Éclipses du système de Jupiter

[jeremiepfeiffer]

Bonjour!
Je dois calculer le temps que prendrait IO à passer devant Jupiter pour un observateur sur Europe. (Je rappelle que IO est le satellite inférieur de Europe) Cela dit, calculer le temps n'est pas un problème, avec la vitesse angulaire où IO est 2.0074 x plus rapide qu'Europe. Mon problème apparaît lorsque vient le temps de déterminer le diamètre apparent (ou diamètre angulaire) de Jupiter. Au vu de l'importante différence de grandeur à une si petite distance et par souci de précision et de rigueur, le diamètre moyen de Jupiter ne peut être utilisé (Ce serait beaucoup trop facile). Une calculatrice m'a donné 12°9'41'' pour une distance moyenne de centre de masse de 671 100 km et pour un diamètre moyen connu de 139 822 km, mais je ne comprend pas les calculs. De la terre on peut obtenir une bien meilleure précision du diamètre de Jupiter, mais quand on a le nez collé dessus c'est plus difficile. Cette différence est non-négligeable même si elle semble l'être. Donc ma question est la suivante : Quelle(s) formule(s) mathématique pourraient m'être utile pour déterminer l'angle apparent de Jupiter à 671 100 km?
Merci pour vos réponses
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[Gilgamesh]

Tu as les éléments de calculs ici : https://faculty.nps.edu/awashburn/Fi...s/EARTHCOV.pdf

En résumé : si R est le rayon de la planète et r le rayon de l'orbite, l'angle Ɣ sous lequel est vue la planète depuis l'orbite est :



où sin^-1 désigne la fonction arc sinus.

Pour R = 71 492 km (rayon équatorial de Jupiter) et r = 671 100 km (demi-grand axe de l'orbite d'Europe), j'obtiens Ɣ = 0,213 rad = 12°14'

[jeremiepfeiffer]

Merci énormément pour cette réponse, mais je ne suis pas sûr de comprendre exactement où arcsin remplace l'arctan. Car en utilisant le rayon réel la formule de l'angle "apparent" de jupiter serait
γ=tan^-1 (71492/671100). Entre les 2 formule il y a une différence de 4' ce qui n'est pas négligeable, mais je ne comprend pas d'où arcsin intervient dans le rapport trigonométrique (opp/adj).
Merci

[jeremiepfeiffer]

Oubliez! En fait, l'hypothénuse inconnue de l'équation Ɣ = 2arctan(R/r) devient l'adjacent. Et donc, en sachant que la distance entre Jupiter et Europe (r) devient l'hypothénuse, que le rayon équatorial de Jupiter (R) est constant et qui reste donc l'opposé. On peut utiliser Arcsin au lieu de Arctan. Ce qui donne un angle un peu plus grand. Si jamais ça intéresse quelques personnes, après les calculs de vitesses angulaires relatives de IO et Europe, on obtient que l'éclipse dure 59 secondes de plus en prenant en compte le diamètre apparent.
Merci à toi Gilgamesh!!!

[A voir en vidéo sur Futura]

[zebular]

Les orbites sont relativement circulaires,les calculs seront valables à peu prés tout le temps.

[jeremiepfeiffer]

Très juste, avec une excentricité de l'ordre du millième (de IO) ce phénomène est effectivement négligeable quant à la durée de l'éclipse. Surtout si celle-ci se produit sur le 1/8 de son orbite! Merci zabular pour cette précision

[zebular]

C’était pas cher d'aller sur wiki pour vérifier l’intérêt du truc.Seules des sondes en tireront un profit en dehors de l'exercice