Ecoulement

[invite3a78b579]

Bonjour

Voici l'exo : xxx depuis le temps que vous êtes inscrit, vous devriez savoir que les images sont à insérer comme pièces jointes. xxx

xxx énoncé recopié xxx

Un écoulement plan non permanent est défini par le champ de vitesses suivant :



1. Le fluide est-il incompressible ?
2. Etablir, à un instant t, l'équation des lignes de courant de cet écoulement
3. Comparer ces lignes de courant à la trajectoire d'une particule de fluide dans ce champ de vitesses.

Pour la question 1, j'ai juste dit que div V = 0 : ça suffit ou pas ?

Pour la question 2, faut-il partir de dx/Vx=dy/Vy ?

Ensuite comment faire ?

Merci beaucoup de l'aide
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[gts2]

Bonjour,

1- OK
2- OK
3- vous prenez une particule particulière disons en 0,0 à t=t0 et vous faites à la manière habituelle intégrez x(t) y(t), puis éliminez t entre les deux.

[invite3a78b579]

Merci.

Pour la 2 : que peut-on faire après avoir écrit dx/Vx=dy/Vy pour répondre à la question ?

[gts2]

On intégre l'équation obtenue.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3a78b579]

J'en suis donc à :



Mais comment intégrer ça ? Il y a deux variables, à la fois dx et dy, donc ça me perturbe, excusez moi...

[gts2]

et

Donc l'équation de la courbe est f(x)=g(y)

[invite3a78b579]

Merci.

J'ai donc après intégration :

Est-ce correct ?

[gts2]

C'est correct (donc des droites à comparer avec la trajectoire du 3) à un détail près : on intègre, donc constante d'intégration.

[invite3a78b579]

OK. Mais ça suffit pour répondre à la question 2 de l'exo ?

[gts2]

Ce que vous avez donné (à condition d'ajouter une constante) sont bien des équations de ligne de courant (tangente à v en tout point), donc que voulez vos répondre de plus ?

[invite3a78b579]

D'accord merci. Pour la question 3, quoi faire ? J'ai fait ce que vous proposez dans votre premier message : remplacer x et y par 0 dans l'égalité de mon message #17.
Mais on obtient 0=0, alors j'imagine que ce n'est pas ce qu'il fallait faire ?

Que faut-il donc faire ?

[gts2]

(0,0) c'était la position initiale à t=t0

Après c'est le même calcul que celui de la parabole dans le champ de pesanteur que vous connaissez déjà.

[invite3a78b579]

désolée mais je ne comprends plus : que dois-je faire pour commencer à traiter la question 3 ?

[gts2]

Je ne sais plus trop quoi dire : vous avez une particule donc vous connaissez la vitesse à tout instant, trouvez la position, vous avez déjà du faire cela un certain nombre de fois, non ?

[invite3a78b579]

oui, pour trouver la position à partir de la vitesse, il faut intégrer la vitesse, n'est-ce-pas ?

Mais ici pourquoi dites-vous qu'on a la vitesse ? Ca a été écrit dans quel message ?

[gts2]

C'est écrit dans votre premier message : le texte dit : "le champ de vitesse suivant :"

[invite3a78b579]

Donc il faut intégrer par rapport au temps Vx et Vy ?

Si oui, j'obtiens :




Est-ce que c'est bien ce qu'il fallait faire ? Et est-ce correct ?

[gts2]

Oui, et pour avoir la trajectoire et comparer aux droites des lignes de courant, il reste à éliminer le temps entre les deux.

[invite3a78b579]

C'est-à-dire ? Que dois-je faire concrètement ?

Je dois exprimer x en fonction de y ?

[gts2]

Vous n'avez pas déjà fait cela en terminale pour déterminer la trajectoire parabolique dans le champ de pesanteur ?

Ici, vous exprimez t en fonction de y, puis vous reportez dans x.

[invite3a78b579]

D'accord, mais en terminale on exprimait y(x), alors que là en fait c'est x(y).

Donc j'obtiens : .

Est-ce correct ?

[gts2]

C'est bien cela.

[invite3a78b579]

OK. Et que faire pour la suite ?

Comment terminer de répondre à la question 3 ?

[gts2]

A mon avis la réponse va être courte : les lignes de courant sont des droites, les trajectoires sont des paraboles, donc ce sont deux types de lignes distinctes.

Si vous voulez aller plus loin, vous pouvez rappeler le cours en disant qu'on ne peut confondre trajectoire et lignes de courant qu'en régime stationnaire, ce qui n'est pas le cas puisque v=v(t).

[invite3a78b579]

OK, merci. Donc exercice résolu ?

[gts2]

Oui, il me parait.

[invite3a78b579]

Merci beaucoup pour toute votre aide gts2. Je vous ai d'ailleurs envoyé un MP important.