Notion d'état quantique à clarifier

[Rutebeuf]

Bonjour, je commence à m’initier en autodidacte à la mécanique quantique et j’ai un véritable problème avec la notion d’état quantique. Dans un document assez clair, la définition d’un état quantique est la suivante : « Le terme « état » désigne la situation d’un objet dans la réalité. L’état d’un corps correspond à sa situation dans l’espace-temps et est spécifié par trois grandeurs dynamiques externes fondamentales, la position, la vitesse et le spin. Un état est une fonction d’onde ψ(t) qui contient la position et la vitesse. » Mathématiquement, j’ai compris qu’un état est représenté par un vecteur ket unitaire appartenant à l’espace de Hilbert. Ce qui me déroute est l’utilisation de ce vecteur ket dans d’autres documents où l’état ne semble plus être une fonction d’onde, mais des états binaires 0 et 1 ou même une flèche vers le haut ou le bas qui représente la direction du spin up et down. L’écart avec la notion de fonction d’onde me semble disproportionné. Quelqu’un pourrait-il m’éclairer de manière simple sans utiliser un jargon trop abstrait pour le débutant que je suis ? Merci.
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[Deedee81]

Salut,

Les états font partie d'un espace d'état qui est un espace de Hilbert (plus exactement, ce sont les "rayons" et non les vecteurs de cet espace, c'est-à-dire en gros les vecteurs de norme égale à 1).

Et bien entendu selon les situations physiques, cet espace de Hilbert peut être très différent. Pour une particule disons sans spin, on aura juste une série d'états correspondant aux positions précises qui constituent une base (vectorielle) d'états. Il y a une infinité d'états de base (espace avec une infinité de dimension) et l'amplitude <x|psi> (le produit scalaire entre un état position précise et l'état de particule) est une grandeur complexe typiquement appelée fonction d'onde. (souvent on utilise aussi la base impulsion, et on parle aussi de fonction d'onde, mais le contexte est alors sans équivoque)

Mais il existe aussi des situations comme le spin, ou a un nombre fini d'état de base (nombre fini de dimensions), mais ça reste un espace avec un nombre infini d'états (pour une base |+>, |-> par exemple, on peut avoir tout état a|+>+b|->, a et b complexes et en normalisant à 1). Toutefois il n'y a pas de fonction d'onde au sens traditionnel puisqu'il n'y a pas de position.

Mais le spin n'est jamais seul. Une particule avec un spin sera représentée par une fonction d'onde spinorielle, vectorielle (par exemple un "vecteur" colonne à deux valeurs/fonctions d'onde, pour le spin 1/2. Plus précisément un vecteur colonne avec deux valeurs fois la fonction d'onde de position/impulsion). Le tout portant traditionnellement le nom de fonction d'onde spinorielle, vectorielle, etc... Dans ce cas l'espace de Hilbert complet sera le produit tensoriel de l'espace pour le spin et celui pour la position. D'autres représentations mathématiques sont a priori possibles, mais celle là est fort pratique. Avec juste parfois des choix de bases différentes (par exemple une base hélicité pour le spin, c'est assez fréquent)

J'ai déjà vu aussi que la partie spin (le vecteur colonne) était nommé "fonction d'onde de spin", c'est un peu un abus de langage, mais ça se rencontre.

[coussin]

L'état complet d'une particule ayant un spin est le produit d'une fonction d'onde d'espace fois une fonction d'onde de spin . La partie d'espace est une fonction des variables continues x, y et z et contient en effet l'information concernant la position (et la vitesse) de la particule. La partie de spin est généralement une fonction propre de la "magnitude" du spin () et de sa projection sur un axe de quantification ().

Les valeurs de et sont discrètes contrairement aux variables d'espace x, y et z. Si le problème ne se préoccupe que des états de spin, par abus de langage on réduit l'état de la particule à seulement son état de spin . La particule en question a généralement une valeur de spin bien précise. Par abus de langage, on réduit son état de spin à sa valeur de . Si la valeur du spin S est 1/2, il n'y a alors que 2 valeurs possibles pour qui sont +1/2 et -1/2. Par abus de langage, on réduit alors l'état de spin au signe de . Dépendant des cas, on dénote ce signe de soit par (0,1), (+,-) ou (flèche vers le bas,flèche vers le haut).

