Eléctrodynamique quantique.

[Anonyme007]

Bonjour à tous,

On sait que la théorie de électrodynamique quantique est une théorie des champs quantique qui est la quantification de la théorie des champs classique de l'électromagnétisme.
Est ce que vous pouvez m'expliquer comment formule-t-on la théorie de l'électrodynamique quantique à partir de la théorie classique de l'électromagnétisme à travers le phénomène de ''quantification'' si je ne m’abuse.
Autrement dit, comment construit-t-on la théorie de électrodynamique quantique à partir de la théorie des champs classique de l'électromagnétisme ?

Merci d’avance.
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[Sethy]

Je ne suis peut-être pas le mieux placé pour répondre, mais il faut quand même entre 3 et 4 séances de 2 heures pour expliquer cela à des étudiants de niveau M1.

J'ai suivi en "étudiant libre" un tel cours. Le cours de base était un cours de 15 heures (qui allait jusqu'aux diagrammes de Feynman), comme il était "adapté" à notre rythme (cours pour non physicien), l'ingénieur-physicien (I.R. en Belgique) qui le donnait a eu besoin de 30 heures au total.

[Anonyme007]

Merci beaucoup.
N'as tu pas en main les transparents du cours dont tu parles ?
Est ce qu'ils sont publiés sur le net ?
Merci d'avance.

[Quarkonium]

Le 'Quarks and leptons' de Halzen et Martin est une introduction relativement accessible et succinte.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Sethy]

Merci beaucoup.
N'as tu pas en main les transparents du cours dont tu parles ?
Est ce qu'ils sont publiés sur le net ?
Merci d'avance.

Non, malheureusement.

[Deedee81]

Salut,

Déjà voir : https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89...ique_quantique

Bon, un peu court mais déjà ça donne la base.

Ensuite, pour quantifier on utilise la quantification canonique https://fr.wikipedia.org/wiki/Quanti...ons_canoniques
En gros on part de la formulation hamiltonienne, on identifie les variables conjuguées et on utiliser la relation entre variables conjuguées [p,q]= - i h/2pi. ici les variables conjuguées sont typiquement les modes du champ EM.

Une difficulté se pose. Comme on souhaite généralement une formulation relativiste (ce n'est pas une obligation) on a la difficulté qu'on a quatre types de polarisation : transverses, longitudinale et temporelle (scalaire) (normalement on n'a que les transverses). Il existe plusieurs méthodes, l'une d'elle que j'aime bien est la métrique indéfinie de Gupta-Beuler : la norme des états peut être négative. Et on impose après quantification (sinon ce n'est pas possible, c'est incompatible avec la quantification) la jauge de Lorentz et on vérifie ensuite que pour les grandeurs physiques il ne reste que les états transverses et les normes positives (heureusement pour l'interprétation probabiliste !)

Une fois ces difficultés techniques franchies c'est "du billard" avec les méthodes perturbatives, les diagrammes de Feynman et tout et tout. Mais ça reste costaud (typiquement un livre entier)

[Anonyme007]

Merci beaucoup à vous tous de m’avoir répondu. Deedee81, Sethy, et Quarkonium.

En fait, ce que je cherche à savoir particulièrement est, comment on passe d'un système d’équations de Maxwell dont les champs et sont statiques ( i.e : ne dépendent pas du temps ) et découplés ( i.e, et ne sont liés par aucune relation , c’est à dire, chacune des équations contient ou bien , ou bien comme inconnu, et jamais les deux à la fois par une relation ), à un système d’équations de Maxwell dont les champs et sont dynamiques ( i.e : dépendent du temps ) et couplés ( i.e, et sont liés par une relation )

Est ce que vous connaissez la réponse ?

Merci d'avance.

[gts2]

Bonjour,

La question que vous posez est une question d'histoire de la physique, et résumez le passage Coulomb, ... (E) ; Ampère, ... (B) ; puis Faraday (B(t) crée E) ; puis Maxwell me parait difficile dans un message.
Si c'est cela qui vous intéresse, dites-le, certains pourront vous donner des pistes.

Si j'ai bien compris la question...

[Anonyme007]

Bonsoir,

Pardon, je corrige ce que j’ai dit,

En fait, ce que je cherche à savoir particulièrement est, comment on passe d'un système d’équations de Maxwell dont les champs et sont statiques ( i.e : ne dépendent pas du temps ), et couplés ( i.e, et sont liés par une relation ) à un système d’équations de Maxwell dont les champs et sont dynamiques ( i.e : dépendent du temps ) et découplés ( i.e, et ne sont liés par aucune relation , c’est à dire, chacune des équations contient ou bien , ou bien comme inconnu, et jamais les deux à la fois par une relation ).

Est ce que vous connaissez la réponse ?

