H et J hermitiques preuve ?

[lesurveilleur]

Bonsoir,

Je cherche à prouver que H et J sont des opérateurs hermetiques :

-Pour H je pense qu'il faut prouver que les valeurs propres sont réelles...
-Pour J je n'ai pas d'idée si ce n'est de décomposer sous la forme J=S+L mais je sais pas, prouver que S est hermetique....

Je m'en remet à vous
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[lesurveilleur]

J'ai ma réponse pour H on utilise H =p^2/2m + 1/2 k x^2

[stefjm]

opérateurs hermetiques :

C'est pour cela que c'est incompréhensible la physique cantique.
hermitien ou hermitique en l'honneur de Charles Hermite.

[Deedee81]

Salut,

Oui il faut montrer que les valeurs propres sont réelles. C'est même pratiquement synonyme de hermitien (*). Notons que l'appellation moderne est en effet hermitien, le mot hermitique étant devenu plus rare (mais comme j'ai potassé avec des bouquins pas toujours récent ça m'arrive souvent de l'employer )

J n'est pas hermitien mais Jz et J² si. Voir :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Moment...teurs_J2_et_Jz

C'est évidemment "un peu" plus compliqué que pour l'hamiltonien.

(marrant ça le lapsus hermétique, c'est pas la première fois en plus)

(*) comme ici : https://www.lct.jussieu.fr/pagespers...st/node16.html

[A voir en vidéo sur Futura]

[albanxiii]

Je croyais que c'était grâce à la relation de fermeture que tout était hermétique

[ThM55]

Oui il faut montrer que les valeurs propres sont réelles. C'est même pratiquement synonyme de hermitien.

Attention, ce critère est parfois difficile à manier, surtout quand on considère les opérateurs impulsion et position P et Q. Si on ne reste pas dans l'espace de Schwartz, on peut avoir des "hallucinations", à savoir des "fonction propres" dont la "valeur propre" est non réelle pour certains opérateurs hermitiens. Le truc est de choisir une fonction qui n'est pas dans le domaine de l'opérateur et ne peut être considérée en toute rigueur comme une fonction propre. On peut donc être induit en erreur avec ce critère si on ne fait pas attention au domaine de définition. Cependant tous les cours de mécanique quantique que je connais passent ces aspects mathématiques sous silence. J'ai des exemples dans mes notes quelque part, je pourrais les retrouver si cela cous intéresse.

Sur L^2(R) ou L^2(R^n), l'espace des fonctions de carré intégrable (selon Lebesgue), qui est l'espace d'état naturel pour la mécanique quantique non relativiste, il est préférable de vérifier directement l'hermiticité (ou hermitianité?). Pour Q = 'multiplication par x' c'est trivial. Pour P=-i hbar d/dx, on le fait par intégration par parties (encore une fois il faut rester dans le domaine de définition, qui est strictement plus petit que L^2). Le carré de P et toute fonction scalaire de Q restent hermitiens, donc le hamiltonien l'est aussi.

Pour l'opérateur de spin S, on est en dimension finie, c'est plus simple. Il est construit sur les matrices de Pauli qui sont hermitiennes.