Voilà

[Rutebeuf]

Merci pour toutes ces précisions. Cela m’aide, mais ce n’est pas encore assez clair pour moi. Je vais tenter de me faire une représentation de l’espace de Hilbert. Ce n’est pas évident pour un néophyte ! N’hésitez pas à me dire si je suis à côté de la plaque. À mon sens l’espace de Hilbert servirait de représentation géométrique semi-abstraite pour l’amplitude de probabilité ψ(w,y,z,t) de trouver une particule au voisinage d’une position (x, y, z) à un instant t donné. Ces amplitudes de probabilité étant représentées par des vecteurs rayon de norme unitaire, elles formeraient une espèce d’hypersphère dans l’espace de Hilbert. Les coordonnées (réelles et complexes) de chaque point situé sur cette hypersphère seraient un coefficient de probabilité (mais de quoi exactement ?). Où situer les états propres dans cet espace, sur les axes ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Deedee81]

Salut,

Poutquoi semi-abstrait L'espace de Hilbert c'est bel et bien abstrait, une pure modélisation mathématique de l'espace d'états.
En plus la mécanique quantique n'est pas semi-compliquée, elle est compliquée tout court

Les coordonnées (réelles et complexes) de chaque point situé sur cette hypersphère seraient un coefficient de probabilité

Ah non, ça non, ce que tu peux avoir c'est deux états, deux vecteurs de cet espace de Hilbert, et leur produit scalaire est un nombre complexe.
Et c'est le carré de la valeur absolue/amplitude/grandeur de ce nombre complexe qui est la probabilité.

L'espace de Hilbert est bien sûr un espace vectoriel construit non pas sur le corps des réels (ce qu'on rencontre très souvent en physique et en math) mais sur les complexes (tout corps peut convenir pour un espace vectoriel).
En plus il est complet (toute suite de Cauchy converge, pour tout espace vectoriel complexe avec un nombre infini de dimensions il existe une seule complétude possible) mais bon, ça on n'en a pas besoin ici (mais c'est important).

(mais de quoi exactement ?).

Pour l'exemple ci-dessus soit V le vecteur (normé à 1) et V' l'autre vecteur. La probabilité est celle de trouver le système dans l'état V' lors d'une mesure lorsque'il est initialement dans l'état V.

Si V' est un état position précis, ce sera lors d'une mesure précise de la position.

Où situer les états propres dans cet espace, sur les axes ?

Ca dépend des systèmes et des opérateurs considérées. Bon, considérons uniquement la position précise, et l'opérateur correspondant. Il y a une infinité de position précise et chaque position correspond à une direction dans cet espace de Hilbert, un axe. Et l'ensemble de ces positios/axes forme une base de l'espace vectoriel. Il y a donc une infinité de dimensions.

Bien sûr on ne considère que les vecteurs normés et donc techniquement on ne considère qu'une hypersphère de rayon unité dans cet espace. Mais on ne s'amuse pas à ça car il est de toute façon plus facile de calculer avec l'espace de Hilbert complet et de normer au moment voulu. On peut aussi parfois choisir les conditions de normalisation quand il s'agit par exemple de flux de particules, le choix étant toujours fait pour simplifier les calculs.

[Sethy]

Oui, les états propres forment la base à l'origine de l'espace de Hilbert. D'ailleurs ces fonctions d'onde sont orthogonales entre-elles.

Je reprends, ce que j'ai récemment écrit dans une autre discussion :

"
Ensuite, la théorie est dite à fonction propre (vecteur) et à valeur propre. Il a été question du vecteur propre, mais ici dans le cas qui nous occupe la valeur propre associée est une énergie. Le système noyau-électron peut prendre différente valeur d'énergie (c'est l'expérience qui nous l'apprend), il y a donc autant de fonction propre. Et comme les valeurs possibles d'énergie sont pour le cas du système noyau-électron infinies, il existe donc une infinie de fonction d'onde (de vecteur propre).

Dans le cas ultra-simpliste de l'atome d'Hydrogène non relativiste avec quelques autres hypothèses simplificatrice en prime, ces fonction d'onde se "ressemblent" et les énergies correspondantes répondent à une formule simple (en gros E = -13,6 eV / n^2 ou n est le nombre quantique principal).

Je vais prendre un autre exemple pour l'illustrer, c'est celui de la molécule la plus simple composée de deux atomes liés par une seule liaison chimique. Ce système peut-être modélisé par deux masses reliées entre-elles par un ressort (quantique, le ressort).

