Spectre Puissance Cosmic Microwave Background: Comment obtient on la courbe
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Spectre Puissance Cosmic Microwave Background: Comment obtient on la courbe



  1. #1
    TeddyBond

    Spectre Puissance Cosmic Microwave Background: Comment obtient on la courbe


    ------

    J’ai une question à poser à la communauté du forum :
    Sur wikipedia on obtient (sur « fond diffus Cosmologique ») une courbe appelée spectre de puissance du CMB (Cosmic Microwave Background) donnant une puissance en fonction de l’échelle angulaire. Cette courbe est apparemment obtenue à partir de la carte du CMB, donnée à la 1ière figure mais je ne comprends pas du tout comment :Par exemple l’image de 1 degré est d’environ 6000 comment fait-on pour obtenir 6000 ? Observe-t’on une tache quelconque de 1 degré sur la carte du CMB ? Merci de m’informer si quelqu’un comprend.

    -----

  2. #2
    Gilgamesh
    Modérateur

    Re : Spectre Puissance Cosmic Microwave Background: Comment obtient on la courbe

    Citation Envoyé par TeddyBond Voir le message
    J’ai une question à poser à la communauté du forum :
    Sur wikipedia on obtient (sur « fond diffus Cosmologique ») une courbe appelée spectre de puissance du CMB (Cosmic Microwave Background) donnant une puissance en fonction de l’échelle angulaire. Cette courbe est apparemment obtenue à partir de la carte du CMB, donnée à la 1ière figure mais je ne comprends pas du tout comment :Par exemple l’image de 1 degré est d’environ 6000 comment fait-on pour obtenir 6000 ? Observe-t’on une tache quelconque de 1 degré sur la carte du CMB ? Merci de m’informer si quelqu’un comprend.
    Tu peux déjà essayer de te faire les dents sur ces divers cours de cosmo

    Cours de Cosmologie- F.-Xavier Désert (chapitre 8)

    Harmonic Multipoles and the CMB Sky

    Understanding the Cosmic Microwave Background Temperature Power Spectrum - Rita Tojeiro

    Observing the CMB

    A course on the formation of the cosmic microwave background and structures in the Universe

    Introduction to Cosmology Example Exam Question: Answer
    Dernière modification par Gilgamesh ; 18/08/2022 à 15h06.
    Parcours Etranges

  3. #3
    TeddyBond

    Re : Spectre Puissance Cosmic Microwave Background: Comment obtient on la courbe

    Je remercie Gislamech pour sa réponse. J'ai regardé les références indiquées qui sont intéressantes, mais elles sont théoriques et ma question est relative à l'obtention expérimentale du spectre de puissance. Comment obtient-on expérimentalement à partir d'un angle d'échelle, par exemple 1 degré, la puissance correspondante du spectre (Environ 6000 pour l'angle d'échelle 1 degrés)?

  4. #4
    Gilgamesh
    Modérateur

    Re : Spectre Puissance Cosmic Microwave Background: Comment obtient on la courbe

    Citation Envoyé par TeddyBond Voir le message
    Je remercie Gislamech pour sa réponse. J'ai regardé les références indiquées qui sont intéressantes, mais elles sont théoriques et ma question est relative à l'obtention expérimentale du spectre de puissance. Comment obtient-on expérimentalement à partir d'un angle d'échelle, par exemple 1 degré, la puissance correspondante du spectre (Environ 6000 pour l'angle d'échelle 1 degrés)?
    On part d'un fichier de points de mesure : pour chaque point sur la sphère céleste (~107 pour le CMB), on dispose d'une valeur de la température, ça définit un champ scalaire T.

    A partir de ça on calcule le laplacien (en coordonnée sphériques) ΔT.

    On pose que ΔT = 0

    La résolution de cette équation de Laplace, qui implique divers outils mathématique comme les polynôme de Legendre, donne les harmoniques sphériques.

    Et bien sûr, dans la pratique on utilise des logiciels pour ça (exemple : https://software.nasa.gov/software/GSC-17667-1)
    Dernière modification par Gilgamesh ; 18/08/2022 à 19h49.
    Parcours Etranges

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    physeb2

    Re : Spectre Puissance Cosmic Microwave Background: Comment obtient on la courbe

    Bonjour TeddyBond,

    je ne vais pas pouvoir te répondre de manière profonde car il me faut entre 3 et 4 heures de cours pour le faire. Pour cette raison la réponse de Gilgamesh est la correcte, si tu veux vraiment comprendre il va falloir que tu lises un cours....

