Vorticité du tourbillon Lamb-Orsen

[Loosgin]

Mesdames, Messieurs,

J'ai rencontré un problème où l'écoulement d'un tourbillon "Lamb-Orsen" est décrit par l'équation suivante :
Enoncé.PNG

On est bien d'accord que la dernière équation : la vorticité du tourbillon "Lamb-Orsen" est juste ? On est bien d'accord ?!
vorticité.png
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[gts2]

En dehors des coordonnées cartésiennes, l'utilisation de nabla sans précautions est risqué !

Voir pour l'expression du rotationnel en cylindrique wikipedia

Pour résoudre, trois possibilités :

1- usage "correct" de nabla
2- utilisation d'un formulaire
3- utilisation du théorème intégral sur un parcours judicieux.

Si vous n'avez pas de formulaire, la 3 est sans doute plus simple.

[Loosgin]

Tout d'abord, je te remercie pour votre retour.

L'énoncé n'offre pas assez de données pour utiliser la 3.
J'ai utilisé le choix 2) (le choix de la facilité) puis le choix 1) (le choix de la difficulté).

Pour être sûr que j'ai bien compris: en coordonnées sphériques usuelles (r,theta, z) (et non (x,r,theta) comme dans l'énoncé), nous avons :



On est d'accord que le provient du volume infinitésimal tel que où le est le périmètre infiniment petit de l'arc de cercle ? et

[gts2]

Pour le 3, vous avez deux possibilités
- théorème intégrale sur une surface infiniment petite (sic !) : ici un "trapèze" entre r et r+dr et et
- théorème intégrale sur un cercle horizontal centré sur l'axe : , on dérive :

Votre nabla est correct mais pas le vecteur vitesse qui est . Il ne faut pas oublier que l'on dérive un vecteur et pas les composantes.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Loosgin]

Ok, merci pour la 3 ... Bon à savoir !


Mais alors (pour la 1) pourquoi il y a un r qui apparaît au numérateur ? D'où il provient ce r ?

[gts2]

On explicite pour simplifier dans le cas utile : et

puisque ne dépend pas de r.
puisque f ne dépend pas de \theta.
On obtient donc comme composante

Tout çà avec les mains, on peut automatiser/généraliser/formaliser ... juste pour montrer qu'il faut aussi dériver le vecteur unitaire, ce qui ne peut apparaitre avec la notation du message #3.

[Loosgin]

Super, Je vous remercie pour avoir explicité tout ça. Ah oui, vous avez utilisé la formule de Bour pour dériver le vecteur unitaire.

Donc, le r au numérateur est une conséquence du produit vectoriel.

En revanche, je ne comprends pas trop la dernière égalité. En effet,

Du coup non ?

[gts2]

Si on développe qui est bien l'expression attendue.

[Loosgin]

Ah oui, ok, j'ai vu le lien. On intègre le r, qui est une variable, dans la dérivée partielle.