Calcul de temps de solidification

[Maya]

Boujour à tous,

Tout d'abord je ne suis pas très familière avec les forums je m'excuse donc d'avance si je ne pose pas exactement la question comme il le faut n'hésitez pas à me corriger

Je travaille sur un sujet de solidification dans une matière qui s'appelle Transfert de chaleur et de masse.

Je dois calculer le temps de solidification d'une goutte de plomb liquide initialement à sa température de fusion dans divers environnements (dans l'espace, sur terre, en chute libre etc). Cependant j'ai quelques difficultés sur ce problème.

Voici mon raisonnement actuel :
- J'ai calculé l'énergie nécessaire au changement total de phase de la goutte de plomb (liquide à solide) : E=m*L avec m la masse de la goutte et L la chaleur spécifique en J/Kg ce qui me donne un résultat en Joules
- J'ai ensuite calculé les quantités d'énergies dissipées dans les differents cas (seulement radiatif dans l'espace, seulement convectif sur terre, convectif + radiatif en chute libre) ce qui me donne un résultat en Watts
-J'ai fait un produit en croix afin de caluler dans chaque cas le temps nécessaire pour que l'energie dissipée (en Watts et donc en Joules/seconde) soit la même que l'énergie nécessaire au changement total de phase de la goutte de plomb ?

Cependant je ne sais pas si cette méthode est la bonne, en effet plus tard dans le problème, nous devons utiliser les raisonnements précédents pour calculer l'âge théorique de la terre si l'on prennait en compte qu'à l'instant T0 celle-ci est complètement liquide et actuellement elle est solide sur 35km depuis la surface (croute terrestre). Or ce problème fait intervenir une vitesse de solidification (concept que je ne comprends pas vraiment et que je n'ai pas utilisé pour la goutte de plomb).

Si certains peuvent m'aider à mieux comprendre comment l'on calcule le temps de solidification d'une sphère initialement à sa température de fusion cela m'aiderait vraiment.

Merci à vous et bonne journée,

Maya
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[gts2]

Bonjour,

Le raisonnement est approché mais correct en tenant compte du fait que c'est une goutte, donc de petite dimension par rapport aux longueurs caractéristiques..

Si on vous dit d'utiliser le même type de raisonnement, il suffit de calculer la masse des 35 km.

La vitesse de solidification c'est la vitesse du front solide/liquide.
Si on va un peu plus loin que votre règle de trois, votre raisonnement consiste à dire que la puissance dissipée P est égale à la dérivée de E=mL.
Exprimez la masse de terre solide à l'instant t, lorsque une hauteur est à l'état solide et vous verrez apparaitre votre vitesse de solidification.

Remarque : on se place dans le cadre de votre énoncé, je ne suis pas certain que dans le cas de la Terre, les approximations tiennent.

[Maya]

Bonjour,

Tout d'abord merci pour votre réponse.

Si j'ai bien compris cette vitesse de solidification est donc constante ? En faite je bloquais car je pensais que cette vitesse était fonction du temps ou de l'épaisseur parcourue.

J'ai donc fait l'exercice en utilisant l'hypothèse que cette vitesse est constante, cependant je conserve une incohérence :
- Dans le problème on nous explique qu'avant pour fabriquer des billes de plomb on faisait tomber des gouttes de plomb d'une hauteur de 70m afin qu'elle se solidifient durant la chute libre. Sauf qu'avec ma méthode de calcule je trouve que les gouttes de plombs refroidissent presque instantanéments en chute libre, et donc qu'une tour de 70m n'est pas du tout nécessaire.
- Dans mon cours j'ai trouvé deux formules que je ne comprends pas et qui pourraient permettre de determiner un temps de solidification :
Q=(kA/l)*(Tsurface - Tambiante)^2
l= racine(at)
avec A la surface de la sphère, k la conductivité thermique et a la diffusivité thermique.

Est-ce que vous sauriez d'où provient ces formules et ce qu'elles peuvent représenter ?

Merci encore,

Maya

[gts2]

Si j'ai bien compris cette vitesse de solidification est donc constante ? En faite je bloquais car je pensais que cette vitesse était fonction du temps ou de l'épaisseur parcourue.

Elle est constante dans le cadre de votre approximation, vous la calculez explicitement et vous trouvez qu'elle est constante ; il n'est pas nécessaire de le supposer.

Dans le problème on nous explique qu'avant pour fabriquer des billes de plomb on faisait tomber des gouttes de plomb d'une hauteur de 70m afin qu'elle se solidifient durant la chute libre. Sauf qu'avec ma méthode de calcul je trouve que les gouttes de plomb refroidissent presque instantanément en chute libre, et donc qu'une tour de 70m n'est pas du tout nécessaire.

