Bonjour,
quand mon prof de MQ dit que "immediately after the measurement" on doit retrouver la meme valeur, qu'entend-il par "immedately" ?
Quel est le temps caractéristique pour que la fonction d'onde ne soit plus une delta-function piquée sur la valeur ?
Ca dépend du système que l'on étudie ? De ce qu'on tente de mesurer ?
J'ai tenté de lui demander mais il a un peu..contourné la question
Merci
Benjamin
Quand tu mesures, tu projettes sur un sev propre, qui est stable sans perturbation externe (ie si il n'y a pas de couplage avec d'autres sources d'évolutions, style un champ EM). Donc si tu refais une mesure sur ton système tout de suite après (ce que signifie le immediately), il est toujours dans un sev propre donc le résultat sera identique.
Le temps caractéristique va dépendre dans la vraie vie du couplage du système à son environnement. Si par exemple tu suppose que son environnement ne fait qu'une perturbation du système au premier ordre, tu peux quantifier le temps caractéristique d'évolution très facilement en appliquant la théorie des perturbations stationnaires. Sinon ça devient un peu plus complexe (voire franchement très complexe !)
Salut,
Selon le principe de réduction du paquet d'onde, c'est instantané. Mais bon, 0 c'est pas très physique...
En pratique, il faut aller dans les finesses de la mesure quantique et voir que ça dépend de ta mesure. La décohérence se fait plus ou moins rapidement suivant les interactions avec le système.
Salut BioBen,Envoyé par BioBen
Bonjour,
quand mon prof de MQ dit que "immediately after the measurement" on doit retrouver la meme valeur, qu'entend-il par "immedately" ?
Quel est le temps caractéristique pour que la fonction d'onde ne soit plus une delta-function piquée sur la valeur ?
Ca dépend du système que l'on étudie ? De ce qu'on tente de mesurer ?
J'ai tenté de lui demander mais il a un peu..contourné la question
Merci
Benjamin
je pense que ce que ton prof exprime, c'est la projection du paquet d'onde. En gros, si tu réfléchis à ce qu'il te dit, cela revient à dire que suite à la mesure, le système est (par exemple) dans l'état |E> associé à la valeur propre E. En effet dans ce cas, quel que soit l'état |D>=a|E>+b|F>+c|G>+... avant la mesure, dire que le résultat de plusieurs mesures successives donne la même valeur propre E revient à dire que le système est toujours (dans un intervalle de temps très court) dans le même état |E> suite à la première mesure.
Donc, il me semble que les mots de ton profs sont une façon imagée de postuler la projection du vecteur d'état suite à la mesure. Si tu fais la mesure à t0, ne pas accepter ce que te dit ton prof revient à accepter que le résultat n'est pas nécessairement E lors d'une autre mesure très proche dans le temps. Cela implique que l'état n'est pas nécessairement |E> immédiatement après la mesure. Cela rentre en conflit avec le postulat de la projection du paquet d'onde, qui affirme que suite à une mesure, l,état est projeté sur le sous-espace associé à la valeur propre E.
Sinon, je ne pense pas qu'il y ait quelque lien que ce soit avec la décohérence (par exemple, tout ce qu'il dit devrait s'appliquer à la polarisation de photons qui n'est pas vraiment sensible à la décohérence).
Dans ce cadre, l'intervalle n'est pas ce qui est important. Dit toi que le but c'est seulement que tout de suite après la mesure l'état soit projeté, et qu'ensuite, livré à lui même, cet état s'étale en évoluant suivant Schrödinger.
Cordialement,
Simon
Aluu,
J'accepte tout à fait ce qu'il dit, j'ai bien compris la signification physique de ce postulat, mais ce que j'aimerai eclaircir un peu c'est ce que tu appelles "très proche dans le temps".ne pas accepter ce que te dit ton prof revient à accepter que le résultat n'est pas nécessairement E lors d'une autre mesure très proche dans le temps.
:
De quoi dépend ce "très proche dans le temps" ? Ce "très proche dans le temps" peut se calculer ?
Apparament Julien a apporté un début d'éclaircissement à tout ça en me disant que le calcul est faisable si on ne fait qu'une "perturbation du premier ordre".
