Questions sur l'interaction de deux systemes quantiques

[GrisBleu]

Bonjour

Je les un livre sur la theorie de l'information quantique. Une fois passe le debut (l interaction entre deux systemes) je comprends assez bien.

I) La ou je bloque est sur l'interaction entre un systeme A dans un etat et un systeme B dans un etat .
- On peut voir ca comme un "operateur" qui va de deux espaces hilbertiens vers un produit tensoriels de deux espaces hilbertiens . Est ce une approximation de ce qui se passe ?
- La ou je ne comprend plus c est l interaction si B est l environement. J'ai vu l'operation suivante ecrite dans d'autres papiers . i.e. l'etat de l'environement est modifie par A. C'est different de la premiere notation et, surtout, ca ne semble pas symmetrique (B ne semble pas agir sur A).

II) Le produit tensoriel des deux espaces hilbertiens contient des etats qui ne sont pas le produit tensoriels de deux etats (ex: ). L'auteur presente brievement le formalisme des matrices d'etats (ou matrices de densites). Je ne l'avais jamais vu avant. Y a t il une raison ? Est ce parceque ce n'est pas equivalent au formalisme habituel, est ce moins performant et est ce generalisable au cas relativiste ?

Desole pour toutes ces questions. Merci pour vos eclairsissements !
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[GrisBleu]

Au fait l'auteur est michel le bellac pour ceux que ca interesse.
livre

[chaverondier]

Bonjour, je lis un livre sur la theorie de l'information quantique. Une fois passe le debut (l interaction entre deux systemes) je comprends assez bien.

L'auteur presente brievement le formalisme des matrices d'etats (ou matrices de densites). Je ne l'avais jamais vu avant. Y a t il une raison ? Est ce parce que ce n'est pas equivalent au formalisme habituel

Cela permet d'étendre le formalisme quantique habituel (celui des états quantiques dits purs) à l'étude des cas où l'on a des états quantiques dits mixtes, c'est à dire des "états" d'un système S1 où il n'est pas possible de modéliser de façon complète l'état quantique du système S1 observé seul parce qu'il est intriqué avec un autre système S2. L'état quantique du système S1+S2 est alors dit non séparable (il n'est pas le produit tensoriel d'un état quantique du sytème S1 par celui d'un état quantique du système S2).

On peut cependant s'intéresser à l'état du système S1 considéré séparément de S2, mais alors on perd de l'information sur les statistiques des réponses de S1 à des mesures quantiques ultérieures éventuelles sur S1 (d'ailleurs, on ne peut même pas modéliser complètement le tout S1+S2 en ajoutant l'information que l'on a sur chacune des parties S1 et S2 considérées séparément).

Tous les états purs de S1+S2 donnant la même statistique de résultats de mesure des observables de S1 (cad perçus comme identiques par un observateur n'ayant des informations que sur S1), sont classés dans le même état dit mixte de S1. "Cet" état de S1 dit mixte est modélisé par un opérateur appelé opérateur densité. Lorsque S1 est dans un état pur |psi1> (cad tant que S1+S2 est dans un état produit |psi_tot> = |psi1> x |psi2>) cet opérateur densité vaut Rho1 = |psi1><psi1|.

Quand on connait l'état |psi_tot> du système S1+S2 (où même seulement l'état mixte Rho de S1+S2), on peut obtenir l'opérateur densité Rho1 (modélisant l'état quantique de S1 considéré séparément de S2) en réalisant une opération dite de trace partielle de l'état Rho = |psi_tot><psi_tot| de S1+S2. Cette opération consiste à éliminer toute information sur l'état quantique de S2 et sur les liens de corrélation éventuels entre les sytèmes S1 et S2 (Rho1 = somme des <psi_k2|Rho|psi_k2> où les psi_k2 sont les vecteurs d'une base hilbertienne de l'espace des états quantiques du système S2).