La fonction d'onde est alors beaucoup plus simple dans sa formulation puisqu'elle ne dépend plus que d'une seule variable (appelons-la d) qui représente la distance interatomique. Nous avons donc une fonction, appelons Psi(d). Pour information, il y a également une infinité de valeur d'énergie possible et la formule (pour ce modèle très simplifié) vaut E = (N+1/2)h.nu (ou N est un entier strictement positif et qui représente le niveau du système et h.nu est une quantité d'Energie liée à la nature des atomes et à la "force" de la liaison chimique considérée). Il y a donc une infinité de fonction Psi(d), une pour chaque valeur de N.
"

Et que ce soit pour l'atome d'Hydrogène ou pour le modèle de l'oscillateur harmonique quantique que je viens d'aborder, l'ensemble de ces fonctions (qui rappelons-le est infini) forment la base de l'espace de Hilbert et chacune d'entre-elles sont perpendiculaires 2 à 2 (autrement dit, si on calcule l'intégrale qui va bien on obtiendra soit 1 si on projette une fonction sur elle-même, soit 0 si on projette une fonction sur une autre).

Plus fondamentalement, ce que voit ici, c'est qu'il est (et c'est heureux) souvent possible de simplifier le problème comme je viens de le faire. Même la molécule la plus simple (H2) a une fonction d'onde à 8 composants (x1, y1, z1, sz1, x2, y2, z2, sz2), pouvoir la simplifier à une seule composante (d) facilite quand même grandement l'approche. Bien sûr, cela implique quelques hypothèses simplificatrices de plus, mais cela permet de résoudre analytiquement le problème (ce n'est pas rien) tout en isolant l'essentiel de l'accessoire (qui est souvent de surcroit, dispensable).

[Deedee81]

J'aime bien ton explication Sethy car elle est très complémentaire de mon explication plus générique et avec la base position.

Pour ce qui est des résolutions de système. Ca devient vite assez compliqué.

par exemple avec l'hélium (deux électrons, en interaction évidemment, autour du noyau) il n'existe déjà plus de solution analytique. Toutefois là ça va encore, on peut calculer des solutions approchées très bonnes avec des méthodes efficaces (comme la théorie des perturbation, ici ça marche bien). Le calcul numérique est très abordable aussi ici.

Pour des molécules complexes on trouve aussi de bonnes approximations. Feynman en donne de bons exemples avec des chaines de carbones ou le benzène.

Le vrai cauchemar c'est les systèmes non stationnaires (l'équation de Schrödinger ne peut plus être séparée en espace et temps avec des énergies précises). Même le "bête" effet tunnel sur une barrière rectangulaire nécessite un calcul numérique très costaud (avec envoi de paquets d'ondes, évidemment, le cas stationnaire est lui fort simple et fait partie des cas simples étudiés très tôt dans un cours classique).

[Archi3]

Un état est une fonction d’onde ψ(t) qui contient la position et la vitesse. » Mathématiquement, j’ai compris qu’un état est représenté par un vecteur ket unitaire appartenant à l’espace de Hilbert. Ce qui me déroute est l’utilisation de ce vecteur ket dans d’autres documents où l’état ne semble plus être une fonction d’onde, mais des états binaires 0 et 1 ou même une flèche vers le haut ou le bas qui représente la direction du spin up et down. L’écart avec la notion de fonction d’onde me semble disproportionné. Quelqu’un pourrait-il m’éclairer de manière simple sans utiliser un jargon trop abstrait pour le débutant que je suis ? Merci.

la différence essentielle est que pour la fonction d'espace, la dimension de l'espace de Hilbert est infinie (la dimension de l'espace est 3, mais comme la particule peut etre en n"importe quel point et qu'il y a une infinité de points, la dimension de l'espace des fonctions est infinie). Alors que "l'espace de spin" est discret, il y a un nombre fini de "points" qui sont justement ces "flèches" qui représentent les "positions de spin" de la particule, il n'y en a que 2S +1 , donc 2 pour une particule comme l'électron qui est de spin 1/2. Les flèches qu'on représente sont à comprendre comme des "points où la particule peut être" et il n'y en a que 2 : remplace tout l'espace 3D par deux points et tu auras la représentation de l'espace de spin (tu appelles un des points "flèche vers le haut" et un autre point "flèche vers le bas"). Du coup une "fonction d'onde" est juste une valeur (complexe) en un point et une autre valeur en l'autre point. C'est en fait un vecteur (complexe) à deux dimensions "ordinaire", c'est un espace vectoriel ordinaire à deux dimensions et pas un espace de Hilbert de dimension infinie. A part cette différence, le reste du formalisme est identique, il existe des "vecteurs propres" qui forment des bases (de dimension 2), sur lequel tu peux projeter n'importe quel état, etc ...