Maintenant CoinCoin me dit que s'est théoriquement instantané, mais que en fait ca dépend de la mesure... et il parle de décohérence alors que tu (Lévesque) semble sous entendre que ca n'a aucun rapport avec la décohérence
Justement, moi c'est cet intervalle de temps qui m'interesseDans ce cadre, l'intervalle [de temps] n'est pas ce qui est important. Dit toi que le but c'est seulement que tout de suite après la mesure l'état soit projeté, et qu'ensuite, livré à lui même, cet état s'étale en évoluant suivant Schrödinger.
Je suis loin d'être un expert mais la vision naïve que j'en ai, c'est qu'un système que l'on fait interagir avec un autre va changer progressivement, c'est ce qu'on appelle la décohérence. Le temps correspondant dépend de l'intensité des interactions.
La mesure est alors un cas extrême d'interaction : on fait interagir le système avec un gros système macroscopique (l'appareil de mesure, l'observateur, ...). On a alors une décohérence extrêmement rapide qui conduit à se trouver quasiment instantanément dans un état pur.
On introduit alors le postulat de réduction du paquet d'onde, sans vraiment spécifier ce qu'on appelle une "mesure".
Mais je peux lourdement me tromper.
En fait on est tous les trois d'accord
Levesque insiste plus sur ce que signifiait ton prof, à savoir la mesure projette sans un sous-espace propre. Lorsque il te parle de l'étalement de l'état par la suite avec l'équation de Schrödinger, ça rejoint les propos de Coincoin et les miens, et là c'est très complexe à étudier : il faut résoudre l'équation de Schrödinger avec comme condition initiale l'état dans le sous-espace de projection de ta mesure, sachant que le système se recouple avec son environnement (d'où la décohérence dont parle Coincoin, enfin il me semble). Ce que j'essayais de te dire, c'est que dans des cas relativement simple, genre une perturbation constante par un champ électrique, tu peux calculer l'ordre de grandeur du temps au bout dusquel l'état quantique s'éloigne suffisamment de son état initial pour ne plus donner nécessairement le même résultat de mesure si tu recommences à faire une mesure dessus
Oui. Tout ça est discuté indépendemment de la mécanique quantique. Certains auteurs en parlent à leur manière dans leurs ouvrages, mais il faut distinguer la théorie de la mesure de la mécanique quantique.
En général, ce qu'on veut, c'est une prédiction théorique sur la probabilité d'un résultat de mesure. On ne veut pas savoir comment se déroule la mesure. La question que tu pose revient un peu à décrire le processus de mesure, par exemple, dans l'espace et dans le temps. Si tu veux faire ça, tu dois savoir que tu sors de ce qui est généralement appelé l'interprétation de Copenhague, laquelle s'intéresse seulement aux prédictions statistiques concernant des résultats de mesure. Dans ce cadre, la fonction d'onde n'est pas un objet qui se propage dans l'espace et dans le temps. C'est seulement un outil de calcul. Dire que la fonction d'onde a telle valeur immédiatement après la mesure revient seulement à dire que tes capacité de prédiction viennent de changer. Ta question revient à demander: combien de temps ça a pris pour que mes capacités de prédictions changent?
Tu comprends ce que je veux dire?
Maintenant, si tu aimes l'idée selon laquelle la fonction d'onde est un paquet qui se propage dans l'espace-temps (comme dans le Cohen par exemple, et c'est peut-être ce que t'enseigne ton prof), alors effectivement la question se pose: la réduction du paquet d'onde devient un phénomène objectif, c'est réellement un truc dont la forme se modifie dans l'espace et dans le temps, et il faut décrire comment est modifié cet objet. En général, on considère que la réduction est instantanée, mais ça amène plein de problèmes interprétatifs, des conflits avec la relativité par exemple. Chaque façon de voir ce problème constitue en elle-même une théorie de la mesure.
Simon
Ok je pense avoir capish dans les grandes lignes
OkSi tu veux faire ça, tu dois savoir que tu sors de ce qui est généralement appelé l'interprétation de Copenhague, laquelle s'intéresse seulement aux prédictions statistiques concernant des résultats de mesure.
