Ecoulement de Poiseuille

[IchigoKurosaki14]

Bonjour,

J'éprouve des difficultés concernant la dépendance de la vitesse lorsqu'on passe en coordonnées cylindriques.

Voici le schéma :
poiseuille.png

Je sais que la pression P = P(x) et que la composante selon x de la vitesse vaut : u = u(y,z) ( les autres composantes étant nulles ).

Dans la suite de la démonstration, on passe dans un repère cylindrique (r, thêta) et il est noté que comme on a une symétrie de révolution, on a que : u = u(r).

Je n'arrive pas à comprendre pourquoi à r fixé, quel que soit thêta , la vitesse u est constante càd que sur le cercle fixé de rayon r*, la vitesse u orienté selon x reste constante. ( pourquoi le fait qu'on ait une symétrie de révolution implique forcément que u = constante à r fixé )
poiseuille2.png

Merci d'avance.
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[Brinicle]

Bonjour,

La symétrie cylindrique n'implique pas du tout que u soit constante à r fixé.

Comme tu la sais certainement, les équations de Navier-Stokes sont (généralement) non-linéaires et impossibles à résoudre analytiquement.

Ce que l'on cherche ici, c'est une solution particulière, dans lequel la vitesse est orientée partout dans la même direction (ici selon x), appelée écoulement unidirectionnel. Cela fait sauter les termes non-linéaires des équations de Navier-Stokes (vérifie le, pour voir pourquoi !), qui deviennent alors linéaires.

Dans ce cas, on cherche aussi une solution qui respecte les symétries du problème (principe de Curie). Ici on a une symétrie de révolution autour de Ox, donc pas de dépendance en theta. Et en plus, comme le tuyau est supposé de longueur infinie (en réalité cela signifie que l'on néglige les effets de bords), on a pas non plus de dépendance en x.
C'est un écoulement laminaire.

Mais attention, cette solution ne sera valide que pour un nombre de Reynolds inférieur à une certaine valeur. Rien ne dit qu'en augmentant le nombre de Reynolds la solution trouvée comme cela ne vas pas devenir instable, on aurait alors un écoulement totalement différent, qui n'aurait pas forcément une symétrie de révolution (pense à la turbulence).

[IchigoKurosaki14]

Merci beaucoup pour ta réponse.