Mécanique des fluides - approche Eulérienne - Décomposition Helmholtz

[Loosgin]

Mesdames, Messieurs,

Est-ce que quelqu'un aurait une meilleur vulgarisation que ce que j'ai écrit ?

"
l'approche Eulérienne consiste à prendre un cliché de la section du fluide à un instant t. Et d'en étudier en chacun des points, la valeur des grandeurs physiques telles que la pression; la masse volumique et la vitesse.

L'approche eulérienne est très pratique lorsqu'un écoulement est dit "permanent" : ses grandeurs n'évoluent pas au cours du temps.
L'approche eulérienne utilise le potentiel des champs vectoriels qui permettent d'aborder les champs vectoriels sous un angle complémentaire. Le potentiel des champs vectoriels est enfaite la décomposition de Helmholtz stipulant que tout champ vectoriel (ayant des propriétés particulières) peut être décomposé en 1 somme d'une partie longitudinale et d'une partie transversale.
La partie longitudinale est irrotationnelle, elle correspond à la partie conservative du champ vectoriel. "Conservative" car la différence de potentiel entre 2 points ne dépend pas du chemin suivi.
La partie transversale a une divergence nulle : c'est un champ solénoïdal. Les lignes de ce champ sont appelées les lignes de courant.
La somme des 2 construit la fonction complexe qui égale à la partie longitudinale + i * partie transversale.
"

Je souhaite garder dans cette vulgarisation la partie mathématique : "la décomposition de Helmholtz". En effet, tous les cours que j'ai pu lire (électromagnétisme et Mécafluide) parlent des potentiels des champs vectoriels mais ils ne disent pas d'où ça vient. Et j'ai mis beaucoup de temps à trouver la justification mathématique : "la décomposition de Helmholtz". Sans cette décomposition, j'ai l'impression que le potentiel des champs vectoriels sort un peu du chapeau.
Je vous remercie pour votre attention.
-----

[chris28000]

Bonjour,
la décomposition d'Helmholtz n'est valable que dans le cadre de l’approximation de milieux incompressibles.

En électromagnétisme, les potentiels des champs vectoriels viennent des équations de Maxwell.

[invite410b67e3]

Bonjour,
«…. Le potentiel des champs vectoriels sort un peu du chapeau. »
Dans mes tentatives pour comprendre les équations de maxwell, je suis tombé sur un article de Bruno Jech qui pourrait peut-être vous intéresser.

http://materiel-physique.ens-lyon.fr...9/0815D163.PDF

J’en profite pour demander si quelqu’un connait le dispositif « mécanique » de Fitzgerald citée dans cet article :
« Les Maxwelliens, comme Maxwell lui-même, aimaient à concevoir, et même à construire des modèles mécaniques dont la dynamique était régie par des équations analogues aux équations électromagnétiques. En 1885 Fitzgerald réalisa un tel dispositif dont l’excellent fonctionnement conforta à ses yeux les équations de l’électromagnétisme. »
Mais c’est un autre sujet…

[Resartus]

Bonjour,
Peut-être une erreur de traduction : ce n'était pas un "dispositif" :
Ce que faisait Maxwell c'est essayer de ramener ses équations de l'électromagnétisme à celles d'un fluide qui, idéalement, aurait été l'éther.
Fitzgerald a tenté une approche utilisant des analogies différentes, qui était meilleure
Aucune des deux n'était parfaite, et il a fallu la relativité pour comprendre pourquoi cela ne pouvait pas marcher
Si vous parlez anglais, ce lien en dit un peu plus
https://books.google.fr/books?id=IMl...0model&f=false

[A voir en vidéo sur Futura]

[gts2]

La décomposition d'Helmholtz n'est valable que dans le cadre de l’approximation de milieux incompressibles.

La décomposition d'Helmholtz est très générale et non limitée aux milieux incompressibles.
On parle davantage de Helmholtz en mécanique des milieux continus pour distinguer déformation et rotation.
En mécanique des fluides, on le fait aussi, mais sans faire intervenir explicitement Helmholtz, quand on introduit les viscosités.

