La non-additivité des distances et des durées (démonstrations)

[PAUL TALBOT]

Je cherche à valider deux démonstrations mathématiques sur le sujet en titre.

La non-additivité des vitesses est une propriété physique démontrée et vérifiée expérimentalement. En effet, si les vitesses étaient additives, alors la somme de certaines valeurs pourrait excéder le maximum de cette grandeur (c). Pour faciliter la lecture du texte, j’appellerai la loi relativiste de composition des vitesses «adjonction» et je noterai cette opération ⨤ : «presque plus, ou adjoint à».

Si a et b sont deux vitesses exprimées en unités maximums (c=1), alors l’équivalence entre l’adjonction et l’addition est : a ⨤ b <=> (a+b) / (1+ab).
Par exemple : 0,5 c ⨤ 0,5 c <=> (0,5 + 0,5) / (1 + 0,5 · 0,5) = 1/1,25 = 0,8 c et non pas 1 c, comme le suggère l’addition. Cette équivalence résulte de l’application des transformations de Lorentz, qui sont utilisées par la relativité restreinte.

Étonnamment, on peut démontrer que les longueurs et les durées ne sont pas additives non plus.

Si les longueurs étaient additives, alors physiquement, on observerait :
• (1 m + 1 m) = 2 m
En parcourant ces distances en une seconde, on observerait :
• (1 m + 1 m) / 1 s = 2 m / 1 s
La division étant distributive par rapport à l’addition, on observerait :
• (1 m / 1 s) + (1 m / 1 s) = 2 m / 1 s, ce qui peut s’écrire :
• 1 m/s + 1 m/s = 2 m/s

Or, ce n’est pas ce qu’on observe. Cette dernière équation est physiquement inexacte, car elle n’utilise pas la bonne loi de composition (⨤). La différence est infime, mais selon ce qui précède, on calcule que 1 m/s ⨤ 1 m/s = (1+1) / (1+1/c2) m/s ≈ 1,999 999 999 999 999 978 m/s.

De façon analogue, si on suppose les durées additives, alors physiquement, on observerait :
• (1 s + 1 s) = 2 s
En accélérant de 1 m/s2 pendant ces durées, on observerait :
• 1 m/s2 · (1 s + 1 s) = 1 m/s2 · 2 s
La multiplication étant distributive par rapport à l’addition, on observerait :
• (1 m/s2 · 1 s) + (1 m/s2 · 1 s) = 1 m/s2 · 2 s
Ce qui correspond l’addition des vitesses décrite précédemment et physiquement inexacte :
• 1 m/s + 1 m/s = 2 m/s

Ces équations montrent que l’additivité des longueurs ou des durées implique celle des vitesses. Comme on observe que les vitesses ne sont pas additives, les longueurs et les durées ne le seraient pas non plus. C’est ce qu’on appelle une démonstration par l’absurde.

Selon vous, ces démonstrations sont-elles valides, et sinon, pourquoi?

PS: Le titre de ce forum étant "Discussions libres", je m'attend à ce que ce fil demeure ouvert.
Il permettra aux intéressés de pouvoir se questionner sur le sujet et commenter. Merci de votre compréhension.
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[Deedee81]

Salut,

• 1 m/s + 1 m/s = 2 m/s

L'erreur est là. Mathématiquement c'est juste mais l'interprétation physique est fausse.
Parcourir 2 m en une seconde n'est pas identique à parcourir 1 m en 1 seconde suivi d'un autre m en 1 seconde.

C'est un problème bien connu des automobilistes qui veulent calculer leur vitesse moyenne : on ne fait pas la moyenne des vitesses, ça ne marche pas.

En fait si on parcourt 2 m en une seconde, à vitesse constante, chaque mètre est parcouru à 2m/s et pas à 1 m/s !!!!

Et donc pour l'addition des distances : il ne faut pas utiliser les transformations des vitesses (ton ⨤).

Il faut aussi bien identifier les référentiels. Si on compose des vitesses ou si on utilise les TL alors on a au moins deux référentiels (trois pour la composition).
Alors que pour ajouter deux distances on n'a qu'un seul référentiel.