Je trouve une dizaine de secondes mais j'ai pu me tromper.

Dans mon cours j'ai trouvé deux formules que je ne comprends pas et qui pourraient permettre de déterminer un temps de solidification :
Q=(kA/l)*(Tsurface - Tambiante)^2 avec l= racine(at), A la surface de la sphère, k la conductivité thermique et a la diffusivité thermique.
Est-ce que vous sauriez d'où provient ces formules et ce qu'elles peuvent représenter ?

Sans le carré (sinon ce n'est pas homogène), c'est Q entrant dans un milieu semi-infini et en négligeant la convection (absence de h)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Kondelec]

- Dans le problème on nous explique qu'avant pour fabriquer des billes de plomb on faisait tomber des gouttes de plomb d'une hauteur de 70m afin qu'elle se solidifient durant la chute libre. Sauf qu'avec ma méthode de calcule je trouve que les gouttes de plombs refroidissent presque instantanéments en chute libre, et donc qu'une tour de 70m n'est pas du tout nécessaire.

Qu'est ce que tu as pris comme coefficient d'échange ?

[Maya]

Comment avez-vous déterminer une dizaine de secondes ?

Moi j'ai fait ce raisonnement
-J'ai calculé un premier nombre de Reynold avec la vitesse de chute sans frottement.
-Comme Re>>1 je peux utiliser un PDF ainsi que la formule Cd=2Fd/(rho*U^2*S)
- J'isole la vitesse et j'obtiens une vitesse de 11m/s environ
- Je calcule la convection dans la chute libre avec la formule : Q=h(Ts-Tamb)A après avoir déterminé h grâce à Nu dont j'ai pris la corrélation "freely falling liquide drops" qui est Nu=2+0,6(Re^1/2)*Pr^1/3
- et pour finir même méthode du produit en croix et je trouve 1,73e-3 s pour une solidification en chute libre...

Je ne sais pas si je devrais prendre une corrélation plus classique pour Nu ou si j'ai un gros problème de raisonnement

[Maya]

J'ai pris h=151200 déterminé par la méthode que j'ai détaillée dans mon commentaire ci-dessus en réponse à gts2

[Kondelec]

Je ne sais pas ce que tu as pris comme taille caractéristique, prenons 2mm
Re = 1.55
Pr = 7
Nu = 3.42
h = 44.5 W/m²K, ce qui semble réaliste

[Maya]

Je n'ai pas du tout les mêmes valeurs :
Re = 800 (calculés avec PFD ainsi que les frottements de la chute)
Pr = 0,7 (j'ai oublié de précisé mais c'est une chute dans l'air et non pas dans l'eau)
Avec cela j'ai h = 151200 ...

[gts2]

Bonjour,

Si vous pouvions avoir toutes les données ... rayon de la goutte par ex. (d'après la vitesse de chute cela donne 3 mm ? ce qui me donne un Re de 3000)

[gts2]

En prenant r=3mm, et (sauf erreur de calcul !) je trouve
v=6,7 m/s
Re=2000
Nu=18
h=150
tsol=5,8s et tchute=10s

[gts2]

En prenant r=3mm, et (sauf erreur de calcul !)

J'ai oublié g !

[Kondelec]

Effectivement Pr = 0.7 et Re est plus élevé. Il était temps que j'aille me coucher...
Naturellement la goutte ne passe pas instantanément de 0 à 11m/s, il faut prendre en compte la variation de vitesse, qui influe sur les autres paramètres.

En prenant en compte ce facteur je trouve z = 40m environ

[Maya]

Voici toutes les données :

Hauteur tour = 70m
Rayon goutte = 1mm
Chaleur latente plomb = 23kJ/Kg
Conductivité thermique plomb = 16 W/mK
Diffusivité thermique plomb = 1e-5 m2/s
Densité plomb = 10,5e3 kg/m3

gts2 je ne comprends pas comment vous passez de Nu=18 (j'ai la même chose) à h=150 ? puisque pour moi h=(Nu*k)/D ce qui fait h=(18*16)/2e-3 = 144000
J'ai un facteur 1000 avec vous

[Kondelec]

C'est quoi ce 16 ? Il faut prendre la longueur caractéristique, ici le diamètre de la bille.

[Maya]

le 16 c'est le k càd la confuctivité thermique du plomb, le diamètre de la bille est au dénominateur
h=(Nu*k)/D ce qui fait h=(18*16)/2e-3 = 144000

[gts2]

Le nombre de Nusselt s'intéresse à la convection dans le fluide, donc ici l'air, donc c'est la conductivité de l'air qui intervient.

[Maya]

C'était donc ça mon erreur !
Merci à tous les deux de m'avoir aidé dans ce problème je vous souhaite une très bonne journée