Limite c'est pas trop ça qui me posait problème, mais surtout le fait qu'on impose à ce que la fonction d'onde reste dans son état propre pendant "une certaine durée" de telle facon que si on refait une mesure après un temps dt on trouve la meme valeur. Ok pour le point de vue physique, mais alors il faudrait pouvoir expliquer combien de temps dure ce dt, et c'est ce que Julien a plutot bien expliqué je penseEn général, on considère que la réduction est instantanée, mais ça amène plein de problèmes interprétatifs, des conflits avec la relativité par exemple.(c'est faisable quand l'interaction est "simple", mais dès qu'on corce un peu l'interaction ca devient trèèèès complexe).
Je ne pense pas avoir assez de recul pour pouvoir répondre à cette question malheuresement(comme dans le Cohen par exemple, et c'est peut-être ce que t'enseigne ton prof),
Merci de m'avoir aidé !
Benjamin
Je ne sais pas si je suis d'accord. Il me semble que ton argument tient en très grande partie sur l'effet de l'environnement.
Considère une particule tout à fait libre. Fait une mesure de position. Alors on peut penser qu'au moment précis de la mesure, la particule était bien localisée, c'est-à-dire que sa fonction d'onde est un pic de Dirac. Maintenant, utilise l'équation de Schrödinger pour connaître l'évolution de cet particule, tout à fait libre, en tout temps t suivant la mesure. Tu vas trouver que le paquet d'onde commence à s'étaler TRÈS rapidement, immédiatement (en un temps infinitésimale) après la mesure.
Tu disJe ne suis pas d'accord avec ça. La fonction d'onde est l'objet qui te permet de faire toutes tes prédictions théoriques, et elle s'étale même sans interactions. Peut-être me répondrais-tu que c'est l'interaction avec l'environnement qui cause l'étalement, mais alors tu devrais pouvoir m'expliquer pourquoi cet étalement est une solution de l'équation de Schrödinger? De plus, la décohérence est un phénomène qui prend une fonction d'onde avec laquelle on peut faire de l'interférence et en fait une fonction d'onde avec laquelle on ne peut plus en faire. Pourtant, le paquet d'onde qui s'étale est TOUJOURS susceptible d'interférence!? Très difficile pour moi d'imaginer un lien quelconque avec la décohérence...Quand tu mesures, tu projettes sur un sev propre, qui est stable sans perturbation externe. Donc si tu refais une mesure sur ton système tout de suite après (ce que signifie le immediately), il est toujours dans un sev propre donc le résultat sera identique.
Je reviens à ce que j'ai dit plus haut: "Tu vas trouver que le paquet d'onde commence à s'étaler TRÈS rapidement, immédiatement (en un temps infinitésimale) après la mesure." Plus tu es proche de la mesure dans le temps, plus l'état de ton système est proches de l'état propre (de position pour cet exemple).
BioBen demande ce que veut dire "immédiatement après la mesure, on trouve le même résultat". Si on veut savoir exactement combien de temps on peut attendre, il faut (i) connaître la précision de notre appareil de mesure (de position pour cet exemple) (ii) connaître l'évolution dans le temps du paquet d'onde. Tu calcules ensuite quel est le temps t avant que l'étalement ait un effet mesurable. Tu as alors la réponse à ta question.
À titre d'illustration, imagine que tu filme un bocal de liquide à la surface duquel il y a une particule Brownienne, et que tu connais la distribution de probabilité de trouver la particule en x au temps t si elle est en x0 au temps t0. Cette distribution est comme ta fonction d'onde. Imagine maintenant que la résolution de ta caméra est de 1 image par seconde. Tu remarques alors qu'à chaque image, la particule a beaucoup bougée. Si chaque image est une mesure de position, tu conclus que 1 seconde n'est pas immédiatement après une mesure. Modifie maintenant continuement la résolution de la caméra, jusqu'à ce que deux images successives ne puissent jamais te permettre de distinguer si ta particule a bougée. Ce temps caractéristique entre deux images est le temps que tu recherches.
En mécanique quantique, on POSTULE que tout de suite après la mesure, la position est encore la même. Cela revient à postuler que si on fait tendre t vers t0, alors l'état de l'objet se rapproche de celui qu'on a obtenu en t0.
