Échantillonnage - Analyse Spectrale

[azerty109]

Bonjour,
J’écris ce message pour poser la question suivante :
On considère une fonction porte p(t) périodique, valant 1 tous les Te, sur un intervalle de longueur t.
En réalisant la décomposition en série de Fourier de ce signal, on trouve les coefficients de Fourier suivants :
Cn = a*sinC (2*n*pi*a) ou a=t/Te est le rapport cyclique.

Il est précisé que les coefficients complexes de Fourier tendent vers 1 lorsque t tend vers 0 (et donc quand a tend vers 0) En d’autres termes, plus t est petit, plus les coefficients seront proches de 1 et ne perturberont pas le signal à échantillonner lorsqu’on le multipliera à p(t).

Pourquoi ces coefficients tendent-t-ils vers 1 ? Il est évident que la limite des Cn lorsque a tend vers 0 est 0.

Si besoin est, voici un support pouvant mettre en valeur ce que j’avance :
https://moodle.insa-rouen.fr/pluginf...rs6.pdf#page52

Consulter la diapositive 16 pour voir effectivement que |Hn| tend vers 1 lorsque deltaT tend vers 0.

Merci.
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[gts2]

Bonjour,

Votre Cn tend en effet vers zéro lorsque t 0.

Il faudrait avoir votre cours exact pour expliciter.

Le signal final (Cn=1) que vous décrivez est un "peigne de Dirac", qu'on peut éventuellement représenter comme limite pour t 0 d'une "fonction porte p(t) périodique, valant 1 tous les Te, sur un intervalle de longueur t" à condition de remplacer "valant 1" par "valant Te/t"

[azerty109]

Merci pour votre réponse.
Deux questions me viennent alors :
1. Pourquoi ce peigne de Dirac qui serait (abusivement) la «*limite*» de la fonction porte citée dans votre message aurait une transformée de Fourier différente de la transformée de fourier de p(t) obtenue en faisant tendre t vers 0 ?
2. Comment prouver alors qu’il y a un intérêt à faire rendre t vers 0 ? Car si |Cn| tend vers 0 le signal se retrouve atténué et difficilement retrouva le par interpolation.

Mon cours présente les choses sous l’aspect que j’ai précisé dans mon message précédent.
Cependant en étudiant celui de l’INSA Rouen (cf. Msg précédent) j’ai remarqué que |H(f)| a bien les qualités requises (ses coefficients tendent vers 1). Mais je ne comprends pas comment H(f) est obtenue à partir de h.

Merci.

[gts2]

1. Pourquoi ce peigne de Dirac qui serait (abusivement) la «*limite*» de la fonction porte citée dans votre message aurait une transformée de Fourier différente de la transformée de fourier de p(t) obtenue en faisant tendre t vers 0 ?

J'ai bien précisé : "remplacer "valant 1" par "valant Te/t" " : on a donc Cn'=Te/t * Cn=sinc(2 n π a) qui tend bien vers 1 quand a 0.

2. Comment prouver alors qu’il y a un intérêt à faire rendre t vers 0 ? Car si |Cn| tend vers 0 le signal se retrouve atténué et difficilement retrouva le par interpolation.

1- Dans la présentation de votre cours, l'intérêt est qu'en faisant un raisonnement/calcul simple avec des fonctions analogiques, on trouve les propriétés du signal échantillonné numérique. (Mais il ne faut pas oublier le facteur "d'échelle" 1/t pour avoir un signal non nul.)
2- Le but est de représenter un échantillonnage, i.e. une suite de nombre x(nTe) et donc la valeur doit bien être prise à t=nTe et pas ailleurs.

Cependant en étudiant celui de l’INSA Rouen (cf. Msg précédent) j’ai remarqué que |H(f)| a bien les qualités requises (ses coefficients tendent vers 1). Mais je ne comprends pas comment H(f) est obtenue à partir de h.

La présentation de l'INSA est assez différente de la votre, d'une part (page 14) h est bien définie avec un 1/ en facteur, d'autre part le signal est convolué avec h(t) et non multiplié, la multiplication se fait avec H dans l'espace des fréquences (page 15).

[A voir en vidéo sur Futura]

[azerty109]

Merci pour vos précisions, c’est compris.
Très bonne soirée.