Il faut éviter de mélanger les choux et les carottes sinon ça fait une drôle de potée. Et aussi être rigoureux (tu es beaucoup trop imprécis dans tes raisonnements), et ça aussi c'est important en cuisine (trop de sel ou trop de sucre et beeeek )

[PAUL TALBOT]

Merci pour votre réponse. J'ai toutefois une question.
En mathématique, le produit d'une somme est toujours égal à la somme des produits.
C'est une propriété fondamentale de l'addition.
Si cette propriété n'est pas respectée en ce qui concerne la composition des distances et des durées,
comment peut-on justifier que ces grandeurs physiques sont additives ?

[stefjm]

Il me semble que ce que vous évoquez est la propriétés de linéarité d'une transformation.
A savoir que
si x1 se transforme en y1,
si x2 se transforme en y2,

Alors

A.x1+B.x2 se transforme en A.y1+B.y2

Cela tombe bien pour les transformations relativistes qui sont linéaires.

https://www.relativite.info/Une_derivation_de_plus.pdf

[A voir en vidéo sur Futura]

[PAUL TALBOT]

Mon argumentation concerne une propriété fondamentale de l'addition :
La distributivité de la multiplication (ou de la division) par rapport à l'addition : a(b + c) = ab + ac

On observe que :
1 m/s + 1 m/s ≠ 2 m/s

ce qui est équivalent à:
(1 m / 1 s) + (1 m / 1 s) ≠ 2 m / 1 s

J'en déduis que:
(1 m + 1 m) / 1 s ≠ 2 m / 1 s

et donc que :
(1 m + 1 m) ≠ 2 m

[stefjm]

Comme déjà signalé par d'autres, votre opération "+" n'est clair que dans votre tête.
Vu le vague, vous allez recevoir plein de réponses différentes selon ce que les gens qui vont répondent auront compris de votre "+".

[obi76]

Bonjour,

En mathématique, le produit d'une somme est toujours égal à la somme des produits.
C'est une propriété fondamentale de l'addition.

tellement fondamentale que je ne la comprends pas; C'est quoi le produit d'"UNE" somme ? C'est quoi le produit d'un truc ? Le produit avec quoi ?
et (a+b)*(c+d) c'est pas égal à a*b+c*d.

Je ne comprends rien à ce que vous dites.

[PAUL TALBOT]

a(b + c) = ab + ac

Le produit de a par la somme (b + c) est égal à la somme des produits (ab et ac).

[Matmat]

Merci pour votre réponse. J'ai toutefois une question.
En mathématique, le produit d'une somme est toujours égal à la somme des produits.
C'est une propriété fondamentale de l'addition.
Si cette propriété n'est pas respectée en ce qui concerne la composition des distances et des durées,
comment peut-on justifier que ces grandeurs physiques sont additives ?

Les grandeurs sont bien additives (l'addition est linéaire, distributive etc) lorsque le référentiel ne change pas.
Il y a "non additivité" seulement si tu veux additionner directement des vitesses de référentiels différents (c'est à dire tu fais une première mesure dans R0, une deuxième mesure dans R1 mobile par rapport à R0... et là oui l'addition des deux mesures n'est pas linéaire)

[mach3]

Deux aspects différents sont mélangés et confondus. D'une part la structure d'espace vectoriel à une dimension (au sens mathématique) de l'ensemble des grandeurs physiques de même dimension (au sens de l'analyse dimensionnelle) qui vaut quelque soit la dimension (au sens de l'analyse dimensionnelle), et d'autre part la structure de la variété espace-temps qui contient divers objets pouvant prendre un sens physique (comme les vecteurs vitesse par rapport à un référentiel).

Quelque soit la structure la structure de l'espace-temps, quelque soit la dimension (au sens de l'analyse dimensionnelle), toute grandeur physique s'additionne normalement avec les autres grandeurs physiques de même dimension (au sens de l'analyse dimensionnelle).

En revanche quand on parle d'addition ou de composition des vitesses, on ne parle pas d'additionner ou de composer des éléments de l'espace vectoriel à 1 dimension (au sens mathématique) contenant toutes les vitesses possibles, mais d'additionner ou composer des vecteurs appartenant aux espaces tangents à la variété espace-temps, qui possèdent 4 dimensions (au sens mathématique).

L'ensemble des vitesses par rapport à un référentiel est confiné dans un sous-espace à 3 dimensions (au sens mathématique) de l'espace tangent à 4 dimensions (au sens mathématique) et ce sous-espace est défini par le référentiel.