    Mais je vais tout de même essayer d'expliquer quelques grandes lignes pour ta compréhension.:
    -1- Tout d'abord, un spectre de puissance angulaire décrit la variance a toutes les echelles d'une distribution sur une sphere. Tu as la carte du CMB et tu fais sa décomposition en harmoniques sphériques (les mêmes qu'en mécanique quantique pour l'atome d'hydrogene). Les harmoniques spheriques sont les cousines des fonctions trigonometriques qui sont les fonctions de bases de la tranformée de Fourier. Seulement, la tranformée de Fourier se fait sur un plan (en 2D) et non une sphere, ce qui rend les choses bien compliquées pour étudier le CMB ou les densités de présence en mecanique quantique avec un probleme spherique. Une fois que tu fais la transformation en harmoniques sphériques, l'information est contenue dans les , où est le mode, c'est a dire le nombre de fois qu'oscille la fonction de base au long de son evolution sur la sphere, et les differentes orientations independantes. Il y a représentations indépendantes pour un mode . Pour chaque mode, tu peux regarder la distribution des valeures des . Il s'avere que cette distribution est furieusement gaussienne pour tout , c'est ce qu'on appelle un champs gaussien aleatoire. Et une gaussienne c'est cool car on peut la reproduire en connaissant uniquement sa valeur moyenne et sa variance. Dans le cas de cette decomposition la valeur moyenne de la carte est donnée par et les autres modes sont centrés sur 0. Donc la seule information que l'on nécessite est la valeure de la variance mode. Ces valeurs sont celles représentées sur la courbe que tu mentionne et s'appelle le spectre de puissance angulaire .

    -2- Maintenant qu'on a vu que le spectre de puissance angulaire n'est pas dans l'espace de la carte sinon de sa transformée en harmoniques sphériques, tu comprends que c'est un peu plus compliqué que de chercher a voir des taches qui ont exactement une taille donnée aparaitre. Car une tache dans l'espace de la carte est la superposition de tout les modes et representations. Cependant, si un mode est tres dominant (donc le très piqué sur une valeur de l ) tu vas voir apparaitre des taches qui ont grosso modo la taille angulaire associée a ce mode.

    -3- Dans le cas du CMB, chaque harmonique spherique représente une perturbation de densité (qui s'observe comme une perturbation de temperature) qui evolue durant les 380,000 ans précédents. Le processus d'evolution est modeliser en resovant l'equation de Boltzmann dans le plasma et on applique cette evolution a chaque mode. Comme les perturbations sont petites, les perturbations ne se parlent pas, en effet toute multiplication de deux perturbations donne des valeures ridiculement petites. Donc le resultat final est simplement la superposition des perturbations individuelles apres leur evolution. C'est ce que rend l'utilisation de la transformée en harmonique spherique ou tranformée de Fourier si puissante sur les petites perturbations. On peut donc prédire en fonction de la physique que l'on met dans quel état d'évolution sont les perturbation au moment du CMB pour une cosmologie donnée. Je ne vais pas te dire pourquoi, mais le premier pic correspond aux perturbations qui sont dans l'etat de premiere compression maximale, le deuxieme les perturbations qui sont dans leur etat de premiere dilatation maximales, le troisieme pic les perturbations dans leur etat de seconde compression maximale et ainsi de suite.

    -4- Le fait est que quand tu fais le calcul avec l'equation de Boltzmann, tu obtient la valeur de la taille physiaue qui correspond a la premiere compression maximale qui correspond également a l'horizon sonore. La valeur du mode en harmonique spherique correspondant dépend de la projection de cette taille physique sur la sphere. Cette projection dépend de la distance (rayon de la sphere, ici la distance entre le CMB et nous) ainsi que la géométrie de l'Univers. En utilisant d'autres observations, comme l'abondance des éléments légers (ce que tu verras nommé Nucleosynthese primordiale ou encore BBN) et la physique statistique, on peut fixer la taille de l'horizon sonore et la Temperature auxquel le CMB a pu se propager. On mesure la temperature du CMB observée, on en déduit le redshift. Puis en variant la cosmologie, incluyant la geometrie on cherche les meilleur ajustement. Et on trouve un Univers très plat: si courbure il a, elle est très faible.

