rayon de Schwarschild appliqué à des objets communs

[DocHeredit]

bonjour,

Le rayon de Scharwschild est donné par la formule:
Rs-2GM/c¨2
Ce rayon est en général appliqué aux objets astronomiques très massifs

simple question:
Cette formule appliquée à un objet commun(une pomme par exemple) donne-t-elle le rayon de Scharwschild extrêmement faible qu'il faudrait atteindre lors d'une énorme compression de la pomme de manière à ce qu'elle entrâine un mini trou noir?

si non,quelle est l'éqquation qui donne le niveau de compression de matière(une pomme par exemple) donc une masse énorme de telle manière que cette pomme se transforme en mini trou noir?


merci de votre aide
-----

[physeb2]

Bonjour DocHeredit,

La métrique de Schwarzschild décrit un système de masse centrale dans le vide. En clair, tu mets la masse que tu veux, ponctuelle, au centre et tu regarde ce qu'il se passe avec la courbure. Tu obtient alors a quelle distance la courbure commence a permettre a la lumière de pouvoir s'échapper. Tu obtiens alors le rayon que tu décrit.

Cette formule appliquée à un objet commun(une pomme par exemple) donne-t-elle le rayon de Scharwschild extrêmement faible qu'il faudrait atteindre lors d'une énorme compression de la pomme de manière à ce qu'elle entrâine un mini trou noir?

Dans le vide seulement, oui. Si tu mets la masse d'une pomme dans le rayon de Schwarzschild associé, tu aura un mini trou noir.

si non,quelle est l'éqquation qui donne le niveau de compression de matière(une pomme par exemple) donc une masse énorme de telle manière que cette pomme se transforme en mini trou noir?

J'essaye de réécrire ta question. Veux tu dire: "Quelle masse devrait avoir un objet de la taille de ma pomme pour que ce soit un trou noir?"
Si c'est ça ta question. il suffit d'utiliser la même formule que celle que tu as écrit, et chercher la masse correspondante pour Rs = rayon de ta pomme.



Cette masse est la masse minimum que tu dois mettre dans le volume



Pour obtenir un trou noir de Schwarzschild. Dans le cas où tu veux créer un trou noir de ce rayon exactement, alors tu dois mettre exactement cette masse dans un volume plus petit ou égale.

La densité est donnée par:


Tu peux voir tout de suite que la densité des trous noirs diminue avec le rayon et donc avec la masse.

J'espère que ça répond a tes questions.

[stefjm]

Bonjour,
Et c'est encore pire si on se pose la question du rapport du rayon gravitationnel par rapport au rayon classique d'un électron.
https://books.google.fr/books?id=H8h...page&q&f=false
Cordialement

[DocHeredit]

si on arrivait à comprimer la pomme de façon à créer ce mini trou noir,ce dernier engloutirait-il quoi:
-des petits objets?
-tous les objets ?
-la Terre ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[ThM55]

Il n'engloutirait rien du tout. Un tel trou noir aurait une énorme température de Hawking et s'évaporerait instantanément en émettant une grosse quantité de rayonnements.

[ThM55]

On peut faire quelques calculs.
La température de Hawking d'un trou noir de masse M est (en Kelvin)

: constante de Planck réduite
: vitesse de la lumière dans le vide
: constante de Boltzmann
: constante de la gravitation
masse de la pomme.

Si on fait le calcul on obtient l'ordre de grandeur . C'est absurdement gigantesque, aucun phénomène connu n'atteint une telle température.

Un corps noir à température T rayonne comme la quatrième puissance de la température! C'est loi de Stefan-Boltzmann: le flux de la puissance de rayonnement est Watts par mètre carré. Ici est la constante de Stefan.

La puissance émise est donc W, où est le rayon de Scwharzschild de notre pomme comprimée en trou noir:

m.

En injectant les valeurs numériques, j'obtiens un ordre de grandeur: W.

C'est une énorme puissance, mais la quantité d'énergie à évaporer est celle contenue dans la pomme, Joules, ce qui n'est pas si énorme (ça doit suffire toutefois pour fournir de l'énergie pendant un an aux ménages d'une petite ville, il vaut mieux toutefois ne pas se trouver trop près de l'objet lors de sa formation). Donc notre trou noir va s'évaporer en un temps très bref:

secondes.

Cela dit, il est possible que ce calcul, reposant sur les approximations semi-classiques de Hawking, doive être revu dans un tel cas car les effets de gravitation quantique sont sans doute importants (indépendamment des possibles erreurs dans mes calculs). Néanmoins, les ordres de grandeur sont probablement corrects et il est certain qu'un tout petit trou noir de la masse d'une pomme a une durée d'existence très brève.