[chris28000]

Ah ok,
merci!

[Loosgin]

Bonjour,
«…. Le potentiel des champs vectoriels sort un peu du chapeau. »
Dans mes tentatives pour comprendre les équations de maxwell, je suis tombé sur un article de Bruno Jech qui pourrait peut-être vous intéresser.

http://materiel-physique.ens-lyon.fr...9/0815D163.PDF

J’en profite pour demander si quelqu’un connait le dispositif « mécanique » de Fitzgerald citée dans cet article :
« Les Maxwelliens, comme Maxwell lui-même, aimaient à concevoir, et même à construire des modèles mécaniques dont la dynamique était régie par des équations analogues aux équations électromagnétiques. En 1885 Fitzgerald réalisa un tel dispositif dont l’excellent fonctionnement conforta à ses yeux les équations de l’électromagnétisme. »
Mais c’est un autre sujet…

Je te remercie pour ce partage ô combien intéressant.

En définitif, et si j'ai bien compris, le potentiel vecteur en électromagnétisme (tout comme en mécanique des fluides) est juste un outil/concept mathématique qui permet d'exprimer le flux magnétique que traverse une surface, c'est bien cela ?

Le potentiel vecteur peut aussi avoir un sens physique en étant interprété aussi comme une quelque chose qui exprime la densité de flux d'un champ magnétique ?

[invite410b67e3]

Bonjour,
Pour répondre à Loogsign qui a écrit:
« En définitif, et si j'ai bien compris, le potentiel vecteur en électromagnétisme (tout comme en mécanique des fluides) est juste un outil/concept mathématique qui permet d'exprimer le flux magnétique que traverse une surface, c'est bien cela ?
Le potentiel vecteur peut aussi avoir un sens physique en étant interprété aussi comme une quelque chose qui exprime la densité de flux d'un champ magnétique ? »

C’est moi aussi ce que j’ai cru comprendre, mais franchement je n’ai pas les compétences pour confirmer cela. Je m’ intéresse aux relations entre « sens physique » et concepts mathématiques, et ce texte m’a interpellé.

[Loosgin]

Bonjour,

j'étudie en parallèle la mécanique des fluides et je pense que j'ai trouvé un lien intéressant pour intuitiver "le potentiel vecteur" d'un champ magnétique.

Est-ce que l'on peut dire qu'un champ de vecteur vitesse d'un fluide incompressible joue le même rôle que le potentiel vecteur pour l'électromagnétisme ? Je m'explique : si on calcul l'intégrale d'une surface quelconque qui coupe un champ de vecteurs de vitesse d'un fluide incompressible; nous obtenons une débit ou encore un flux de fluide. Un flux ou encore en débit (en mécanique des fluides, ces 2 notions sont confondues) mesure la quantité de matière qui traverse une surface quelconque par unité de temps.
Et le potentiel vecteur peut aussi avoir un sens physique en étant interprété aussi comme une quelque chose qui exprime la densité de flux d'un champ magnétique. Une densité de flux mesure la quantité de matière qui passe à travers quelquechose par unité de temps et par unité de surface.

[gts2]

Est-ce que l'on peut dire qu'un champ de vecteur vitesse d'un fluide incompressible joue le même rôle que le potentiel vecteur pour l'électromagnétisme ?

Oui, le champ de vitesse du à un champ a la même géométrie que le champ de du à : vs. (analogie de Helmholtz), mais il ne faut pas pousser le bouchon trop loin : interversion entre vecteur axial et polaire.

Je m'explique : si on calcul l'intégrale d'une surface quelconque qui coupe un champ de vecteurs de vitesse d'un fluide incompressible; nous obtenons une débit ou encore un flux de fluide.

Ce n'est pas lié à l'incompressibilité, c'est la définition même d'un débit.

Et le potentiel vecteur peut aussi avoir un sens physique en étant interprété aussi comme une quelque chose qui exprime la densité de flux d'un champ magnétique.

La "densité de flux d'un champ magnétique" est la définition de B : 1T=1Wb/m².