    J'espere que ça t'aidera a suivre un des cours recommandé par Gilgamesh.

  7. #6
    TeddyBond

    Re : Spectre Puissance Cosmic Microwave Background: Comment obtient on la courbe

    Je trouve très interressant la réponse de Physeb2, complétant celle de Gislameh. J'ai l'impression d'avoir compris la réponse à la question. Merci encore.

  8. #7
    TeddyBond

    Re : Spectre Puissance Cosmic Microwave Background: Comment obtient on la courbe

    Merci de ta réponse Gislameh. Je ne l’ai pas entièrement comprise 3 questions à son sujet :

    1)Tu dis que tu calcules ΔT à partir des 10p7 points de la sphère céleste. Mais il y a donc des millions de façon d’obtenir ΔT. Est-ce que nécessairement toutes les façons donnent le même résultat ? D’après la réponse de Physeb2 peut-être les points sont choisis en fonction de l’angle d’échelle ?

    2)Tu dis qu’on pose ΔT=0, mais cela semble contredire le point précédent, si ΔT=0, il est inutile de l’obtenir à partir des 10p7 points.

    3)Nulle part tu ne fais intervenir dans ta réponse d’angle d’échelle alors que ma question était : Comment obtenir expérimentalement l’image de l’angle d’échelle (Par exemple 1 degré) dans le spectre de puissance. D’après la réponse de Physeb2 peut-être les points sont choisis en fonction de l’angle d’échelle ?

  9. #8
    physeb2

    Re : Spectre Puissance Cosmic Microwave Background: Comment obtient on la courbe

    Je ne suis pas sûr de comprendre ta réponse a ce sujet Gilgamesh:
    Comment obtient-on expérimentalement à partir d'un angle d'échelle, par exemple 1 degré, la puissance correspondante du spectre (Environ 6000 pour l'angle d'échelle 1 degrés)?
    La mesure de la puissance est donc la variance de la distribution des de la carte de temperature pour le mode qui correspond a une échelle angulaire de 1 degré. La valeur physique de la carte sont des micro kelvins, donc c'est egalement l'unité physique associée aux valeurs des . La variance est donc en valeur de micro kelvins au carré (). Donc la valeur est de 6000 micro kelvins au carré et correspond a la "largeur" de la distribution des pour ce mode.

  10. #9
    Gilgamesh
    Modérateur

    Re : Spectre Puissance Cosmic Microwave Background: Comment obtient on la courbe

    J'écris sous le contrôle de physeb2 que je remercie d'être venu en renfort ^^

    Citation Envoyé par TeddyBond Voir le message
    Merci de ta réponse Gislameh. Je ne l’ai pas entièrement comprise 3 questions à son sujet :

    1)Tu dis que tu calcules ΔT à partir des 10p7 points de la sphère céleste. Mais il y a donc des millions de façon d’obtenir ΔT. Est-ce que nécessairement toutes les façons donnent le même résultat ? D’après la réponse de Physeb2 peut-être les points sont choisis en fonction de l’angle d’échelle ?
    Le laplacien Δ est une fonction (plus exactement un opérateur : une fonction qui agit sur une fonction) qui a une valeur en chaque point. En coordonnée cartésienne :

    ΔT(x,y,z) = ∂²T/∂x² + ∂²T/∂y² + ∂²T/∂z²



    2)Tu dis qu’on pose ΔT=0, mais cela semble contredire le point précédent, si ΔT=0, il est inutile de l’obtenir à partir des 10p7 points.
    Quand tu fixes ΔT = 0 tu as une équation différentielle. Il faut trouver sous quelle forme exprimer T pour que son laplacien s'annule.

