (c'est autre faute de frappe) le b de votre intégrale est en fait le l (longueur de la ferrite).

Là on est d'accord ! Ma sieste me l'a révélé aussi mais ça ne résout rien.

"Surface fermée ou contour fermé, à mon avis l'erreur est là ... Ampère"

Pourquoi une référence au théorème d'Ampère dans une erreur signalée dans un calcul de flux ?

Parce que le flux est une fonction du champ magnétique, ici à une distance r d'un conducteur de longueur infinie(Biot Savart/Ampère) et qu'après, on calcule le flux à travers une surface avec ?l'intégrale de flux de ?Gauss.
Mais je ne domine plus/pas.
Pour les noms, j'avais tout bon :
https://en.wikipedia.org/wiki/Biot%E2%80%93Savart_law à la fin on lit : "The Biot–Savart law, Ampère's circuital law, and Gauss's law for magnetism", manque Maxwell mais faisons simple.

Le problème initial est le calcul de l'inductance d'un fil infini,

Fastoche, elle est infinie . La perle/tore et son fil traversant présente une inductance à ses 'bornes'.
On pourrait répondre que l'inductance de la perle traversée par un fil est une constante et donc une caractéristique donnée par le fabriquant , vu que le diamètre du fil importe peu et que le fil ne passe qu'une fois dans la perle qui en fait est un tore qui se cache.

la fermeture du circuit se fait à l'infini (on est dans une modélisation très (trop ?) forte). Pour y voir clair il faut donc prendre une modélisation moins forte, mais pour cela il faut savoir dans quel contexte, cette perle de ferrite a un rôle à jouer.

IIRC, le champ à distance est une approximation si r << longueur du fil ?
Une autre 'erreur' est le dx qui devrait être dr ... mais là non plus, ça ne résout rien, quoique ça ???pourrait amener un r² au dénominateur de l'intégrale, ce qui ferait sauter ce logarithme qui me gène beaucoup.

Pour l'air gap, faut passer par les réluctances ... en pratique, un air gap de 1mm et moins fait chuter 'énormément' le µr du circuit magnétique.

Biname

[gts2]

Fastoche, elle est infinie .
Ce qui ferait sauter ce logarithme qui me gène beaucoup.

La présence du logarithme est cohérente avec "Fastoche, elle est infinie."

[Biname]

Salut,

La présence du logarithm est cohérente avec "Fastoche, elle est infinie."

Je ne décode pas bien, c'est ambigû ?
L'inductance d'un fil de longueur infinie est infine : https://www.eeweb.com/tools/wire-inductance

Biname

[gts2]

Il n'y a pas d'ambiguïté, l'inductance est bien infinie comme vous le dites et ln(infini) est infini aussi.
Cela prouve simplement que l'incohérences de la définition de l'inductance d'un fil infini sont cohérentes !

[Biname]

Il n'y a pas d'ambiguïté, l'inductance est bien infinie comme vous le dites et ln(infini) est infini aussi.
Cela prouve simplement que l'incohérences de la définition de l'inductance d'un fil infini sont cohérentes !

Oui ! Il n'empêche que le fil présente aux deux extrémités de la perle une inductance.
https://www.youtube.com/watch?v=UUfZR33FblY 7 minutes en anglais, le champ dans le conducteur central = µ0 J r / 2 entre 0 et R si ur = u0 (Cu par exemple)
Fi = µ0 J L integ(r) dr entre 0 et R = ½ µ0 L J R² = ½ µ0 I L / Pi = µ0 I L / 2Pi (R = a ici)

La présence de la perle modifie l'intensité du champ pour r > b ... apuka l'prouver !

Biname

[gts2]

Bonjour,

Pour ce qui est de la perle, la proposition, certes approximative, proposée par @cupidonihack dans le premier post a l'avantage d'être simple : là où se trouve la ferrite, on multiplie le champ par

Pour ce qui est de l'inductance interne, elle vaut et non comme vous l'indiquez.

Ceci étant, le problème "pratique" n'est pas là : le circuit avant pose de la perle a une inductance (interne faible calculable, externe dépendant fortement de la géométrie du circuit qui ne peut se résumer à un fil infini), et ce qu'il est en fait nécessaire de calculer est l'augmentation de l'inductance due à l'ajout de la perle, et la deuxième intégrale du post initial le fait.

[Biname]

Salut,

Pour ce qui est de l'inductance interne, elle vaut et non comme vous l'indiquez.

