Mesures sur des axes différents de spins 1/2 intriqués

[Antonium]

Bonjour,

Soit un état de spin singulet dans la base où on mesure le spin selon l'axe . En envoyant un des électrons à Alice et l'autre à Bob qui mesurent les spins selon des axes arbitraires et séparés par un angle , j'essaye de calculer la probabilité qu'ils mesurent deux valeurs opposées.

J'ai utilisé une méthode un peu brutale :
En calculant l'opérateur de spin pour une particule dans la direction je trouve , où les angles sont les angles en coordonnées sphériques conventionnelles.

Les vecteurs propres sont et . (*)
En inversant ces relations et en injectant dans l'état initial je trouve , donc les mêmes composantes malgré le changement de base.

Je peux donc dire sans perte de généralité qu'Alice mesure son spin dans la direction et Bob dans une direction qui diffère d'un angle polaire .

En supposant qu'Alice mesure , l'état collapse et la probabilité que Bob mesure est : , et on trouve de même pour la probabilité qu'Alice mesure et Bob mesure .

Je pense que le résultat est juste, mais je soupçonne l'existence d'une méthode beaucoup plus rapide et élégante pour y arriver, ce qui contrasterait avec ma technique "bourrin".

Je suis également étonné de trouver des résultats qui dépendent de l'angle azimutal alors que le système initial me semble invariant sous ces rotations...
En effet en considérant un électron dans un état initial et en utilisant les relations (*), je trouve que la probabilité de mesurer en mesurant selon l'axe est . Il me semble curieux que cette probabilité dépende du côté depuis lequel on regarde le système qui est initialement en superposition "haut" + "bas", et donc garde la même forme peu importe depuis quel angle on l'observe.

Si vous avez des remarques/suggestions ou des références à me proposer j'en serais ravis !
D'avance merci pour votre temps et bonne soirée.
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[Antonium]

le système qui est initialement en superposition "haut" + "bas", et donc garde la même forme peu importe depuis quel angle on l'observe.

Après réflexion et calculs je crois que cette affirmation est fausse vu que l'état de spin se transforme de façon non triviale sous . En effet le facteur vient changer les signes dans l'état initial pour que les observateurs s'accordent sur les probabilités calculées.
J'en déduis que ma deuxième interrogation est résolue, mais j'attends toujours de savoir si le problème pour trouver les probabilités qu'Alice et Bob mesurent des valeurs opposées n'aurait pas une solution plus simple que le calcul brut et direct que j'ai proposé.

Merci et bonne journée