    3)Nulle part tu ne fais intervenir dans ta réponse d’angle d’échelle alors que ma question était : Comment obtenir expérimentalement l’image de l’angle d’échelle (Par exemple 1 degré) dans le spectre de puissance. D’après la réponse de Physeb2 peut-être les points sont choisis en fonction de l’angle d’échelle ?
    Les type de fonction dont le laplacien s'annule sont des fonctions harmoniques. En coordonnées sphérique on les note usuellement Yl,m(θ,φ) ou l et m sont les modes (y'en a une infinité : l vas de 0 à l'infini et m va de -l à +l) et elles sont le produit d'un polynome de Legendre par une fonction complexe eimφ, qui si tu te rappelle bien sont des fonction trigonométrique : eix = cos(x) + i sin(x)
    Dernière modification par Gilgamesh ; 19/08/2022 à 08h49.
    Parcours Etranges

  11. #10
    TeddyBond

    Re : Spectre Puissance Cosmic Microwave Background: Comment obtient on la courbe

    J’ai bien compris ta réponse Physeb2 mais comment obtient-on expérimentalement la variance dont tu parles en fonction de l’angle d’échelle (Par exemple 1 degré) à partir des mesures expérimentales de la température du CMB (Première figure wikipedia) ou plus précisément des 10p7 points d’observation indiqués par Gislamesh? Ceci revient à définir comment on obtient expérimentalement ΔT (D’après ce que j’ai compris la variance de T) en fonction de chaque angle d’échelle.

  12. #11
    physeb2

    Re : Spectre Puissance Cosmic Microwave Background: Comment obtient on la courbe

    J'écris sous le contrôle de physeb2 que je remercie d'être venu en renfort ^^
    Carrément pas Gilgamesh, je ne me permettrait pas.

    Je viens de comprendre ton message anterieur. Tu explique de manière pédagogique ce que j'avais mis derrière l'équation de Boltzmann. Oui en effet c'est l'idée.
    Il manque tout de m§eme le terme source dans l'équation différentiel qui est joué par la gravité pour la compression et la pression de radiation pour la partie de dilatation. Mais en effet il s'agit d'une equation différentielle du deuxième ordre. Ensuite on doit ajouter d'autres effets, comme le damping qui vient s'ajouter en ordre premier de dérivée comme un terme de friction dynamique.

    J’ai bien compris ta réponse Physeb2 mais comment obtient-on expérimentalement la variance dont tu parles en fonction de l’angle d’échelle (Par exemple 1 degré) à partir des mesures expérimentales de la température
    Justement TeddyBond, c'est que tu n'as pas compris ma réponse mais c'est tout a fait normal. Il m'a fallut la moitié de mon doctorat pour comprendre ces trucs là
    Tu as ta carte de temperature du CMB et tu la decompose en harmonique sphériques. A chaque mode correspond une échelle angulaire. Tu as valeures associés pour ce mode que sont les . Tu calculs alors la variance de leur distribution:


    les valeurs des sont les mesures que tu fais de la carte de temperature en applicant la decomposition en harmoniques spheriques.

  13. #12
    TeddyBond

    Re : Spectre Puissance Cosmic Microwave Background: Comment obtient on la courbe

    Bonsoir Physeb2,

    Merci de ta patience.

    Désolé je n’ai pas encore tout compris. J’ai 2 questions sur ton dernier message :

    1)Es-tu sûr qu’on ne peut pas obtenir directement les Cl à partir de la carte de température, et des points analogues aux 10p7 points dont parlait Gislamesh. Si on peut les obtenir directement, comment obtient-on Cl en utilisant la carte de température (Avec quels points?), à partir de l’angle d’échelle (par exemple 1 degrés) correspondant à l ?

    2)Si la réponse précédente est négative, comment obtient-on les al,m nécessaires pour obtenir Cl, en utilisant la carte de température (avec quels points ?) et à partir de l’angle d’échelle correspondant à l (Par exemple 1 degrés) ?

  14. #13
    physeb2

    Re : Spectre Puissance Cosmic Microwave Background: Comment obtient on la courbe

    Bonsoir TeddyBond,

    1)Es-tu sûr qu’on ne peut pas obtenir directement les Cl à partir de la carte de température, et des points analogues aux 10p7 points dont parlait Gislamesh. Si on peut les obtenir directement, comment obtient-on Cl en utilisant la carte de température (Avec quels points?), à partir de l’angle d’échelle (par exemple 1 degrés) correspondant à l ?
    Bah la courbe est le spectre de puissance ne se calcule que dans la decomposition de Fourier et le spectre de puissance angulaire dans l'espace des harmoniques spheriques. Ces objets sont les transformées respectives de la fonction de correlation de 2 points en espace reel.
    Donc si ta question est de savoir si en theorie on peut faire l'analyse de la carte de temperature du CMB sans passé en harmoniques spheriques, la réponse est oui. Tu peux faire la fonction de corrélation de 2 points. En pratique c'est computationnellement ultra compliqué a faire pour le CMB et n'apporte que des problèmes sans aider.