Bonjour,

La question que vous posez est une question d'histoire de la physique, et résumez le passage Coulomb, ... (E) ; Ampère, ... (B) ; puis Faraday (B(t) crée E) ; puis Maxwell me parait difficile dans un message.
Si c'est cela qui vous intéresse, dites-le, certains pourront vous donner des pistes.

Si j'ai bien compris la question...

Oui, c'est ça.

[gts2]

Autant la première question était claire, mais représente en gros un siècle d'histoire de la physique.
Autant la deuxième ? : les champs statiques E et B sont bien découplés pas couplés, donc pas de relation f(E,B)=0. Et les champs dynamiques sont bien couplés.


Je pense qu'on ne parle pas de la même chose...

[Deedee81]

Salut,

Même incompréhension que gts2. Une relation f(E,B)=0 pour des champs statiques ????

Et pour passer du statique au dynamique, ben, au lieu d'avoir E(x,y,z) (par exemple) on a E(x,y,z,t), c'est tout. Et les équations de Maxwell restent les mêmes.

Est ce que vous connaissez la réponse ?

Donc a mon avis je n'ai pas compris la question.

[Sethy]

Je pense avoir une idée de l'origine du problème.

Il tient dans le titre de la discipline : électrodynamique quantique.

[Sethy]

Bonsoir,

En fait, ce que je cherche à savoir particulièrement est, comment on passe d'un système d’équations de Maxwell dont les champs sont statiques ( i.e : ne dépendent pas du temps au système d’équations de Maxwell dont les champs sont dynamiques (i.e : dépendent du temps)

Ce qui est à l'origine de mon impression.

[coussin]

Vus les autres messages de Anonyme007 traitant de sujets très pointus liés à la théorie de Yang-Mills, il est étonnant de ne pas avoir de bases d'électrodynamique quantique...
Je pense à un autodidacte qui brule un peu les étapes.

[Anonyme007]

Bonsoir,

@Deedee81, @coussin, @Sethy,

Excusez moi pour mes questions qui manquent souvent d’habileté face à des sujets en lien avec les sciences physiques. Comme l'a pu comprendre @coussin, Je suis mathématicien de formation, et pour ce sujet autour de la théorie de Yang Mills particulièrement, je ne suis qu'un simple apprenti en autodidacte. J'ai découvert ce sujet suite à une digression que j’ai fait quant j'ai fini d’apprendre le théorème de correspondance de Riemann-Hilbert en théorie des représentions de monodromie et D-modules. Voir : https://en.wikipedia.org/wiki/Rieman...correspondence
On m'a dit que la correspondance de Riemann-Hilbert trouve ses extensions et ses applications en physique théorique, et en particulier en théorie des champs.
On m'a fait ensuite découvrir le fameux problème de Yang Mills et existence d'un gap mass qui reste encore un problème ouvert non encore résolu en physique théorique. Voir ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%..._de_Yang-Mills . Je voudrais essayer d'en apprendre davantage, mais le seul inconvénient est que je n’ai pas assez de prérequis en physique théorique. Et je n'ai pas de temps de reprendre les bases depuis le baccalauréat. Impossible pour mon cas. Je dois aller plus vite et bruler certaines étapes. Je n'ai pas le choix.

Je ne suis pas familier avec les équations de Maxwell, et voici ce que j’ai trouvé ici : http://www.cmls.polytechnique.fr/per...10/POLY431.pdf , page : de : 347 à 353. Il s'agit du passage de la théorie de l'électromagnétisme classique à l'électrodynamique quantique, mais, je vois encore mal comment se fait la quantification à ce niveau là. Est ce que vous pouvez me résumer comment ?

Merci d'avance.

[coussin]

Merci pour le contexte.
Ça aidera peut-être certains à vous répondre au mieux vu votre formation de mathématicien.

[Sethy]

Je vais malgré tout me risquer à poster la réponse que j'avais préparée (et je rappelle au passage que je suis chimiste).

Lorsque la mécanique quantique a été découverte, elle a permis de grands progrès mais certains problèmes restaient totalement inexpliqués. Au cours des années '50, une nouvelle théorie s'est progressivement dégagée, la théorie quantique des champs. Dans cette théorie, tout est champ. Rappelons-nous simplement le cas du Boson de Higgs que wiki défini comme un quanton du champ de Higgs.

Cette théorie voit d'abord le jour (à ma connaissance) lorsque les physiciens tentent de mieux expliquer les interactions matière-rayonnement. De premiers résultats encourageant tombent avec d'abord l'émission stimulée (un photon incident de "bonne longueur d'onde" induit la désexcitions d'un ion voisin produit un second photo de même longueur d'onde, de même direction et surtout de même phase, en gros, l'effet laser) mais patine un temps à expliquer l'émission spontanée qui tombe un peu plus tard. C'est le cœur de l'électrodynamique quantique.