Peut-être que les mots de Dirac pourraient aider:...il est nécessaire maintenant de préciser la définition correspondante d'une observation. Pour y arriver, il faut, en décrivant une observation, spécifier l'intervalle de temps qui sépare la préparation du système du moment où l'on fait l'observation, ou de l'instant où l'appareil d'observation doit être mis en marche. Il faut remarquer qu'on peut parfaitement attribuer un sens à une observation effectuée, sur un système dans un état donné, à un instant antérieur à la préparation de cet état. Supposons que le système soit préparé à l'instant t0, de façon qu'après cet instant il soit dans un état bien déterminé; nous pouvons très bien nous imaginer quelle devrait être sa structure avant le temps t0, pour que, abandonné à lui-même et non perturbé, il évolue de façon à se retrouver après t0 dans l'état considéré. Nous pouvons donc supposer que l'état ainsi considéré soit produit antérieurement et attribuer ainsi une signification précise à une observation faite avant t0 sur le système dans cet état.Dire "il est possible d'attribuer une signification physique précise à une observation faite avant une autre" revient à dire qu'il est possible de préparer un état; i.e. qu'il est possible qu'immédiatement après une mesure, l'objet soit laissé dans un état bien déterminé.
Cordialement,
Simon
Merci pour cette réponse détaillée.
Laisse moi le temps de la décortiquer un peu et de voir ce que mon prof en dit dans son cours (dispo ici).
A propos de "l'interprétation" de la fonction d'onde, qu'en pense Lévy-Leblond ?
Et donc Cohen-Tannoudji n'adopte pas totalement l'interprétation de copenhague (dans le sens où il ne considère pas la fonction d'onde que commme un outil de calcul) ?
Eh mais dis moi....t'es presque sur la meme latitude que moi toi ! J'ai mis tant de temps à répondre à ton message car futura est toujours à l'heure de paris donc ton message était passé en "deja lu".
Le mesure de position est toujours un peu particuliere due au fait que l'operateur R intervient dans l'operateur d'evolution H (ou equation de shrodinger si tu prefere) H (de la particule libre) contenant par la meme occasion l'operateur impulsion P, ce dernier ne commutant pas avec R, alors la mesure de position ne sera pas stable, par contre si l'on considere une autre quantite comme le moment cinetique par exemple (non sa projection) il devrai rester stable....enfin j en appelle a votre aide,car le ce n est que suppositions soutenues par qqs souvenirs.
Pour ce qui est du couplage avec l'exterieur, ca me parait assez plausible qu en fonction de l'intensite du couplage on peu changer l'etat de la particule, mais j aimerais bien qu'on m'explique jusqu'a quelle mesure cette facon de voir peut s'appliquer a ce que l'on appelle l'information quantique, les etats correles? apparement deux particules liberes au meme moment dans des etats correles s'eloigne indefiniment l un de l autre tout en maintenant leur etat de depart. Et si l'on perturbe l etat de l'un (par une mesure exterieur par exemple) l'etat de l'autre particule change instantanement (ainsi notre chere Alice sait si Bob l'a trompee ou pas). Ce changement instantannee peut il s'interpreter comme une perturbation ou pas? apparement la notion de temps n'intervient pas vraiment puisque le changement est instantanne (le paradoxe EPR ayant ete leve experimentalemt par Alain Aspect il y a quelques annees)
A ce propos quelqu un pourrait il m expliquer en quoi ce que l on appelle les inegalites de Bell demontre qu il n y a pas paradoxe..
Bref si quelqu un a les idees claires ET synthetiques sur tout ca, il en serait grandement remercie
thank you
Pour info, quand deux particules sont corrélées elles forment un seul et unique système quantique.
Au fait pour Levesque : j'avais oublié un détail trèèès important lorsque je parle de la stabilité du sev : le fait que l'observable commute avec l'hamiltonien
Je viens de m'en rendre compte qu'aujourd'hui, désolé pour Benjamin.
Ceci dit, ce que j'ai dit dans le cas de perturbation temporelle s'applique bien pour des cas comme ça (assez particulier il est vrai).
Dans les autres cas, qu'il y a ait couplage avec l'environnement (suggéré par Coincoin et moi) ou non (particule libre, cf Levesque) il y a étalement de l'état quantique et donc c'est très complexe de déterminer au bout de quel temps cet étalement fait que tu ne réobtiens pas nécessairement le même résultat de mesure.
C'était le point de vue de John Bell. Ca pose problème parce que ça entre en conflit avec la causalité relativiste (1) qui semble pourtant très bien tenir le coup jusqu'à présent.