Il faut aussi dire que, à partir d'une pomme, c'est impossible à réaliser. Par quel moyen arriverait-on à comprimer une pomme dans son rayon de Schwarzschild? Je n'en vois aucun. Ce serait peut-être envisageable dans quelque processus cosmique cataclysmique que j'ai du mal à imaginer, mais même dans ce cas on voit que ce trou noir disparaîtra immédiatement en émettant des rayons gamma.

[ThM55]

Pour voir si les effets quantiques sont importants, on peut par exemple comparer la taille de l'objet de masse M, ici son rayon de Schwarzschild (10^{-27}m) à sa longeur d'onde Compton . Pour notre pomme de 100 grammes, cette longueur d'onde est très petite: m. L'approximation semi-classique semble donc encore valable dans ce cas.

Le rapport de la longueur d'onde Compton au rayon de Schwarzschild est inversement proportionnel au carré de la masse. Il faut des masses très petites pour arriver au régime quantique et même avec un objet léger de 100 grammes on a une marge de 15 ordres de grandeur. On peut donc dire que la physique des trous noirs réalistes (ceux qu'on observe dans l'espace) est très "classique" et que les effets quantiques décrits par Hawking sont des effets qui relèvent de la théorie quantique des champs autres que la gravitation.

Un trou noir dont le rayon serait comparable à sa longueur d'onde Compton véifierait en ordres de grandeur une égalité :

.

Sa masse serait ce qu'on appelle la masse de Planck: . Sa valeur est de l'ordre d'une dizaine microgramme. Dans un tel cas (un trou noir ayant la masse de Planck), on doit pour le décrire faire intervenir la théorie de la gravitation quantique.

[stefjm]

Et en poussant à l'électron?
Comme Weyl .

[DocHeredit]

quel est le rayon de Scharwschild minimum d'un trou noir pouvant engloutir la Terre?
(espérons que ce rayon soit très inférieur au rayon de la Terre)

[Sethy]

En voyant cette discussion tout à l'heure, je me demandais si la solution n'était pas dans les limites du modèle de Schwarzschild ?

Si je ne dis pas de bêtise, au moment d'attribuer une valeur à la constante d'intégration, celui-ci est parti de la limite classique. Je crois me rappeler qu'il était même question de développement en série et de limitation aux premiers termes. D'ailleurs ne parle-t-on pas de "solution en champs faibles".

Dès lors, n'est-il pas audacieux (pour rester "soft") de partir de la solution de Schwarzschild pour l'extrapoler à des situations aussi extrêmes ?

[Deedee81]

Salut,

Sethy, oui tu as raison, ThM a bien attiré l'attention d'ailleurs sur les limites des théories actuelles dans ce cadre. On a bien quelques validation en champ fort (surtout grâce aux trous noirs justement) mais on est quand même loin du régime discuté ici. Mais en l'absence de grive comme on dit. Tant qu'on ne va pas trop près de la masse de Planck disons que ça donne une idée raisonnable.

quel est le rayon de Scharwschild minimum d'un trou noir pouvant engloutir la Terre?

C'est extrêmement difficile à dire.

Il ne faut évidemment pas qu'il s'évapore plus vite qu'il n'engloutit tout. Donc je dirais à a grosse louche quelques milliards de tonnes pour ce critère.
Mais de plus, un trou noir n'est pas un aspirateur. Il exerce une gravité équivalente à l'objet initial (par exemple si Harry Potter transformait notre soleil en trou noir, les planètes ne verraient même pas leur orbite perturbée).
Un trou noir arrivant sur Terre à grande vitesse (chute libre venant de loin) traverserait la Terre comme du beurre, creusant un mini tunnel (qui se reboucherait vite en profondeur), et ressortant et partant à peine plus gros.

Pour engloutir tout rien qu'en passant il faudrait qu'il ait une gravité notable. Donc à nouveau à la grosse louche quelques milliards de milliards de tonnes (comme la Lune par exemple). Notons que sa taille resterait rikiki, 0.1 mm si je ne me trompe pas. Mais s'il passait pas trop vite, clairement, il pourrait provoquer un "démantèlement" et un effondrement de la Terre sur lui. Si par contre il arrivait à une vitesse de plusieurs millions de km/h il ferait juste un pt'tit trou mais les forces de marées seraient probablement dévastatrice, on ne serait pas englouti mais je doute que ce soit un événement banal !!!! (tremblements de terres, raz de marées, volcans... de quoi faire un joli scénario de S.F. je trouve )

(espérons que ce rayon soit très inférieur au rayon de la Terre)

Quelle drôle de remarque. Pourquoi "espérons" ? Te faire engloutir par un minuscule trou noir ne te gênerait pas ?

