Loi de la gravitation universelle

[sylbio21]

Bonjour,
la formule de la gravitation newtonienne considère que les masses sont concentrées au centre de gravité des objets.
Ainsi, lorsque la distance entre le centre des objets s'approche de 0 l'attraction s'approche de l'infini.
Ce n'est évidemment pas le cas des objets réels puisque la masse est répartie.
Quelle est donc la formule de la gravitation modifiée en considérant des sphères ayant une densité uniforme et pouvant s'entre-pénétrer sans déformation (situation théorique impossible, une situation réelle semblable serait 2 haltères avec des "poids" reliées par des arcs de cercle quasi sans masse relativement à la masse des "poids") ?
Est-ce que cette formule modifiée peut changer le calcul des trajectoires des objets célestes ou est-ce négligeable?
Merci.
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[mach3]

Formellement il faut sommer le champ généré par chaque petit élément de volume de l'astre considéré, quelque soit sa forme. Il se trouve qu'à l'extérieur d'un astre de symétrie sphérique le calcul va donner le même champ que celui généré par un point de même masse situé au centre de l'astre.
Dans le cas général, il y aura une déviation, à calculer au cas par cas. Par exemple le fait que la Terre soit plus ellipsoide que sphérique provoque des perturbations sur les satellites en orbite basse.

m@ch3

[sylbio21]

Bonjour,
je doute fortement que lorsque les centres des sphères sont superposés, elles soient inséparables du fait de la loi en masses/distance au carré.
De même pour les 2 haltères, si leurs centres de gravité sont au même endroit...

[Deedee81]

SAlut,

je doute fortement que lorsque les centres des sphères sont superposés, elles soient inséparables du fait de la loi en masses/distance au carré.
De même pour les 2 haltères, si leurs centres de gravité sont au même endroit...

Que veux tu dire par "inséparable" ???

Sinon pour l'équivalence entre la symétrie sphérique et un "centre de masse", indiqué par mach3, c'est ceci : https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%..._(gravitation)

(et attention, un haltère n'est évidemment pas à symétrie sphérique !!!!)

[A voir en vidéo sur Futura]

[pm42]

Que veux tu dire par "inséparable" ???

Je crois que le problème est là :

Quelle est donc la formule de la gravitation modifiée en considérant des sphères ayant une densité uniforme et pouvant s'entre-pénétrer sans déformation, situation théorique impossible

J'ai un peu de mal à voir la logique de la phrase suivante mais c'est couvert par la réponse de mach3 notamment sa 1ère phrase qui n'a visiblement pas été lue.

une situation réelle semblable serait 2 haltères avec des "poids" reliées par des arcs de cercle quasi sans masse relativement à la masse des "poids" ?

[gts2]

Bonjour,

Pour une haltère avec deux masses sphériques, on somme le champ des deux masses et on obtient, à grande distance, un développement quadrupolaire avec un terme en 1/r2 (correspondant à la somme des masses) et un terme en 1/r4 correctif, voir wikipedia, paragraphe "Développement à grande distance du potentiel gravitationnel - Moment quadrupolaire" vers la fin.

[CM63]

Bonjour,
la formule de la gravitation newtonienne considère que les masses sont concentrées au centre de gravité des objets.

Non, ce qui est "concentré" ou plutôt ce qui s'applique au centre de gravité c'est la force résultante. Mais la masse, elle, est répartie uniformément, sauf variation de masse volumique.

Ainsi, lorsque la distance entre le centre des objets s'approche de 0 l'attraction s'approche de l'infini.
Ce n'est évidemment pas le cas des objets réels puisque la masse est répartie.
Quelle est donc la formule de la gravitation modifiée en considérant des sphères ayant une densité uniforme et pouvant s'entre-pénétrer sans déformation (situation théorique impossible, une situation réelle semblable serait 2 haltères avec des "poids" reliées par des arcs de cercle quasi sans masse relativement à la masse des "poids") ?

Il faut faire un calcul intégral, faire la sommation de toutes les petites altères formées par les masses dm1 et dm2 distantes de dl . (attention tu vas les compter deux fois, mais c'est pas grave).

Est-ce que cette formule modifiée peut changer le calcul des trajectoires des objets célestes ou est-ce négligeable?
Merci.

Eh bien du coup cette formule n'a rien de "modifiée", c'est la formule qu'il faut utiliser dans tous les cas pour calculer la résultante des forces de masses. Et elle marcherait aussi bien pour des masses qui s'interpénètrent, c'est d'ailleurs ce que l'on fait implicitement lorsqu'on calcule la masse volumique d'un mélange de deux liquides (enfin on ne fait pas un calcul intégral évidement, une simple règle de trois, mais du point de vue des hypothèses ça revient à ça).

[coussin]

Raisonnons sur 2 sphères...
La distance apparaissant dans la formule de la gravitation est effectivement la distance entre les centres des sphères. Les sphères étant impénétrables, cette distance ne peut pas tendre vers 0. Au contact, cette distance est la somme des rayons des sphères.

[coussin]

Ensuite, il y a un autre point auquel vous pensez peut-être quand vous dites "les masses sont concentrées au centre de gravité" et c'est le théorème de la coquille. Ce théorème vous dit, justement, que si les sphères ont des masses réparties uniformément vous n'avez même pas à intégrer sur la densité de masse...

[sylbio21]

Bonjour
désolé pour la réponse tardive, bizarrement je ne recevais pas de notification de messages
Merci pour vos réponses.
Effectivement le théorème de la coquille répond à mon interrogation et m'explique comment un petit objet, qui viendrait de l'espace et tomberait dans un puits jusqu'au centre de la terre, se comporterait.
On ne pourrait donc pas utiliser la même fonction pour décrire sa trajectoire. Il faudra étudier se qui se passe au dessus et au dessous de la surface séparément.
Sinon je pensais plutôt à l'interpénétration de 2 sphères (situation théorique) comme par exemple 2 sphères composées de filaments radians (comme des oursins). Comme pour l'objet entrant dans un puits il y aura donc 2 fonctions différentes à étudier (et pas une seule comme je croyais bêtement).
Par contre, cela m'intéresserais de connaitre la fonction qui décrit le comportement de 2 haltères, de leurs positions initiales (axes perpendiculaires centrés à distance zéro) jusqu'à une distance quelconque (force d'attraction),
dans le cas où les boules des haltères sont considérées comme ayant un rayon nul (car si les boules ont un rayon, je suppose que la fonction est différente lorsque la distance est inférieure au rayon d'une boule.