détail technique de RG linéarisée

[invited40176e2]

bonjour à tous,

voilà dans le cadre de la RG linéarisé, on pose que la métrique de l'espace temps complet peut être écrit comme
g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+h_{\m u\nu}
où \eta_{\mu\nu} est la métrique non perturbé (Minkowski par exemple) et h_{\mu\nu}
une perturbation alors le problème est
si on note le déterminant det( g_{\mu\nu})=g
comment obtenir l'expression de
\sqrt{g} en terme d'une série de h_{\mu\nu}?
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[Karibou Blanc]

On peut montrer que pour :
ou alors :

.

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[Karibou Blanc]

Je reprends :

g=det(),
h=trace de la perturbation

alors on a

donc pour la racine, c'est rapide, on obtient :




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[invited40176e2]

merci beaucoup KB,
il valait juste développer la racine en série de taylor mais avec les matrice j'étais pas à l'aise,
j'aimerais savoir comment on peut montrer que
abs{g}=1+trace{h}?
Et donc pour le développement de sqrt{g} jusqu'à l'ordre deux en h, on aura simplement
\sqrt{g}=1+\frac{1}{2}h-\frac{1}{4}h^2+...?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Karibou Blanc]

Salut,

C'est pas abs{g} mais determinant de g ! Le mieux est de commencer par montrer que det(Id+X)=1+Tr(X). Il suffit d'écrire la définition du déterminant (somme sur les permutations blabla...) et de faire un DL autour de X=0.

\sqrt{g}=1+\frac{1}{2}h-\frac{1}{4}h^2+...?

Attention, c'est -1/8 pour le coef de h^2 mais sinon c'est ca.