bonjour à tous,
voilà dans le cadre de la RG linéarisé, on pose que la métrique de l'espace temps complet peut être écrit comme
g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+h_{\m u\nu}
où \eta_{\mu\nu} est la métrique non perturbé (Minkowski par exemple) et h_{\mu\nu}
une perturbation alors le problème est
si on note le déterminant det( g_{\mu\nu})=g
comment obtenir l'expression de
\sqrt{g} en terme d'une série de h_{\mu\nu}?
On peut montrer que pour :
ou
KB
Je reprends :
g=det(
h=trace de la perturbation
alors on a
donc pour la racine, c'est rapide, on obtient :
KB
merci beaucoup KB,
il valait juste développer la racine en série de taylor mais avec les matrice j'étais pas à l'aise,
j'aimerais savoir comment on peut montrer que
abs{g}=1+trace{h}?
Et donc pour le développement de sqrt{g} jusqu'à l'ordre deux en h, on aura simplement
\sqrt{g}=1+\frac{1}{2}h-\frac{1}{4}h^2+...?
Salut,
C'est pas abs{g} mais determinant de g ! Le mieux est de commencer par montrer que det(Id+X)=1+Tr(X). Il suffit d'écrire la définition du déterminant (somme sur les permutations blabla...) et de faire un DL autour de X=0.
Attention, c'est -1/8 pour le coef de h^2\sqrt{g}=1+\frac{1}{2}h-\frac{1}{4}h^2+...?mais sinon c'est ca.