Dans le cas où Rho1 modélise, en fait, un état pur |psi1> du système S1, Rho1 est un projecteur de rang 1 (le projecteur orthogonal sur la droite vectorielle de vecteur unitaire |psi1> dans l'espace de Hilbert qui modélise l'espace des états quantiques de S1). Quand Rho1 donne, au contraire, une information incomplète sur S1 (par exemple quand Rho1 est l'état de polarisation d'un photon S1 de polarisation EPR corrélée avec celle d'un photon S2), alors l'opérateur densité Rho1 n'est plus un projecteur de rang 1. L'information manquante (l'entropie) de cet état mixte vaut

S = -trace[Rho1 ln(Rho1)] = -somme des p_k ln(p_k)

où les p_k, les valeurs propres de Rho1, sont aussi les probabilités de trouver le système S1 dans l'état propre |psi_k> si on fait une mesure de l'opérateur densité Rho1 (considéré comme grandeur observable).

Bref, quand on concentre son attention sur un système S1, on perd de l'information sur son environnement et sur les liens EPR éventuels que S1 entretient avec cet environnement. De plus, quand on mesure un Ensemble Complet d'Observables qui Commutent sur l'état d'un système on gagne une information complète sur l'état ainsi obtenu, mais on en perd sur l'état antérieur même si celui-ci était un état pur (cad était connu de façon complète mais n'était pas état propre de cet ECOC). C'est normal car enregistrer de l'information est une opération irréversible, cad une opération qui fait perdre de façon définitive de l'information à un observateur (on ne peut pas enregistrer d'information sans sacrifier une partie de l'information recueillie).

Quand Rho1 est un état pur, ça veut dire que l'observateur de S1 connaît parfaitement l'état quantique de S1. Dans ce cas, on trouve bien que l'entropie S de l'état du système S1 est nulle. L'opérateur Rho1 possède alors une seule valeur propre non nulle, de vecteur propre |ps1> et cette valeur vaut 1. Cela traduit le fait que S1 est, avec certitude, dans l'état |psi1>. Si on réalise la mesure d'une observable A ayant |psi1> comme vecteur propre et a1 comme valeur propre associée, on sait avec certitude que la mesure A sur S1 va donner a1 et que cette mesure ne va, en aucune façon, perturber l'état quantique |psi1> du système S1 (1)

(1) Les "réalistes" (comme Einstein, Podolski et Rosen) pensent que cela prouve l'existence d'un élément de réalité objective (cad d'une propriété existant indépendamment de la connaissance qu'en a un observateur) associé à cette valeur a1.

[GrisBleu]

Bonjour,

Merci pour cette reponse tres detaillee. Donc, si je comprends bien, les matrices de densite ne sont pas vraiment un autre formalisme, mais l'etude de sous-systemes d'un systeme global decrit pas des vecteurs d'etats.

Dans la MQ relativiste (QFC) - ou je ne suis vraiment pas a l aise - l'entite de base n est plus une "particule" mais des champs. Des champs classiques, on va vers des champs quantiques qui sont des operateurs. Je me demandais donc si les matrices de densites se generalisaient bien (ou si ce n etait pas si simple).

A bientot

[A voir en vidéo sur Futura]

[Deedee81]

Bonjour,

Merci pour cette reponse tres detaillee. Donc, si je comprends bien, les matrices de densite ne sont pas vraiment un autre formalisme, mais l'etude de sous-systemes d'un systeme global decrit pas des vecteurs d'etats.

Tout à fait.

Dans la MQ relativiste (QFC) - ou je ne suis vraiment pas a l aise - l'entite de base n est plus une "particule" mais des champs. Des champs classiques, on va vers des champs quantiques qui sont des operateurs. Je me demandais donc si les matrices de densites se generalisaient bien (ou si ce n etait pas si simple).

Ca se généralise sans problème car une matrice densité se rapporte à l'état (pur ou mixte) d'un système quelconque, pas nécessairement une particule seule. Et j'ai déjà vu l'usage des matrices densité en théorie quantique des champs.

[GrisBleu]

Bonjour,

Merci pour tes reponses
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