Présentation d’une nouvelle loi analytique en optique : la Loi de Koelsch.

[Enzo K]

Bonjour à tous,

Je souhaite partager avec vous une découverte personnelle en optique géométrique, que j’ai nommée la Loi de Koelsch. Cette loi fournit une expression analytique permettant de calculer l’aire d’une ombre projetée par un objet tridimensionnel, en fonction de sa géométrie et de l’angle d’incidence de la lumière.

Concrètement, pour une surface définie par une fonction de hauteur f(x) sur un intervalle [a, b], éclairée par une lumière inclinée d’un angle α, l’aire de l’ombre projetée est donnée par la formule suivante :



Cette formule résulte d’un passage de la somme discrète à une intégrale continue, permettant un calcul rigoureux de l’ombre portée.

Au-delà de cette loi élémentaire, l’analyse de Koelsch établit que tout objet 3D complexe peut être décomposé en objets 3D plus simples, compatibles avec cette loi. Lorsque les ombres de ces objets simples ne se chevauchent pas, l’aire totale de l’ombre est la somme des aires des composants. Cela rend la loi applicable à des formes très variées, même complexes.

Les applications possibles sont nombreuses : architecture bioclimatique, urbanisme thermique, optimisation de dispositifs d’ombrage, et potentiellement dans la conception de surfaces et structures maximisant l’ombre pour protéger du soleil.

Je serais ravi d’avoir vos retours, critiques constructives ou idées pour approfondir cette loi. Toute discussion ou collaboration scientifique est bienvenue.

Merci d’avance pour votre attention !
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[Enzo K]

⚠️ Correction de la formule initiale (qui s’affiche mal ci-dessus) :

Il s'agit bien de l'expression intégrale de la Loi de Koelsch appliquée à l’ombre d’un objet 3D.

[gts2]

Bonjour,

Déjà, il faudrait déjà un peu préciser :
- vous parlez de 3D et vous prenez une surface
- vous ne raisonnez qu'avec un angle au lieu de deux

[coussin]

L'aire de l'ombre doit dépendre :
- de la distance entre la lumière et l'objet
- de la distance entre l'objet et l'écran (sur lequel l'ombre est je suppose...)

Qu'est-ce que z?
Comme gts2 : comment définissez vous un objet 3D avec une unique fonction f(x)?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Enzo K]

Bonjour,
Vous n’avez peut être pas vu la modification qui a été apportée. Je précise donc : la formule fonctionne sur une double intégrale. L’objet est donc bien 3d à extrusion verticale comme une sphère par exemple, ou un cylindre... De plus, vous avez entièrement raison de préciser qu’il faut prendre en compte deux angles et non un. Or, dans le cas de ma loi, je m’interesse à un cas où la source lumineuse éclaire l’objet de manière à ce que le deuxième angle (que vous évoquez ) vaut zéro. "Zero" =angle pris comme origine dans l’axe de symétrie de l’objet.

[Enzo K]

Bonjour
Merci pour votre remarque. Voici des précisions claires sur les deux points soulevés :

1. Qu’est-ce que z dans ma formule ?
→ z est la variable de hauteur verticale au sein de l’objet. L’intégrale de 0 à z_max permet de prendre en compte la contribution de chaque tranche horizontale de l’objet à la formation de l’ombre.
On peut voir cela comme une moyenne pondérée de la projection de l’ombre sur toute la hauteur de l’objet.
La formule devient alors :
A_ombre = (1 / z) × ∫[0 à z_max] ∫[a à b] (z / tan(alpha) - f(x)) dx dz

2. Comment un objet 3D est-il défini par une fonction unique f(x) ?
→ Dans ma modélisation, l’objet 3D est défini par une fonction continue f(x) sur l’intervalle [a, b], où f(x) donne la hauteur du relief à la position x.
Cela revient à dire que l’objet est formé par la courbe f(x) extrudée en profondeur (selon une direction perpendiculaire à l’axe x).