[ThM55]

En voyant cette discussion tout à l'heure, je me demandais si la solution n'était pas dans les limites du modèle de Schwarzschild ?

Si je ne dis pas de bêtise, au moment d'attribuer une valeur à la constante d'intégration, celui-ci est parti de la limite classique. Je crois me rappeler qu'il était même question de développement en série et de limitation aux premiers termes. D'ailleurs ne parle-t-on pas de "solution en champs faibles".

Dès lors, n'est-il pas audacieux (pour rester "soft") de partir de la solution de Schwarzschild pour l'extrapoler à des situations aussi extrêmes ?

Attention, la solution de Schwarzschild n'est pas une solution en champ faible, c'est une solution exacte des équations d'Einstein, valable en champ fort et en régime non linéaire. Quand il a découvert sa théorie, Einstein s'est montré un peu défaitiste (mais on ne peut pas le lui reprocher). Ses équations étaient fortement non linéaires et il pensait qu'il serait trop difficile de trouver une solution exacte. Il les a donc linéarisées "en champ faible" pour pouvoir négliger les termes quadratiques. A noter qu'il a a ce moment écrit une solution pour un corps en rotation, avec moment angulaire (dont la solution exacte n'a été trouvée qu'en 1963 par Roy Kerr). C'est dans ce cadre qu'il a calculé la déviation de la lumière et le mouvement du périhélie. La solution trouvée par Schwarzschild en 1916 a été une énorme surprise pour Einstein, il l'a avoué lui-même dans une lettre à Schwarzschild et il ne pensait pas que c'était aussi simple. Ce que Schwarzschild a fait c'est trouver une solution à symétrie sphérique dans le vide. Elle présente une singularité au centre (et, croyait-on à cette époque une autre en r=2GM/c^2, mais ce n'est qu'une limite du système de coordonnées) et asymptotiquement elle se raccorde à la solution préalable d'Einstein.

La limitation que j'ai indiquée due à la longueur d'onde Compton est celle où un régime complètement quantique doit être appliqué à la matière et au champ de gravitation. J'ai montré que ce n'est vraisemblablement pas le cas pour un trou noir de masse environ 1 kg. Pour avoir vraiment besoin d'une gravitation quantique, il faut aller très loin. Une autre limitation possible est celle où la gravitation s'étendrait à plus de 4 dimensions (si nous vivons dans une "brane"). Dans ce cas il est possible que la gravitation quantique soit nécessaire à plus grande échelle, bien avant l'échelle de Planck. Mais on n'a pas la moindre indication expérimentale d'un tel régime pour le moment.

[Sethy]

Attention, la solution de Schwarzschild n'est pas une solution en champ faible, c'est une solution exacte des équations d'Einstein, valable en champ fort et en régime non linéaire. Quand il a découvert sa théorie, Einstein s'est montré un peu défaitiste (mais on ne peut pas le lui reprocher). Ses équations étaient fortement non linéaires et il pensait qu'il serait trop difficile de trouver une solution exacte. Il les a donc linéarisées "en champ faible" pour pouvoir négliger les termes quadratiques. A noter qu'il a a ce moment écrit une solution pour un corps en rotation, avec moment angulaire (dont la solution exacte n'a été trouvée qu'en 1963 par Roy Kerr). C'est dans ce cadre qu'il a calculé la déviation de la lumière et le mouvement du périhélie. La solution trouvée par Schwarzschild en 1916 a été une énorme surprise pour Einstein, il l'a avoué lui-même dans une lettre à Schwarzschild et il ne pensait pas que c'était aussi simple. Ce que Schwarzschild a fait c'est trouver une solution à symétrie sphérique dans le vide. Elle présente une singularité au centre (et, croyait-on à cette époque une autre en r=2GM/c^2, mais ce n'est qu'une limite du système de coordonnées) et asymptotiquement elle se raccorde à la solution préalable d'Einstein.

Merci pour la correction. De mémoire, cela fait maintenant quelques années que je n'ai pas revisionné les vidéo de Richard Taillet, mais il me semblait me rappeler qu'à un moment une approximation "au 1er (ou 2ème) ordre" était fait afin de trouver la valeur de la constante d'intégration.

J'ai tort, j'ai tort.

[mach3]

Merci pour la correction. De mémoire, cela fait maintenant quelques années que je n'ai pas revisionné les vidéo de Richard Taillet, mais il me semblait me rappeler qu'à un moment une approximation "au 1er (ou 2ème) ordre" était fait afin de trouver la valeur de la constante d'intégration.

J'ai tort, j'ai tort.

