Systèmes et sous systèmes quantiques

[La Limule]

Bonjour et meilleurs voeux a tous.

Il y a des différences majeures entre les notions de sous systèmes en physique classique et en MQ.
Du coté classique le passage système <----> sous système se fait par intersection-union. On utilise
des diagrammes de Venn si on veut faire des calculs de probabilité.
Du coté quantique ca va se faire avec deux autres outils:
c'est dérivée partielle <----> purification

Je me propose de traiter en illustration les particules corrélées partagées par les célèbres Bob et Alice.
La mécanique classique va permettre de consevoir que Bob est dans un volume spatial ou par intersection on éliminer la présence de ce qui est hors du volume. c'est la particule , ses propriétés , ce qui agit sur elle localement qui va compter.
C'est en contradiction avec la réalité.
Bob va mettre en place le dispositif des fentes de Young et observer l'écran des impacts. Pas d'interférences.
Pourtant si on prend a liste des propriétés de la particule (masse,enérgie,impulsion,diver s moments,spin etc) il sera impossible un par un de faire la prédiction interférences ou pas.

La MQ répond a ce problème par l'utilisation des matrices densité, des étars purs ou non.
ici décrits par des matrices 2 * 2.
Ces matrices sont mesurables et l'absence d'éléments non diagonaux est le signe d'une absence d'interférences.
j'aimerais que dans ce fil on ne se contente pas de commentaires mais qu'on regarde les formules.
je vais commencer avec celle indiquèe au début, celle de la purification qui fait passer du sous système au système plus global
Je vais noter u> et d> les états up et down obtenus par Alice sur disons l'axe des x et
u'> d'> ceux de Bob pour des mesures selon une direction faisant un angle theta avec les x
Ils ont tous les deux des particules avec une matrice densité 2*2 = Id/2
A la fin des mesures Bob va pouvoir prendre connaissance des résultats notés par Alice .
Ce sont les degrés de liberté supplémentaires ajoutés qui vont permettre par purification
d'obtenir un état global pur:


avec un coefficient de normalisation
On peut également l'écrire


avec un coefficient de normalisation
La matrice (pure) globale est V><V.
On notera que ce n'est pas de la pure manipulation mathématique. Dans une très belle expérience
Birgit Dopfer a fait apparaitre des interférences a partir de tels états globaux.
Dans le prochain post je vais expliciter l'opératon inverse qui permet de retrouver les matrices densité de Bob et Alice a partir de V><V par la technique de la trace partielle.

Avez vous déja des remarques ou commentaires ?
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[La Limule]

Les congrés Solvay sur le monde quantique ont commencé avant la premiere guerre mondiale et le dernier a eu lieu
en octobre. Je dis ca pour montrer qu'il ne faut pas en rester sur l'idée d'une physique parfaitement mystérieuse avec
des énigmes découvertes il y a plus d'un siècle et toujours sans réponses. Il y a eu des avancèes et techniques et conceptuelles. l'une d'entre elle a été faites par Zeh en 1970 avec la décohérence. Je parlais de l'expérience de
Birgit Dopfer, elle fait partie du groupe de travail de Anton Zeilinger , prix Nobel de physique 2022 (tout comme Alain Aspect et John Clauser).
Il est indispensable si on veut suivre un peu, meme de loin, il faut se familiariser avec les matrices densité qui
sont il faut le rappeler des quantités mesurables.
Si vous avez des problèmes avec cette notion voyez
https://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_densit%C3%A9
On y écrit la matrice rho comme combinaison linéaire de projecteurs u_n><u_p
Cette notation des matrices avec des kets et de bras est bien pratique.

[La Limule]

La trace partielle sur la matrice globale pure va faire passer dans notre cas d'une matrice densité pure 4*4
a une matrice densité 2*2 décohérée.
Une matrice carrée dans une base donnée est une combinaison linéaire de projecteurs orthogonaux.
Ainsi la matrice carrée Id2 est la combinaison linéare i><i + j><j dans la base orthonormé i> , j>
avec les coefficients coeff(i><i) = 1 et coeff(j><j) = 1
la trace d'une matrice carrée est la somme des coeff(vi><v2) ou v1 = v2
Pour la trace partielle on va construite la matrice densité de Bob 2*2 en calculant ses coeffs
pour son coeff(up,up) on va additionner les coeff(up>v> <w,<up) du systeme globar ou v=w
on additionne donc coeff(u>u'><u'<u) = /2 et
coeff(u>d'><d'<u) = /2
la somme donnant la valeur 1/2
ca c'est pour le coeff en haur a gauche
Pour l'autre coeff sur la diagonale en bas a droite on trouve également 1/2
Voyons le coeff en haut a droite c'est coeff(u><d)
on va de la meme facon faire la somme de
coeff(u>v'><w'<d) avec v' = w'
La matrice 4*4 est de la forme
(V1> + i V2>)(V1 - i V2) /2
les coeffs recherchés vont provenir de i V2><V1 et de -i V1><V2
et leur somme s'annule a cause d'un terme avec i et l'autre avec -1
On retrouve donc la matrice densité Id2 /2 utilisée par Bob et on aurait la meme matrice pour Alice.

On voit donc qu'on passe des matrices 2*2 de Bob en ajoutant les degrés de liberté aux quelles il n'avait
pas accès et qu'on utilise les formules de la MQ sur le systeme obtenu en sommant des amplitudes
et on retourne en faisant une opération de trace partielle.

[La Limule]

Maintenant que j'ai exposé ce que j'ai pu comprendre du formalisme quantique,
je serais curieux de savoir si comme moi , vous mettez ceci en relation avec quelques aspects problématiques.
Par exemple de "paradoxe" de l'ami de Wigner:
Wigner a un ami qui va voir si le chat est vivant ou mort dans sa boite. Wigner qui est dans une autre pièce pense
au système formé par le chat et son ami. Un événement a eu lieu: l'ami a fait une mesure et Wigner ignore le résultat. Faut il alors qu'il se dise que le couple ami + chat est ou bien du coté vivant et l'ami le savant ou alors (exclusif) chat mort et ami le sachant mort? si oui alors on a affaire a des probabilités (par igorance d'un événement ayant eu lieu ? on aurait alors un mélange statistique.
Ou alors comme le dit la MQ une superposition avec des amplitudes (cas pur)?
On pourra objecter que le chat + ami décohère tres rapidement mais si on prend en compte la décohérence,
le chat dans sa boite est un observateur et peut on encore parler de chat mort + chat vivant dans la boite?

[A voir en vidéo sur Futura]

[La Limule]

Je vais pour finir vous proposer un tres long article gratuit de Pour La Science sur l'ami de Wigner
https://www.pourlascience.fr/sd/phys...euve-19795.php
Bonne lecture