Cela ne limite en rien la nature de f(x) : elle peut être n’importe quelle fonction continue, aussi complexe que l’on veut.
On peut donc modéliser des objets variés, y compris des formes naturelles, dentelées, convexes, concaves ou irrégulières.

Pour les objets encore plus complexes, j’ai introduit ce que j’appelle l’analyse de Koelsch :
Tout objet 3D complexe peut être décomposé en une somme d’objets 3D plus simples modélisables par une fonction f(x), à condition que leurs ombres projetées ne se recouvrent pas.

Cela permet une extension naturelle de ma loi à des géométries plus générales.

Merci encore pour votre intérêt.

[coussin]

2. Comment un objet 3D est-il défini par une fonction unique f(x) ?
→ Dans ma modélisation, l’objet 3D est défini par une fonction continue f(x) sur l’intervalle [a, b], où f(x) donne la hauteur du relief à la position x.
Cela revient à dire que l’objet est formé par la courbe f(x) extrudée en profondeur (selon une direction perpendiculaire à l’axe x).

Je ne comprends toujours pas...
Il y a différentes fonctions f(x) à différents z, pour différentes tranches de l'objet ?
Quel serait la fonction f(x) pour un objet simple, une sphère de rayon R ?

[gts2]

Peut-être est ce que je comprends mal extrusion, mais une extrusion simple conduit à un cylindre et une extrusion avec largeur variable va nécessiter une étude préliminaire pour déterminer le "maitre-couple" qui dépendra d'ailleurs de l'angle.

Je suppose que le 1/z est 1/zmax ?
Pourriez-vous traduire la formule par un dessin pour qu'on voit ce que représente l'intégrante : on ne voit pas l'intérêt d'intégrer jusqu'à zmax si f(x)<zmax.

[Enzo K]

Rebonjour,
Vous avez parfaitement raison 1/z correspond à 1/zmax. (moyenne pondérée de toutes les aires des ombres projetées par chaque tranche de l’objet tridimensionnel). J’essaierai de traduire cette loi en dessin très prochainement. f(x) est indépendant du z. C'est-à-dire que la fonction f(x) modélise la forme de la tranche => chaque tranche est la même mais le nombre de tranche est déterminé par la hauteur z.
J’espère que ma réponse a pu apporter des éclaircissements.

[gts2]

J’essaierai de traduire cette loi en dessin très prochainement.

Donc je vais attendre le dessin, parce que j'ai toujours du mal à comprendre.
En particulier, je ne vois pas pourquoi il faudrait une moyenne pondérée.

[coussin]

La forme de l'objet ne dépend donc pas de z ?
Ça restreint les objets... Pas de sphère par exemple ?
(Je parle de sphère car c'est un exemple simple et connu...)

[coussin]

Je signale qu'il y a un théorème dû à Cauchy sur la moyenne de l'aire de l'ombre portée, moyenne faite sur tous les angles d'incidence...
Votre formule devra reproduire ce théorème.

[Enzo K]

Bonjour,
Vous avez tout à fait raison ma loi n’arrive pas à calculer les aires des ombres projetées par des sphères, des cônes, des montagnes par exemple sans tomber dans un cas précis. Elle a pour but de calculer ces aires pour des objets courbés mais à formes diverses. Pour calculer les aires des ombres projetées par des sphères,... j’ai amélioré ma formule en remplaçant f(x) par une fonction de deux variables f(x,y) : A_{\text{OMBRE}} = \frac{1}{z_{\max}} \int_0^{z_{\max}} \iint_{\mathcal{D}} \left( \frac{z}{\tan(\alpha)} - f(x, y) \right) \, dx\,dy\,dz. D étant la base d’où l’on part pour faire l’extrusion verticale de la sphère, du cône,...
Merci pour votre commentaire qui est très constructif et qui m’a permis de mieux appréhender les différentes limites conceptuelles de ma loi.

