Fluide

[srvo2021]

Bonjour,

j'ai une question qui me pose problème :

en partant d'un fluide incompressible dont le comportement est newtonien, établir, sous forme locale, les équations de Navier et Stokes.

Comment faire ? Le prof était en arrêt maladie quand on a fait ça, donc je suis vraiment perdue...

Merci de l'aide.
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[gts2]

Bonjour,

Cela demande à être précisé : c'est du cours, tout dépend à partir de quelle hypothèse, sous quelle forme (vraiment général ou disons avec v=v_x(y) et généralisation ...)
Dans tous les cas, on part du principe fondamental de la dynamique (facile), c'est après que cela se complique :
1- passage de l'accélération particulaire à l'accélération en représentation d'Euler (vous avez déjà fait ?)
2- passage de la force de pression à la force volumique (idem)
3- passage de la loi de Newton à votre , c'est cette partie là qui doit être nouvelle, au vu de vos messages précédents commencez par la suggestion initiale v=v_x(y))

[srvo2021]

Bonjour gts2,

merci beaucoup de votre message.
Pourriez-vous m'expliquer pas à pas ce qu'il faut faire pour répondre à cette question ?

Car je suis complètement perdue : accélération particulaire et accélération d'Euler : c'est quoi la différence entre les 2 ? Aucune idée si on l'a déjà fait, on nous a distribué un poly de 100 pages incompréhensible, et on doit se débrouiller avec.

[gts2]

Car je suis complètement perdue : accélération particulaire et accélération d'Euler : c'est quoi la différence entre les 2 ? Aucune idée si on l'a déjà fait, on nous a distribué un poly de 100 pages.

Le problème est bien là, ce que vous demandez, c'est un cours de 100 pages, et dans un forum, avec quelques lignes de réponse, on ne peut refaire un cours.

Dérivée particulaire : femto-physique
Force volumique de pression : femto-physique
Viscosité : femto-physique

Et revenez poser des questions.

[A voir en vidéo sur Futura]

[srvo2021]

OK, j'ai tout lu et à peu près tout compris.

Que dois-je donc faire pour répondre à mon exo ? Quelle est la première étape ?

[obi76]

Bonjour,

Que dois-je donc faire pour répondre à mon exo ? Quelle est la première étape ?

d'écrire les équations bilan de quantité de mouvement, de la masse et de l'énergie.

[srvo2021]

On utilise donc quel théorème ?

Désolée je suis vraiment perdue...

[gts2]

On peut commencer simplement : vous prenez une particule fluide de masse m et de volume V et vous lui appliquer le principe fondamental de la dynamique.
Etape 2 : transformer l'accélération particulaire
Etape 3 : expliciter les forces volumiques

Vous pouvez vous référer de nouveau aux liens précédents : femto-physique

Sur wikipedia, vous risquez de vous noyer.

[srvo2021]

OK, alors voilà le début.

Etape 1 : bilan des forces sur une particule fluide de masse m et de volume V.
- poids :
- force de frottement :

On y applique le PFD :


D'où :

Ce début de raisonnement est-il correct ?

[gts2]

On ne va pas faire un cours avec quelques lignes ...

- poids OK,
- il manque les forces de pression
- force de frottement : c'est la force qui agit sur une particule qui se promène dans un fluide à la vitesse v par rapport au fluide, ci on s'intéresse à une particule du fluide, pas une particule qui se déplace dans le fluide.

On transforme en volumique m = , on divise tout par V

Soit , f pour volumique P pour pression, v pour viscosité

Etape suivante : exprimer , dérivée particulaire (représentation lagrangienne), en fonction de champ de vitesse (représentation Eulérienne) : voir les liens déjà donné.

[srvo2021]

Oui, on a :

Quoi faire ensuite ?

[gts2]

Trouver la force volumique de pression

[srvo2021]

Est-ce que c'est ce qui est écrit sur la droite de la page 5 ici : https://cahier-de-prepa.fr/pcsi1-lmb/download?id=408 ?

[gts2]

Oui c'est bien cela.

[srvo2021]

OK, et que dois-je faire avec cette densité volumique des forces de pression ?

[gts2]

Dans le message #10, on a écrit ma=somme des forces, dont les forces de pression F_P, on a divisé par le volume pour obtenir f_V résultante des forces de pression par unité de volume.
C'est que vous venez de calculer.

[srvo2021]

D'accord, je crois que je comprends mieux. J'obtiens donc :



Est-ce correct ?

Si oui, comment continuer ?

[gts2]

Oui c'est correct (à un détail de forme près, je en mettrai pas de flèche sur le laplacien).

Tout dépend ce que le texte veut dire avec "établir", si vous considérez comme connu , c'est correct, mais dans ce cas, vous connaissiez aussi -\grad(P) qui intervient bien avant, dès l'étude de l'hydrostatique.

Donc "établir" veut dire établir à partir de quelles connaissances/données ?

[srvo2021]

Je ne sais pas, mon prof n'a pas précisé....

Est-ce que ça permet de répondre à la question ce que j'ai écrit dans le message 17 ?
Ne faudrait-il pas remplacer par ce que j'ai écrit dans le message 11 ?

[gts2]

Il faut bien sûr aussi remplacer a.

Autre chose : le texte dit les équations, donc il en faut plusieurs, au moins rajouter l'équation de conservation de la masse.

[srvo2021]

D'accord, j'obtiens donc :



Est-ce correct ? Comment peut-on simplifier ça, surtout ce qu'il y a à gauche du signe égal ?

[gts2]

On ne peut pas simplifier, on peut éventuellement mettre sous une autre forme (par exemple celle adéquate pour retrouver Bernoulli, mais c'est tout).

[srvo2021]

D'accord, et pourriez-vous m'indiquer quelle est cette autre forme svp ?

[gts2]

Encore une fois, c'est tout un cours d'intro à la mécanique des fluides que vous demandez, et le passage Navier-Stokes -> Bernoulli est traité dans tous les cours d'intro.

Il faut prendre un cours d'intro et le lire en entier. Par exemple le lien que je vous ai donné femto-physique le traite dans le pdf associé p. 23.

Et peut-être (mais je suis de la vieille école) un bon bouquin qui fasse simultanément l'intro physique et mathématique