En mécanique classique, ce sous-espace est unique, c'est à dire que peu importe le référentiel, les vecteurs vitesses appartiennent au même sous-espace à 3 dimensions (au sens mathématique) et peuvent donc s'additionner simplement.

En mécanique relativiste, il y a autant de sous-espaces que de référentiels, si bien qu'additionner une vitesse d'un objet A par rapport à un référentiel B à la vitesse du référentiel B par rapport à un autre référentiel C n'a aucun sens physique : le vecteur résultant n'est dans aucun des sous-espaces correspondant aux référentiels B et C considérés. Il y a donc une cuisine totalement différente (à base de 4-vecteurs et de comment on construit les vitesses à partir d'eux, ou alors à base de rapidité, arctangente hyperbolique de la vitesse, qui est additive) pour obtenir la vitesse de A par rapport au référentiel C, car il faut obtenir un vecteur qui est dans le sous-espace correspondant au référentiel C.

Il reste cependant possible d'additionner des vecteurs vitesses à partir du moment où ils sont dans le même sous-espace, c'est à dire que ce sont des vitesses par rapport au même référentiel. C'est le concept de vitesse d'approche. Si le long de l'axe x d'un référentiel R, un objet A avance à 0.6c et un objet B recule à 0.6c, la vitesse d'approche est de 1.2c. Concrètement cela veut dire que la distance entre A et B, mesurée dans le référentiel R, se réduit (si l'abscisse de A est inférieure à celle de B, sinon elle augmente) de 1.2x300 000 km à chaque seconde mesurée dans le référentiel R.

Le calcul d'une vitesse d'approche ou la composition des vitesses sont confondus en mécanique classique, mais par en mécanique relativiste.

m@ch3

[Deedee81]

Salut,

Paul Talbot. De toute façon, je l'avais déjà dit dès le début.

Ton problème ce n'est pas les mathématiques
(enfin, bon, tes maths ne volent pas bien haut, c'est presque le niveau école primaire et même là on voit des difficultés. Mais les calculs n'étaient pas faux).
EDIT suffit pas d'avoir 1+1=2 pour dire "les vitesse s'additionnent".

Ton problème était l'interprétation physique. Ici c'est le forum "discussions libres" de astroPHYSIQUE (on devrait d'ailleurs déplacer en physique, ça n'a rien à voir avec l'astrophysique cette soupe). Ce forum ne s'appelle pas "faire joujou avec les maths".

Ta difficulté est de faire le lien entre mathématiques et physiques. Et ça tu n'y arriveras qu'en ouvrant un livre de physique (un bon exemple est Relativité Restreinte de Ougarov, mais quelque chose me dit que tu gagnerais à d'abord voir la cinématique et la mécanique classique).

Avant de vouloir prouver/réfuter quoi que ce soit sur la relativité restreinte, il faut d'abord la connaitre. Et ça, ça ne s'apprend pas avec quelques vidéos youtube ou du genre. Ou alors on est dans les eaux profondes de Messieurs Dunning et Kruger.

Donc : étudie, apprend et pose des questions. Et dans quelques années, là, tu proposeras des trucs (mais probablement pas sur Futura où les théories personnelles ne sont pas autorisées).

[Deedee81]

Après réflexion, je déplace en physique.

Bien que je doute que ce fil face long feux (cette discussion n'étant pas très conforme aux règles du forum, mais je lui laisse une chance).

[obi76]

Bonjour,

1 :

12. Tout acte de modération est écrit en vert ; dans les autres cas les modérateurs s’expriment à titre personnel. Les critiques ou les commentaires sur les actes de modération doivent être effectués par messages privés. Tout message privé envoyé à un modérateur en raison de sa fonction est susceptible d’être communiqué à l’ensemble de la modération afin d’y définir la réponse la mieux adaptée.

2 : vous avez eu vos réponses : apprenez, lisez ce qui vous a été conseillé, comprenez, et ensuite seulement, peut-être aurez-vous l'humilité et/ou le recul qui vous permettra de faire de telles assertions.

En attendant, et comme d'habitude, nous sommes clairement dans ce cas de figure : https://fr.wikipedia.org/wiki/Effet_Dunning-Kruger. Croire que parce qu'on a comprit des trucs niveau collège alors on a les bagages pour démonter la relativité restreinte, comment dire...

Fermeture.