L'hypothèse d'un changement physique objectif (2) instantané n'est pas le point de vue d'Everett (point de vue selon lequel c'est surtout l'état quantique de l'observateur qui est modifié par la mesure quantique). Toutefois, l'interprétation d'Everett est tellement incompatible avec notre vision du monde que, pour l'instant, on continue à chercher des possibilités d'explication qui soient compatibles à la fois avec la physique (connue ou pas encore connue) et, en même temps, avec l'hypothèse selon laquelle existe tout le temps une seule composante de l'état quantique de l'univers : celle que nous observons.
Mouais, enfin...Disons que la violation des inégalités de Bell a confirmé, comme le prédisait la mécanique quantique, l'impossibilité d'interpréter l'expérience d'Aspect à l'aide de l'hypothèse des variables cachées locales.
Dans une interprétation à variables cachées, les corrélations entre les résultats de mesure de polarisation obtenus de part et d'autre du générateur de photons de polarisation EPR corrélées sont compatibles avec la violation des inégalités de Bell constatée expérimentalement...
...à la condition d'accepter que la probabilité conditionnelle des résultats de mesure obtenu d'un côté puisse dépendre du résultat de mesure obtenu de l'autre côté ET du réglage de l'appareil situé de l'autre côté au moment où on réalise les mesures.
Dans l'expérience d'Alain Aspect, la probabilité conditionnelle pour que le "photon lointain" soit absorbé par le polariseur B "situé de l'autre côté", si le photon "local" est absorbé par le polariseur A "situé de mon côté", dépend de l'orientation de mon polariseur par rapport au polariseur lointain au moment exact où sont faites ces deux mesures de polarisation.
Il s'avère donc impossible d'interpréter la réduction du paquet d'onde comme un phénomène physique objectif sans entrer en conflit avec la causalité relativiste.
BC
(1) aucun phénomène physique se produisant en un évènement z1 ne peut avoir de cause se produisant en un évènement z2 se produisant en même temps ou ultérieurement à z1 dans un référentiel inertiel d'observation.
(2) au sens de phénomène physique se produisant indépendamment de l'observateur.
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Bien sur le mieux serait de leur demander.
Pour JM Levy-Leblond je crois qu'il est très mal à l'aise avec ce genre de problème et d'autres, c'est pourquoi il y a essayé il y a 20 ans d'enclencher une révolution sémantique. C'est lui l'auteur du concept de quanton, de l'inégalité d'Heisenberg, de l'effet tunnel qui n'a rien de quantique etc..
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Pour Cohen c'est plus clair, il s'en moque car il considère que la MQ est un outil opérationnel sans faille pour décrire la physique microscopique.
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Quant au problème de la mesure en MQ c'est un truc très spécial que personne ne rencontre dans sa vie professionnelle, sauf ceux qui veulent travailler sur la métaphysique qui accompagne tout corpus scientifique.
Très concrétement on peux passer sa vie professionnelle à construire des appareils de mesure en MQ et/ou a interpreter des résultats de mesure en toute ignorance du postulat de la mesure en MQ
1- Ce que l'on fait "traditionnellement".
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On veut étudier un système dont l'hamiltonien modèle est H°.
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Pour étudier celui-ci on agit sur celui-ci avec un autre système dont l'hamiltonien modèle est Hp (p comme perturbation). On note que l'origine de la perturbation n'est pas précisée.
On a étudier H = H° + Hp
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Un exemple simple: H° c'est un modèle d'atome. Hp c'est un champ électrique statique E et/ou magnétique B et une onde électromagnétique décrite classiquement. On peut étudier les états propres de H° en faisant varier tous les paramêtres associés à la perturbation.
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2- Le problème de la mesure.
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Avec les mêmes notations on a:
H = H° + Hc + Hm
Hm c'est l'hamiltonien de l'appareil de mesure.
Hc c'est l'hamiltonien de couplage du système à étudier.
Le postulat de la mesure dit que:
A chaque grandeur physique mesurable "k" décrit par un opérateur Ok agissant dans la base des vecteurs propres de H° (En général [H°,Ok] différent de 0) existe un appareil de mesure Hm(k) dont le "branchement" par Hc projette un état de H° sur un vecteur propre de Ok.
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A noter que le postulat ne décrit rien de ce qu'est un appareil de "mesure".