[coussin]

Votre formule marche-t-elle pour une sphère ? J'insiste sur la sphère car c'est un cas limite connu : vous devez trouver πR², indépendamment de l'angle alpha.
Pas évident de voir, dans votre formule, comment ça ne va pas dépendre de alpha (la fonction f(x,y) ne fait référence qu'à l'objet et est donc indépendante de alpha) pour une sphère...

[albanxiii]

Bonjour,

Cette formule résulte d’un passage de la somme discrète à une intégrale continue, permettant un calcul rigoureux de l’ombre portée.

Pourrait-on avoir, en plus du schéma, la dérivation rigoureuse de cette formule ?

Merci.

[Enzo K]

Bonjour à toutes et à tous,

Je souhaite aujourd’hui partager un aveu personnel concernant la théorie physique des ombres que j’ai publiée ici. Cette théorie n’est pas le fruit d’un projet encadré, ni d’un travail académique classique. Elle est née d’un moment de solitude, de réflexion intense, et d’une intuition physique que j’ai suivie jusqu’au bout.

À 17 ans, seul face à mon tableau blanc dans ma chambre, j’ai commencé à modéliser le comportement des ombres sans aucune connaissance préalable sur le sujet. Les seules bases dont je disposais étaient celles que j’avais moi-même construites à 16 ans, en élaborant une première version intuitive de la physique des ombres — toujours seul, uniquement guidé par mon esprit, ma curiosité, et ma passion pour comprendre.

Voici le document contenant cette version initiale, développée à 16 ans :
Théorie des ombres – Version fondatrice : https://docs.google.com/document/d/1...f=true&sd=true

Je tiens à préciser que je suis actuellement en classe préparatoire scientifique (PC) au lycée Masséna, engagé dans un parcours académique rigoureux depuis l’enfance. Mais cette théorie est née en dehors des cours, dans un espace de liberté intellectuelle, où j’ai pu explorer sans contrainte, sans modèle, et sans validation extérieure.

Je suis conscient que cette démarche peut surprendre, voire susciter du scepticisme. Mais je crois profondément que la science est aussi cela : une aventure humaine, faite d’élans solitaires, de tâtonnements, et parfois de fulgurances. Je ne prétends pas détenir une vérité absolue — je partage simplement une construction personnelle, née d’un regard neuf et d’un effort sincère.

Merci à celles et ceux qui prendront le temps de lire, de questionner, et peut-être de discuter cette démarche.

Enzo Koelsch

[Enzo K]

Bonjour,
Je souhaite ajouter que la formulation de ma loi était légèrement différente à l'origine, quand j'ai commencé à l'écrire : \[
A_{\text{ombre}} = \frac{1}{z_{\max}} \sum_{k=0}^{N-1} \int_{0}^{z_{\max}}
\Bigg[ (x_{k+1} - x_k) \left( \frac{h(z)}{\tan(\alpha)} - \tfrac{1}{2}\big(f(x_{k+1}) + f(x_k)\big) \right) \Bigg] \, dz
\]
J’ai ensuite affiné la notation et la présentation pour la rendre plus claire et plus fidèle à l’idée que je souhaitais exprimer.
Merci de votre attention.

[Bolero2Ravel]

Bonjour,
j'ai vraiment l'impression que tout ceci sort surtout d'un échange avec une IA...
Désolé si ce n'est pas le cas mais ça se multiplie affreusement sur ce forum.

[Enzo K]

Bonjour,
Je comprends parfaitement votre inquiétude vis-à-vis de la montée en puissance de l'IA. Cependant, toutes les idées, concepts, formules que j'ai inventé ne sont pas de l'IA mais bien de mon cerveau. En effet, j'ai utilisé l'IA mais seulement pour la mise en forme de mon article ne sachant pas comment m'y prendre pour en rédiger un. C'est mon tout premier article et je souhaitais qu'il soit rigoureusement bien rédigé et conforme aux codes scientifiques. En conclusion, AUCUNES de mes idées ne viennent d'un échange avec l'IA. Vous avez absolument raison, je n'aurais pas dû rédiger mon article en m'aidant de l'IA mais plutôt en essayant par moi-même.
Je vous remercie pour votre commentaire.