Par la suite, d'autres domaines sont étudiés, toujours dans le cadre de la théorie quantique des champs, tel que la chromodynamique quantique (qui explique en gros pourquoi les noyaux atomiques sont stables). Le préfixe "chromo" vient du fait que les quarks associés possèdent une "couleur". Source : https://fr.wikipedia.org/wiki/Chromo...C3%A9sentation

[ThM55]

Il n'y a pas un, mais plusieurs procédés de quantification. John Baez a un jour expliqué que dans l'inconscient du physicien, la quantification agit comme une sorte de foncteur qui devrait faire passer de la mécanique (ou de l'électrodynamique) classique à la version quantique. Mais il a aussi expliqué que ce foncteur n'existe pas, c'est juste un rêve de physicien.

La réalité physique est que ce que nous appelons la physique classique est une limite de la théorie quantique dans les situations où l'action des processus est largement supérieure à la constante de Planck. Il n'est pas étonnant que le passage d'un cas limite au cas général soit nécessairement ambigu, sous-déterminé etc. Il faut en général se donner des éléments supplémentaires. Cela revient à faire ce que Feynman appelait "deviner les équations". Pour les modèles utilisés en physique des particules comme pour la relativité générale, on ne connait pas a priori la version quantique de la théorie mais on connait plus ou moins le cas classique dont il est la limite. Par exemple quand Yang et Mills ont découvert leurs équations, il s'agissait d'équations classiques et personne ne savait comment les quantifier. En le faisant par le procédé canonique (voir ci-dessous) on arrivait systématiquement à une théorie inconsistante dans laquelle par exemple les probabilités des divers processus ne se sommaient pas à 1.

Parmi les procédés:
1) la quantification canonique. Celle de Dirac exprimée en image de Heisenberg: on écrit les équations de Maxwell comme des équations de Hamilton au moyen des crochets de Poisson. On peut le faire soit en discrétisant l'espace-temps et en considérant un ensemble infini de degrés de liberté, puis passer à la limite continue, soit directement en écrivant dans le continu en écrivant les équations sous forme fonctionnelle. Ensuite Dirac nous explique comment remplacer les champs par des opérateurs agissant sur l'espace des états et les crochets de Poisson par les commutateurs de ces opérateurs.
2) la quantification canonique en image de Schrödinger, équivalent à la précédente, mais très peu enseignée. Dans cette approche la fonction d'onde de Schrödinger est une fonctionnelle dont le domaine de définition est l'espace des configurations de champ sur une hypersurface de genre espace. L'approche 2 ne permet pas de formuler la théorie sous forme covariante de Lorentz, quoique la formulation de Tomonaga s'en rapproche.
3) l'intégrale de chemin de Feynman. Ce procédé part du lagrangien de la théorie classique et exprime les amplitudes quantiques de transition comme une somme pondérée sur l'ensemble des chemins pris par la configuration des champs dans son espace fonctionnel. L'avantage de cette approche est que le lagrangien, bien que semblant moins proche de la physique que le hamiltonien, permet d'injecter clairement les contraintes de symétrie: invariance de Lorentz, invariance de jauge etc. Pour quantifier Yang-Mills c'est l'approche qui a été utilisée presque uniquement, il a permis par une astuce due à des physiciens russes (Faddeev et Popov) entre autres, de résoudre le problème que j'ai mentionné. Elle permet aussi d'arriver très vite aux règles de Feynman (comment dessiner les diagrammes).
4) Le principe d'action de Schwinger. Il est équivalent à l'intégrale fonctionnelle mais utilise plutôt une approche différentielle qui est plus aisée à bien fonder mathématiquement. Il existe quelques textes sur la quantification des champs de Yang-Mills. Personnellement je trouve cette approche extrêmement élégante et puissante, mais je constate qu'elle est peu enseignée et je trouve cela dommage.
5) d'autres approches comme la quantification algébrique en espace de phase (une déformation de l'algèbre des fonctions sur l'espace de phase). Peu appliquées à ma connaissance en théorie des champs en interaction, mais je connais un texte qui l'applique aux champs libres.

Quelle que soit l'approche choisie, il faut injecter dans le procédé des hypothèses heuristiques qui font que ce n'est pas une approche déductive. Il ne faut pas s'imaginer qu'on part de la théorie classique, puis qu'on applique un procédé mathématique systématique, un algorithme, et boum! on a la théorie quantique. Ce n'est pas du tout cela. C'est d'autant plus difficile qu'on essaie de passer à des théories plus unifiées comme la Grande Unification, les théories supersymétriques, ou qu'on essaie de quantifier la gravité ou les supercordes.

Selon moi, le mieux est d'étudier un cours de TQC qui utilise l'intégrale de chemin. Il y a le livre de Feynman et Hibbs (qui ne contient pourtant aucun diagramme de Feynman!) qui montre comment on retrouve la mécanique quantique par ce moyen. Sur la TQC, peut-être le "Quantum Field Theory in a Nutshell" de Anthony Zee.

[Anonyme007]

Merci beaucoup Sethy, coussin et ThM55.