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La bizarrerie c'est que ce postulat introduit une deuxième loi d'évolution pour la MQ pour un cas d'exception qui plus est appellé postulat de la mesure et qui n'a rien à voir avec les mesures usuelles de laboratoire telle que décrite ci-dessus.
Pour info, le mot quanton est mentionné pour la première fois par M. Bunge (un Canadien) en 1967 dans son livre Foundations of Physics (chapitre 5) chez Springer-Verlag. L'attribution historique est confirmée entre autre dans le journal Science & Education dans l'article Michael R. Matthews, Mario Bunge: Physicist and Philosopher, Volume 12, Numbers 5-6, 2003. De ce que j'ai lu de Bunge et de Leblond, leur interprétation du mot quanton est la même, alors si Leblond s'attribue l'invention de ce concept, il a loupé un truc dans ses recherches
Pourtant, considérer que la fonction d'onde est un objet qui se propage dans l'espace, calculer la trajectoire du centre de ce paquet d'onde, la comparer avec la trajectoire classique pour conclure que "en toute rigueur, on ne peut jamais parler de trajectoire pour le corpuscule lui-même: l'état de ce dernier est en effet décrit par le paquet d'onde tout entier, qui a forcément une extension dans l'espace" me semble très peu opérationnel (ce point de vue est maintenu dans tout le livre). Exiger l'opérationalité des concepts exige de ne parler que des prédictions statistiques de résultats expérimentaux. Cohen est loin de ne s'en tenir qu'à ça. L'utilisation du paquet d'onde objectif qui se propage est un outil pédagogique incroyable, mais il est tout sauf opérationel.Pour Cohen c'est plus clair, il s'en moque car il considère que la MQ est un outil opérationnel sans faille pour décrire la physique microscopique
À titre de contre exemple, je mentionnerais le professeur N. Gisin de l'université de Genève. Un expérimentaliste chevronné qui réalise que la mécanique quantique est sans mot devant ses expériences, décide de construire sa propre théorie de la mesure. Peut-être que ceux qui ne rencontrent jamais le problème de la mesure sont simplement ceux qui ne se posent pas de questions?Quant au problème de la mesure en MQ c'est un truc très spécial que personne ne rencontre dans sa vie professionnelle, sauf ceux qui veulent travailler sur la métaphysique qui accompagne tout corpus scientifique.
Très concrètement, vous avez raison. La science n'évolue pas sensiblement, en général, le temps d'une vie humaineTrès concrétement on peux passer sa vie professionnelle à construire des appareils de mesure en MQ et/ou a interpreter des résultats de mesure en toute ignorance du postulat de la mesure en MQ
Je respecte beaucoup le travail que vous faites, mariposa, mais je suis horrifié de la sensure implicites dans vos propos face aux questionnements relatifs au problème de la mesure ou aux problèmes de la MQ. On croirait entendre un prêtre en 1400 parler d'une théorie sur la place de la terre dans l'univers...
Plusieurs sentent le besoin de clarifier ça, et on a besoin de gens pour travailler sur le sujet. Je n'aime pas vous voir laisser entendre que ça ne sert à rien.
avec mes salutations cordiales,
Simon
Il semble être très proche du Cohen et al. Par exemple,
These equations are exactly equivalent to the equations of classical mechanics, withTrouvé ici.playing the role of the particle displacement. Of course, if the spatial extent of the wave-function is negligible then a measurement of
Mais il faudrait lui demander. Sa liste de sources me laisse perplexe sur ce qu'il considère.
Très honnetement je pense aussi qu'il s'appuie sur le Cohen, car on avait comme Required Book le "Introduction to quantum mechanics, D.J. Griffiths" mais il nous a dit qu'en fait il y en avait pas besoin, il avait son propre cours en polychopié (le lien que je t'ai envoyé).
Il se trouver que son cours....ressemble vraiment vraiment beaucoup au Cohen I, que je me suis envoyé de france et sur lequel je bosse.
Bon même si ça n'a pas grand chose à voir avec la choucroute, je trouve que tu as fait le bon choix avec le cohen, c'est pour moi une référence que je conserverai toute ma vie
Il y a juste un gros défaut : son prix...
C'est vrai qu'il est très bien fait avec des annexes très completes.
Manque juste de la théorie des groupes apparament...
Ca n'en est plus un si tu vois que le Griffiths coute 125$Il y a juste un gros défaut : son prix...
