pb sur les chaines de markov

[inviteaefa054c]

Bonjour
je ne vois pas comment resoudre cet exercice
pouvez vous m'aider s'il vous plait

On considere une chaine de markov finie de taille n, en temps discret, de matrice de transition P.

1. Rappeler les conditions que doivent vérifier les Pi,j afin que P soit une matrice de transition.
2. On suppose qu'il existe un réel positif b tels que:

quelque soit i € 1..n,
quelque soit j € 1..n-1,
Pi,j+1 = b Pi,j

Donner la distribution stationnaire de la chaine de markov ayant comme matrice de transition P.

Merci
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[invite79d10163]

1. Pi,j doit etre une probabilité, 1>=Pi,j>=0
somme sur j Pi,j = 1. Pi,j s'interprete comme la probabilité de transition de l'etat i a l'etat j. A chaque pas de temps il y a une transition de i vers un autre etat donc somme sur j Pi,j =1.

2. La matrice P est de la forme
a b b
b a b
b b a
pour n = 3 par exemple.

P possede une valeur propre egale a 1 associé au vecteur propre [1/n 1/n 1/n]. Le vecteur propre est la distribution stationnaire cherchée.