J'ai perdu le demi dès la première ligne, ça me donne µ0 L / 4Pi ... encore un pti effort !
Merci,
Biname

[cupidonihack]

je viens de lire vos réponses, encore un grand merci pour l'ensemble de vos réponses qui apportent beaucoup à ma compréhension.
Effectivement la grandeur b contenu dans la fraction devant mes intégrales devraient en fait être l.
Je pense en effet que j'ai mal posé le problème à la base en faisant apparaitre un fil de longueur infini. Je trouve très intéressante l'idée de calculer "l'apport de la ferrite" en prenant compte la deuxième partie de l'intégrale.
En vous ayant lu,je me demande à présent en consultant les datasheets de composant tels que ceux de wurth de quelle impédance parlent ils lorsqu'ils présentent l'impédance de leur snap ferrite.(je vois la réponse venir que ce sont des valeurs mesurées) mais correspondent t'elle à l'accroissement de l'impédance (Zavecferrite - Zsansferrite)?
Si oui, pour rester avec la même convention, devrais je considérer l'impédance un fil de longueur fini comme étant Zsansferrite ou simplement la "portion" d'impédance raménée par µ0 dans le volume occupé par la ferrite ?
Si non est seulement la portion avec ferrite qui est à considérer ?
Encore un grand merci pour vos démonstrations/ explications qui me sont d'une grande aide!

[Biname]

Pas certain que mes interventions furent d'un grand intérêt ? Sauf la première et encore ?

L'impédance des datasheets est celle du circuit équivalent avec tous ses composants 'parasites', sans les inductances des 'pattes' ... amhhha.
Pour évaluer, dimensionner, on passe par un logiciel ? On trouve un 'spice model' pour tous les composants et il est assez simple de l'intégrer à un circuit.
https://www.murata.com/en-global/too...st-ferritebead

A 65 ans, ca m'a fait une bonne révision mais je ne suis pas satisfait
Ces 'petits' cours en anglais trouvés grâce à vous, ici, il calcule le champ dans et autour d'un tore en 8 minutes, pas loin de notre cas sauf que pour nous I à l'extérieur n'est pas égal à zéro.
https://www.youtube.com/watch?v=pCSHcftPAIM

Une information intéressante est que je n'ai pas trouvé une théorie pour un tore avec un simple fil traversant, on ne doit pourtant pas être les premiers à se poser la question ...

Biname

[gts2]

Bonjour,

En prenant une ferrite au hasard chez Wurth, avec votre formule on trouve bien l'ordre de grandeur. J'ai bien dit ordre de grandeur, ceci d'autant plus que les données sont à 25 MHz et on voit sur la courbe Z(f) qu'on commence à s'éloigner de Z=Lw qui devrait donner une droite de pente 1 (les courbes sont en log-log).

[cupidonihack]

@Biname : Sisi j'ai pu redécouvrir le théorème d'ampère grave aux video et les question que vous avez soulevées sont très intéressantes .
@gts2 : selon Bimane et le premier lien qu'il nous fourni sur la modélisation spice de la ferrite on trouve un composant capacitif modèlisant le phénomène de résonance de la ferrite ainsi que son comportement "capacitif" passé une cette fréquence.

J'attribuais ce phénomène à deux choses :
1 ) la chute de µ'' et de µ' (mais surtout µ'') qui débute aux environ de la fréquence de résonance (faisant chuter l'impédance de la ferrite à la manière d'une capa qui la courcircuite)
2 ) l'existance d'une réelle capacité parasite entre les deux accès de la perle (mais celle ci étant tres faible je doute que son effet soit prédominant dans ce cas précis contrairement aux composants bobiné)

la modélisation spice s'appuyant sur des composant passif indépendants de la fréquence on retrouverait donc cette capa qui relate en fait le changement de comportement de µ complexe passé une certaine fréquence. a cela une résistance est rajoutée pour donner le µ' et le coeffiscient de qualité de l'ensemble.
Est ce que je me trompe en disant cela?

pour aller plus loin, je vois que gts2 à retrouvé l'ordre de grandeur d'un composant wurth @ 25MHz et constate un ecart grandissant en montant en fréquence , est ce que la valeur L dans l'equation Z= Lw considére un µ qui change avec la fréquence et donc L(f)

[Biname]

Lorsqu'on ne connait pas, on imagine mal la puissance des logiciels type LTSpice. Si vous ne connaissez pas, les premiers pas sont simples et on trouve des tas d'exemples qu'il 'suffit' d'adapter. Sous LTSpice tout est possible ... yakade.
La capacité parasite est de l'ordre de 1pF

[cupidonihack]