En effectuant la résolution, on se retrouve à un moment donné avec un terme en dans l'expression exacte de la métrique (obtenue sans faire d'approximations). On trouve la valeur de en utilisant la métrique pour prédire des observables dans un domaine où le champ et les vitesses sont faibles pour comparer avec les observations connues prédites par la mécanique classique.
Par exemple si on calcule la vitesse angulaire d'une masse test en orbite circulaire, on trouve .
Autre exemple, si on calcule l'accélération propre (le champ de gravitation classique donc, g) d'un corps stationnaire, on trouve .
Il vient donc que . Dans ce qui précède, G=c=1 bien-sûr.

m@ch3

[ordage]

Bonjour,
Et c'est encore pire si on se pose la question du rapport du rayon gravitationnel par rapport au rayon classique d'un électron.
https://books.google.fr/books?id=H8h...page&q&f=false
Cordialement

Bonjour
Le lien n'est pas en accès libre.
S'agit t'il de l'électron de B.Carter?: Un TN de Kerr-Newmann surcritique (sans horizon avec singularité nue) de la masse de l'électron, de la charge de l'électron et du spin de l'électron et un facteur gyromagnétique de 2, me semble-t-il? Mais la ressemblance avec un électron quantique s'arrête là (pas quantifié).
Une curiosité tout de même..
Cordialement

[stefjm]

Non, c'est juste le rapport entre rayon gravitationnel et rayon classique de l'électon du même ordre de grandeur que le rayon classique au rayon d'univers observable.

[Sethy]

J'ai peut-être mal compris ce que Richard Taillet explique, c'est possible.

Mais après vérification dans les vidéos, il parle clairement de "limite Newtonienne" dans cette vidéo (13ème du cycle de 25) : https://videos.univ-grenoble-alpes.f...4633-cours-13/ à la minute 13:50

Ce résultat, il l'a établi dans la vidéo 4 : https://videos.univ-grenoble-alpes.f.../4642-cours-4/ à la 27:20 minute. Et là encore, il parle de limite Newtonienne.

D'où mon premier post de cette discussion.

[Sethy]

En effectuant la résolution, on se retrouve à un moment donné avec un terme en dans l'expression exacte de la métrique (obtenue sans faire d'approximations). On trouve la valeur de en utilisant la métrique pour prédire des observables dans un domaine où le champ et les vitesses sont faibles pour comparer avec les observations connues prédites par la mécanique classique.
Par exemple si on calcule la vitesse angulaire d'une masse test en orbite circulaire, on trouve .
Autre exemple, si on calcule l'accélération propre (le champ de gravitation classique donc, g) d'un corps stationnaire, on trouve .
Il vient donc que . Dans ce qui précède, G=c=1 bien-sûr.

m@ch3

Désolé, je n'avais pas vu ta réponse avant de poster.

J'imagine que R. Taillet fait l'équivalent mais d'une autre manière dans ses vidéos ?

[mach3]

Désolé, je n'avais pas vu ta réponse avant de poster.

J'imagine que R. Taillet fait l'équivalent mais d'une autre manière dans ses vidéos ?

Il faudrait que je les revoie. Ce qui précède vient d'une demo que j'ai faite moi-même (de A à Z, même le calcul du Ricci, exercice très formateur), donc le chemin n'est pas le même que celui de Schwarzschild et probablement pas de Richard Taillet (d'ailleurs l'expression métrique que je voulais obtenir est plus générale mais inclus celle de Schwarzschild).

m@ch3

[Sethy]

Il faudrait que je les revoie. Ce qui précède vient d'une demo que j'ai faite moi-même (de A à Z, même le calcul du Ricci, exercice très formateur), donc le chemin n'est pas le même que celui de Schwarzschild et probablement pas de Richard Taillet (d'ailleurs l'expression métrique que je voulais obtenir est plus générale mais inclus celle de Schwarzschild).

A propos de l'approche de Richard Taillet, il procède clairement par une approche bottom-up et pas top-down. Je veux dire qu'il ne commence pas par un cours de géométrie différentielle dans lequel il introduirait les symboles de Christoffel. Au contraire, il commence par établir l'équation des géodésique et ensuite il regroupe les termes qu'il baptise symbole de Christoffel. Et je dois bien avouer que comme chimiste ... ça me convient tout à fait.

Ensuite, je viens seulement de comprendre ce que tu suggérais. Effectivement, c'est bien la valeur d'une constante d'intégration qu'on cherche à évaluer. Par essence, elle ne peut dépendre, ni d'une manière, ni d'une autre du paramètre de l'intégrale.

On pourrait imaginer un expression plus complexe (en "masse", pas en distance) pour laquelle 2M serait la limite Newtonienne (en gardant tes conventions), mais avec la contrainte d'avoir les dimensions d'une masse.