Démonstration d'une formule

[Laura937]

Bonjour,
J'ai besoin de votre aide, je dois démonter une formule mais je comprend pas comment faire. La formule est la suivante:

Δf'/f'²= (ΔOA/OA²)+(ΔOA'/OA'²)

Démonter cette formule à l'aide du calcul différentiel.
Voilà, si quelqu'un pouvais m'aider sa serait sympa.
Merci d'avance à ceux qui le feront.
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[albanxiii]

Bonjour et bienvenue sur le forum,

Un peu de contexte aiderai à vous répondre. Avez-vous un énoncé complet ?

[gts2]

Bonjour,

Je pense que c'est le calcul "à l'ancienne" de l'incertitude sur la focale à partir de la relation de conjugaison.


Il suffit en effet de différencier et de raisonner en variation max : si a=b-c alors

[Laura937]

Oui bien sur, c'est un tp (qu'on a pas encore fait) on doit calculer Δf1'/f1' à partir de cette formule.
On sait aussi que ΔOA= Δxa -Δxo et que ΔOA'= Δxa'+Δxo
Avec xa= point de l'objet A
xo= position du centre optique O
xa'= position du point A'
A et A' sont conjugué
On note aussi Y= 1/OA' et X=1/OA => Y=f(X)
Voilà je crois c'est tout.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Laura937]

J'ai pas compris que tu dis raison en variation max, je dois dérivé la relation de conjugaison ?

[Morteen]

Bonjour.
Cette formule est une forme simplifiée de la formule de propagation des incertitudes, qui est utilisée pour estimer l'incertitude d'une mesure en fonction des incertitudes associées à chaque variable utilisée dans le calcul.

Démonstration:

Soit f(OA, OA') une fonction dépendant de deux variables OA et OA'

Δf' = df = df/dOA * ΔOA + df/dOA' * ΔOA'

En utilisant la dérivée partielle, on obtient:

df/dOA = ∂f/∂OA, df/dOA' = ∂f/∂OA'

Δf' = (∂f/∂OA) * ΔOA + (∂f/∂OA') * ΔOA'

En divisant les deux côtés de l'équation par Δf' et en utilisant la définition de la dérivée, on obtient:

1/Δf' = (ΔOA/∂f/∂OA) + (ΔOA'/∂f/∂OA')

Et enfin, en utilisant la définition de la dérivée seconde:

1/Δf' = (ΔOA/OA²) + (ΔOA'/OA'²)

C'est la forme simplifiée de la formule de propagation des incertitudes.

OK, je sors

[gts2]

Le principe du calcul repose sur la définition de l'incertitude (avec un ) comme un majorant de la valeur absolue de l'écart (avec un ).

Si x=f(y,z) ; dx=A dy + B dz ; on confond différentielle (dx) et variation ()
donc

On voit donc que l'on passe de la différentielle aux incertitudes, en remplaçant dx par l'incertitude et les coeff A et B par leur valeur absolue.

[Laura937]

Merci pour ton aide, je vais essayé avec ce que tu m'a montrer de trouver la formule demandé.

[Laura937]

D'accord merci, je vais voir ce que je peux faire avec les informations que tu m'a donné. Merci encore de ton aide

[Laura937]

Je reviens te demander un truc parce que dans ton explication il y a quelque chose que jai pas compris c'est comment tu passe de la ligne 3 a 4, enfaite ça doit être l'écriture que j'ai pas compris parce que tu divise tout
(ΔOA/∂f/∂OA) + (ΔOA'/∂f/∂OA')
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Tu divise 2 fois dans la même fraction ça fait que le grand trait de fraction c'est le 1er ou le 2me trait de fraction ?

[gts2]

Il est quand même plus simple de différentier directement la relation de conjugaison
Je suppose que vous savez que
puis de passer aux incertitudes en mettant des valeurs absolues.