Effectivement j'ai parcouru les exemples LTspice et ils sont très parlants.
Je poursuivais mes investigations sur la saturation de cette ferrite. Je pensais que l'aumgementation de la section traversée par le flux diminuait la saturation mais d'après l'application du théoréme d'ampère je trouve que c'est uniquement dépendant de la longueur du circuit (circonférence) . Or j'avais en tête une relation un peu sortie de nul part qui me disait que B=Phi/s (cela sous entends que B est homogène dans le matériaux or cela me semble faux) peut etre cette formule était applicable aux cas de dispositifs bobinés ?
intuitivement j'aurais alors dit que en augmentant la valeur de b , la portion saturée à partir de la distance a restait saturée mais a partir d'une certaine distance du fil le materiaux deviendrais non saturé et remplirait son role. ce qui me fait dire que en augmentant la section on aurait une saturation plus "progressive", cela s'accompagne d'une aumentation de l'impédance proportionnelle à Ln(b/a).
toutefois, si je considère juste une augmentation de la longueur de la ferrite pour augmenter sa section alors elle reste saturée car pour chaque portion de longueur rajouté on retrouve une partir de fil induisant un champ magnétique supplémentaire... j'en déduis que l'augmentation de la longueur de la ferrite ne conduit qu'a augmenté son impédance sans diminuer son niveau de saturation .
Ais je raison ?
Bonne journée!

[gts2]

Pour ce qui est de , c'est en effet utile pour les circuits magnétiques, les lignes de champ suivent les milieux ferromagnétiques et le flux se conserve, donc une augmentation de section conduit bien à une diminution de B, et l'application du théorème d'Ampère se fait en effet plutôt sur le flux (formule d'Hopkinson).
Là sur le parcours d'Ampère dans la ferrite la section transverse est constante, donc on peut bien sortir B (en fait H) de l'intégrale.

Sinon pour la longueur , on doit avoir en gros et idem pour Z.

[Biname]

@cupidon : la saturation d'un matériau ferromagnétique ne dépend que du champ H : B= uH, excellente remarque ? En augmentant la section du noyau, on augmente le flux magnétique (FI= B.S) ... et c'est dans le flux qu'est la 'puissance', le 'débit'.

B=uH : on assimile/confond souvent les deux champs H et B - car il s'agit de deux champs, l'un est un 'multiple' de l'autre - mais derrière ce 'µ' se cache toute la misère du monde : para, dia et ferro-magnétisme et pour ce dernier : non linéarité, non continuité du milieu, non homogénéité, ???. Un champ, d'un point de vue mathématique, est un champ vectoriel, c'est à dire qu'à chaque point de l'espace est associé un vecteur de composantes (f(x,y,z),g(x,y,z),h(x,y,z)), B et H sont donc des valeurs liées à des points, pour passer à la surface, on passe au flux = B.S (vecteurs) qui, en math, est introduit par le théorème du ??flux?? ou de ??Gauss ??, IIRC FI=Integ B.ds qui devient celui d'Ampère pour le champ magnétique IIRC ... faudrait retrouver un cours, tout vecteurs : integ E.ds devient integ E.dl dans certaines conditions de ?divergence, ?rotationnel, théorème de ??Green ... ? sur ma très longue 'to do list' depuis ?cinq jours.

On confond aussi u0 et u0*u_air, ceci permet de ne pas différencier H et B mais dès qu'apparaît un matériau ferromagnétique, on est dans le jus perdu entre B et H.

Pour comprendre les matériaux ferromagnétiques et donc leur inductance et leur saturation, il faut remonter aux domaines de Weiss et aux parois de ??Bloch?? (assez simple et mathless).

Biname

Exemple de champ : E(x,y,z) | (x²+y, z²+3, y²-2) quelles sont les composantes du vecteur champ aux points (0,0,0) et (1,1,1) ?

[Biname]

Moi aussi, cette ferrite avec son fil traversant me pose beaucoup de questions ?

Est-ce que dans un matériau ferromagnétique de dimensions finies le champ varie en fonction de r ... à première vue oui. Dans le cas du noyau d'un transformateur ? Ou d'une inductance ? Là, c'est moins clair ? Et pour faire très très difficile, dans le cas de notre perle de ferrite avec son unique fil traversant ? Il n'y aurait qu'une simple petit tour bobiné bien complet, on se fierait à la vidéo #2 du ricain à nœud pap mais, pour nous, I dans la boucle d'ampère n'est pas nul et donc le champ extérieur à la perle n'est pas nul.

En plusse, c'est quoi la différence entre le champ d'Ampère et celui de Biot-Savart(vidéo du même ricain) ? Et quoi, tout ça, c'est en courant continu ... yakade dire que I est une fonction du temps ? On ne va quand même pas aller réveiller Maxwell ?

Biname

[cupidonihack]

je ne sais pas dire en quoi Ampère diffère de biot et savart , il me semble qu'ampère dans son application est beaucoup plus restrictif a cause de contraintes de symétries... c'est tout ce dont je me souviens ... à l'évidence je vais devoir reprendre l'ensemble de la théorie au calme en mode étudiant, je ne pensais que j'avais de meilleurs restes de mes années étudiantes ... sans pratique on oublie ...

