Calcul temperature dans une cuve à double enveloppe

[Trell]

Bonjour,

Je cherche à calculer l'évolution de la température d'un fluide, de T0 à T, dans une cuve à double enveloppe.
J'ai l'impression que la question est basique mais mes cours de Thermique sont loins et je ne suis pas sur concernant la façon d'aborder le problème.

La cuve est une cuve fermée, isolée, et chauffée par une double enveloppe dans laquelle circule un fluide chaud. Les propriétés des fluides (débit de chauffe qmc, masse du fluide dans la cuve mcuve, capacités calorifiques Cp) sont connus, de même que celle de la double enveloppe (coeff d'échange global U, surface d'échange S).

Je démarre en posant quelques équations de base:

1/ Bilan thermique du circuit de chauffe:
P= qmc x Cpc x (Tce - Tcs)

2/ Bilan thermique de la cuve:
P= mcuve x CP x dT/dt

3/ Habituellement j'utiliserai la méthode de la dtln pour ecrire le bilan de l'échangeur:
P=F. U. S x dtln
Mais c'est la que ça coince, je n'ai pas de delta T côté cuve. J'ai l'impression que quelque chose m'échappe.

->Comment vous y prendriez vous ? Quelle est l'astuce ?
->Serait il plus judicieux d'utiliser une autre méthode que la dtln ? Méthode de l'efficacité par exemple, en supposant une température de peau ?

Note: je n'indique pas les valeurs des CP, T°C, etc car je recherche une solution analytique, afin de pouvoir tracer le profil de chauffe en faisant varier les paramètres.
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[Kondelec]

Bonjour

Si tu connais le débit du fluide calorifique, ainsi que la différence de température entrée sortie tu connais la puissance échangée, donc tu peux déterminer la montée en température. Le coefficient d'échange découle de ces données, donc tu ne peux pas aussi utiliser ce coefficient dans ton calcul.

Par contre si tu es certain du coefficient tu peux déterminer la température à laquelle le fluide chauffant est censé sortir (connaissant la température dans la cuve).

[gts2]

3/ Habituellement j'utiliserai la méthode de la dtln pour écrire le bilan de l'échangeur : P=F. U. S x dtln.

Je ne sais pas ce qu'est dtln et F, mais le Delta T varie, il faut donc raisonner de manière différentielle, qqch du genre dP=U. dS x (T-Tc), comme pour un échangeur linéaire.
Cela risque malgré tout d'être très approximatif, car contrairement à l'échangeur linéaire pour lequel on connait le trajet du fluide, ici le mouvement du fluide dans l'enveloppe risque d'être complexe.
Solution compliquée : logiciel "multi physique" avec étude de l'écoulement dans l'enveloppe.
Solution simpliste : P=U. S x (T-(Tce-Tcs)/2)

[Kondelec]

F est le facteur correctif, lié à la géométrie, et ce n'est pas dtln mais DTLM.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gts2]

OK pour DTLM, donc cela revient à utiliser le résultat de l'intégration de la puissance élémentaire qui donne et et , donc c'est juste un cas particulier ?

[Kondelec]

Le problème ici est que la montée en température dépend de U, du DTLM (qui évolue en continu) et du facteur correctif, mais si l'on connait TEc et TCs on a déjà toutes les données nécessaires pour effectuer le bilan thermique, on connait la puissance cédée par le fluide chauffant.
Éventuellement on peut calculer U à postériori, mais seulement pour vérifier que le serpentin échange correctement.

[gts2]

C'est à @Trell de préciser mais il a écrit :

"Les propriétés des fluides (débit de chauffe qmc, masse du fluide dans la cuve mcuve, capacités calorifiques Cp) sont connus, de même que celle de la double enveloppe (coeff d'échange global U, surface d'échange S)."

Donc quelles sont les autres données ? Tinitiale (T0), Tentrée, pas forcément température de sortie.

Remarque : une solution analytique avec le DTLM qui comporte un 1/ln(), cela risque d'être compliqué.

[Kondelec]

Oui c'est compliqué si on passe par le DTLM, mais pour ce problème on va plutôt calculer l'efficacité de l'échangeur

[Trell]

En effet vous avez raison, je ne l'ai pas précisé mais on suppose que Tce est connue (car imposée).
En revanche Tcs est une inconnue car elle va effectivement varier au cours du temps selon la temperature dans la cuve.
Et merci pour la correction, c'est bien au DTLM que je faisais allusion (et non pas dtln comme je l'ai écrit).

En premiere approximation, j'ai trouvé une solution en utilisant une température moyenne Tm = Tce+Tcs/2, comme suggéré par GS2:
P = US (T - Tm)
Ajouté aux autres équations, on obtient une expression de la forme T = Tce - (Tce-T0) exp (B.t) Avec B = f(U,S, Cpr, qmc, etc)
On a donc bien une asymptote vers Tce.

C'est effectivement bien plus simple qu'en utilisant la DTLM.
D'autant que non seulement Tcs est inconnue, mais en plus contrairement à un échangeur linéaire je suis embeté pour définir la température de sortie coté cuve (encore qu'on pourrai admettre deux températures, Te avant échange et Ts après échange, mais compliqué).

Je pensais plutot à une solution via l'efficacité pour plus de précision, mais je peine à voir comment démarrer.

[Kondelec]

Tu ne peux pas faire l'hypothèse que la température moyenne est (TCe+TCs) /2 car la décroissance n'est pas linéaire. A la limite c'est presque acceptable si le Dt (T moyen - T cuve) est grand, mais ici on n'en sait rien.

Pour simplifier les calculs tu peux passer par l'efficacité :
Tu commences par calculer le NUT = UA / mCp min ; ici le fluid à prendre en compte sera le fluide chauffant
Ensuite tu calcules l'efficacité, qui vaut 1 - exp(-NUT)

Cette efficacité est le quotient de la puissance échangée sur la puissance maximale que tu pourrais échanger. C'est aussi (TCe - Tcs) / (TCe- T cuve)

[Trell]

Ca c'est interressant.
Je me souvenais des formules des NUT/Efficacité pour les échangeurs à co courant et contre courant, mais j'avais oublié le cas général.

Du coup cette solution en passant par l'efficacité me plait bien.
Pour récapituler on a donc:

1/ Bilan thermique du circuit de chauffe: P= qmc x Cpc x (Tce - Tcs)
2/ Bilan thermique de la cuve: P= mcuve x CP x dT/dt
3/ Efficacité: Tce-Tcs/Tce-T = 1 - exp(-NUT)

Quelques lignes de calcul plus tard, on retrouve une expression de la forme:
T = Tce - (Tce-T0) exp (A.E.t) Avec A = f(qmc, Cpc, mcuve, Cp) et E = efficacité

Pour rappel, en utilisant une température moyenne on obtenait:
T = Tce - (Tce-T0) exp (B.t) Avec B = f(U,S, Cpr, qmc, etc)

Les formes sont logiquement semblables mais les coefficient evidemment différents.
Pour info, j'ai fait une petite simulation avec des chiffres un peu aux hasards pour comparer les deux profils (Tce = 200°C / Tcuve = de 0 à 150C°)
Dans ce cas de figure, la chauffe est plus rapide en considérant une T°C moy, mais seulement de 4%.

Merci beaucoup pour votre aide!