    2)Si la réponse précédente est négative, comment obtient-on les al,m nécessaires pour obtenir Cl, en utilisant la carte de température (avec quels points ?) et à partir de l’angle d’échelle correspondant à l (Par exemple 1 degrés) ?
    La réponse n'était pas négative en soit mais il reste que c'est infiniment meilleur de passer en harmoniques sphériques si tu as la sphere entiere, ou du moins une grande fraction de celle-ci, ou de faire la transformée de Fourier dans le cas où tu as une petite fraction de la sphere, pour laquelle l'approximation plane est parfaite.
    En pratique, pour obtenir la valeur de tu dois faire le produit scalaire (au sens des fonctions) entre ta carte de temperature et la fonction harmonique spherique . Chaque point de la carte de temperature est associé a une valeur du couple d'angles .

    Donc la mesure de la valeur de est du genre:


  15. #14
    Lansberg

    Re : Spectre Puissance Cosmic Microwave Background: Comment obtient on la courbe

    Bonjour,

    pour en rajouter une couche qui me semble synthétique et complète sur le sujet, je conseillerais à TeddyBond de prendre le temps de consulter cette page (en anglais !) dans laquelle on trouve au fur et à mesure de la progression les liens vers les pré-requis mathématiques (transformée de Fourier, fonction de corrélation à deux points...) : https://universe-review.ca/R05-04-powerspectrum.htm

  16. #15
    Pio2001

    Re : Spectre Puissance Cosmic Microwave Background: Comment obtient on la courbe

    Et pour donner une réponse naïve : chaque harmonique sphérique correspond à un nombre de degrés.

    Citation Envoyé par physeb2 Voir le message
    La mesure de la puissance est donc la variance de la distribution des al,m de la carte de temperature pour le mode l qui correspond a une échelle angulaire de 1 degré.
    On regarde donc la valeur de l'harmonique correspondant à 1°.

    Analogie avec l'audio : dans un spectre sonore, on cherche l'énergie à 3700 Hz. Pour cela, on calcule le spectre du signal sonore par FFT. Le résultat nous donne l'amplitude en fonction de la fréquence.
    Dernière modification par Pio2001 ; 19/08/2022 à 12h55.
    Dans un espace vectoriel discret, les boules fermées sont ouvertes.

  17. #16
    TeddyBond

    Re : Spectre Puissance Cosmic Microwave Background: Comment obtient on la courbe

    Merci beaucoup à tous ceux qui ont répondu et particulièrement à Physeb2 et Gislamesh. J'ai beaucoup appris sur le CMB et j'ai eu la réponse à ma question. Cependant je pensais que c'était beaucoup plus simple et après le message de Gislamesh je pensais qu'il suffisait de considérer un ensemble de points particuliers liés à l'échelle et de calculer la variance à partir de la température en chaque point. C'est vraiment très compliqué d'obtenir expérimentalement le spectre de puissance d'après la dernière réponse de Physeb2.

  18. #17
    physeb2

    Re : Spectre Puissance Cosmic Microwave Background: Comment obtient on la courbe

    Le plus compliqué est de très loin faire la carte de temperature (et celle de polarization). La partie pour évaluer le spectre de puissance angulaire depuis la carte ce n'est pas très compliqué une fois que les outils ont été développés. En particulier, si tu veux t'amuser tu peux utiliser Healpix (developpé par Gorsky et al.) pour lire les cartes de Planck et faire la decomposition en harmoniques spheriques : https://healpy.readthedocs.io/en/lat...alpy_spht.html

    Ce qui te parrait compliqué est certaienement l'interprétation de la courbe. Oui elle est bien plus compliquée qu'il n'y parrait, c'est pas pour rien qu'on extrait autant d'information de celle-ci. J'ai un cours de 8 heures dédié a la compréhension de cette courbe, et on ne rentre pas dans les details des effets fins.

    Mais je t'invite a lire un des cours sur le sujet, ou si tu lis l'anglais et que tu as un certain niveau de physique de lire le Dodelson et Schmidt (tu le loues en bibliotheque, tu ne l'achete pas).

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