Je me suis repenché sur le calcul de l'impédance de cette maudite ferrite en applicant le second terme de mon intégrale , en réalisant l'application numérique sur un objet concret de Fair rite (part number 2661102002 ) cf : https://www.fair-rite.com/product-ca...ression-cores/ et en considérant la permeabilité complexe du matériau 61 donné ici : https://www.fair-rite.com/61-material-data-sheet/ .
je tombe complétement à coté de la plaque ... c'est désespérant...
je concidère dans mon calcul les choses suivantes :

toujours en considérant biot et savart et µ1 étant µ de la ferrite >> 1
je ne considère alors que le second terme de l'intégrale ce qui me donne

ce terme correspond au flux total circulant dans le noyaux ferromagnétique de la ferrite d'après le formalise de µ1 il devrait etre complexe comme µ1 donc je m'excuse pour les notations mathématiques foireuses.
je présume alors que je peux écrire la formule suivante :

si Phi est complexe alors automatiquement L devra l'etre ce qui en soit me pose problème mais bon.... je pose alors la relation suivant découlant de ce que je viens de dire :

L0 est la self inductance sans ferrite R et JX est une représentation standard complexe de l'impédance contenant un élément resistif (réél dissipatif) et un élément imaginaire (ici je l'attend inductif).
Z étant complexe je défini le module d'impédance comme étant la racine de sa partie réelle au carré plus sa partie imaginaire au carré.
ce module d'impédance me donne 31 ohms avec les paramètres suivants , f=250 MHz , a = 12,8mm b = 25,9mm , l = 28,6mm, µ''@250MHz= 31,8 , µ'= 10,62
or la datasheet donne 346 Ohms mesurés .... Je suis dans les choux , c'est frustrant

Merci en tout cas pour votre aide , je sais que c'est un gros effort mais pouvez vous essayer me dire si vous obtenez de meilleurs résultats s'il vous plait ?

[cupidonihack]

en furetant sur internet , je suis tombé sur un calculateur de self impédance qui dévoile sa formule : http://www.consultrsr.net/resources/eis/induct5.htm
la valeur L0 minimale est ateinte lorsque on considère le diamètre max du conducteur central soit le rayon intérieur de la ferrite (a= 12,8mm) , la longueur l est de 28,6mm , le calculateur donne un L0 égal à 9,15nH.
en reprenant Z=w.µ1.L0 @ 250MHz avec µ''@250MHz= 31,8 , µ'= 10,62 j'obtient 482Ohms , bizarement je constate qu'en applicant le facteur ln(b/a) = 0,69 à ce résultat j'obtiens 332Ohms ce qui se rapproche déjà plus de 346Ohms. Est ce une coincidence ? je vais retenter le calcul sur une autre ferrite pour voir si ça colle.

[gts2]

Avec vos valeurs, je trouve un R de 200 ohm au lieu de 300 (donc bon ordre de grandeur) et un X de 67 au lieu de 180 (un peu moins bon) et donc Z de 223 au lieu de 346.
Vu la technique de calcul, je trouve cela tout à fait correct.

Pour votre calcul, vous n'auriez pas oublier le de ?

"Si Phi est complexe alors automatiquement L devra l'être".
Oui c'est normal, la partie imaginaire de mu traduit les pertes, qui va se traduire en schéma équivalent par une résistance.

[Biname]

@cupidon
Si je prends une demi spire (N = 0.5) et la loi d'ampère (https://www.youtube.com/watch?v=pCSHcftPAIM)
B = µ0 µr N I / (2 pi R) pour simplifier je prends R = R moyen de 21mm pour ton tore et u0 = 4 pi e-7 et µr= 125
FI = B S
L = FI / I = B S / I ... il reste L = 2 µr N L 1e-7 = 2 * 125 * 0.5spires * 0.029 * 1e-7 = 362nH
Impédance à 250 MHz : 2 pi 250e6 362e9 = 569 ohms on s'approche
(ça me rappelle un transformateur ne comptant qu'une seule spire incomplète au secondaire, nous nous résolûmes à mettre un coefficient sur le nombre de spires pour N<?3, IIRC pour une spire avec deux 'flancs' on prenait k = 0.666??)

En ajustant bien k=0.315 spires, on trouve pile 346 ohms
Il est très probable qu'à 250MHz, la capacité en // avec l'inductance ne soit plus négligeable .... il serait plus simple de fonctionner à une fréquence plus basse où µ" est négligeable (je n'avais jamais entendu parler de perméabilité complexe avant).

Je voulais aussi essayer Biot-Savart entre 0 et L et non plus -inf et +inf ? La ferrite dévie le champ et à mon avis en ramène beaucoup du troisième terme vers le second de ton intégrale msg#1

Biname