[Archi3]

Plus fondamentalement, ce que voit ici, c'est qu'il est (et c'est heureux) souvent possible de simplifier le problème comme je viens de le faire. Même la molécule la plus simple (H2) a une fonction d'onde à 8 composants (x1, y1, z1, sz1, x2, y2, z2, sz2), pouvoir la simplifier à une seule composante (d) facilite quand même grandement l'approche. Bien sûr, cela implique quelques hypothèses simplificatrices de plus, mais cela permet de résoudre analytiquement le problème (ce n'est pas rien) tout en isolant l'essentiel de l'accessoire (qui est souvent de surcroit, dispensable).

attention quand même à ne pas entretenir la confusion sur la dimension de l'espace et la dimension de l'espace des fonctions sur cet espace. Dès que tu introduis une seule variable continue, la dimension de l'espace de Hilbert associé est infinie (même si cette variable à en elle même une dimension "1").

PS : c'est un détail, mais dans ton exemple de H2 tu ne considères que les fonctions d'onde électroniques mais si tu considères les protons, il faut multiplier par 2 le nombre de variables, il y en a 16. Encore plus si tu considères les quarks dans les protons et leur couleur ...

[Deedee81]

Salut,

Déjà plus haut on a vu que ça coinçait un peu là.

Peut-être pour bien débobiner la confusion dû au fait qu'il y a un même mot pour deux choses, "espace" :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_(notion)#Physique

c'est l'espace "ordinaire" (avec un usage en physique qui varie selon les théories)

Et :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Espace...%C3%A9matiques

Le nom donné à des ensembles dotés d'une structure particulière en mathématique et qui n'ont rien à voir avec l'espace ordinaire (sauf pour quelques cas, les représentations mathématiques de l'espace ordinaire).
L'espace de Hilbert est de ceux-là.

D'autant plus confus que les représentations de l'espace ordinaire sont souvent des espaces vectoriels, et l'espace de Hilbert est un espace vectoriel. Mais ce dernier est assez différent (nombre de dimensions variable, parfois infini, espace vectoriel complexe). Encore une histoire d'expression identique !!!!

C'est malheureux d'avoir le même mot mais les langues humaines sont parfois un peu pauvre

[Archi3]

et en plus les flèches utilisées pour le spin peuvent être confondues avec les vecteurs d'état alors que c'est assez différent (classiquement, le moment cinétique est bien un vecteur, mais à trois composantes; alors qu'un spineur 1/2 est un vecteur à 2 composantes)

[Deedee81]

et en plus les flèches utilisées pour le spin peuvent être confondues avec les vecteurs d'état alors que c'est assez différent (classiquement, le moment cinétique est bien un vecteur, mais à trois composantes; alors qu'un spineur 1/2 est un vecteur à 2 composantes)

On parle même de la "somme ou règle vectorielle" pour des combinaisons de spin alors que c'est autant des vecteurs que moi je suis une limace.

[Archi3]

c'est quand même un peu plus des vecteurs que tu n'es une limace, puisque tu peux vraiment faire des combinaisons linéaires

par exemple un état de spin aligné sur X avec la valeur +1/2 est bien une c.l. d'états de spin alignés sur Z avec +1/2 et -1/2. Mais ça ne correspond évidemment pas avec l'addition géométrique habituelle, évidemment en faisant des c.l. ordinaires de vecteurs alignés sur Oz tu ne peux pas créer un vecteur aligné sur Ox. Au début de la mécanique quantique on se représentait les spins comme des "vecteurs tournant" (du fait que la norme était toujours supérieure à la projection sur un axe) et on pouvait bricoler des modèles géométriques d'addition vectorielle, mais ça reste du bricolage ...

[Deedee81]

mais ça reste du bricolage ...

Le calcul des coefficients de Calabi-Yau ou Cabillaud comme je dis, c'est pas de la tarte et certainement pas aussi simple que ça (enfin, bon, tout le monde utilise les tables précalculées).

P.S. Bon désolé, là on a vraiment trop loin par rapport au sujet initial bien qu'il était sans doute très utile de préciser les risques de confusion. J'arrête ici

[ThM55]

Tu ne confondrais pas avec "coefficients de Clebsch-Gordan"? Calabi-Yau, ça n'a rien à voir.

[Deedee81]

Tu ne confondrais pas avec "coefficients de Clebsch-Gordan"? Calabi-Yau, ça n'a rien à voir.

Et dire qu'on parlait de Lapsus dans une autre discussion
(en plus je ne joue jamais avec ces variétés de CY, c'est assez loin de ce que je maitrise)

oui, en effet, merci de la rectification.