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le repas entre amis



  1. #1
    cazeph

    le repas entre amis


    ------

    bonjour a tous,

    il etait une fois un homme moderne invitant des amis a partager un repas. l'homme (au sens d'humain), c'est vous et l'heure est venue de couper la tarte. seulement, comme vous etes un homme attentionne, vous acceptez de donner a chacun la part de tarte qu'il desire. comme la croute est tres dure, vous ne pouvez couper qu'aux encoches qui ont ete faites a l'usine ou la tarte a ete fabriquee (c'est votre idee de la modernite, que les tartes sont faites en usine et que vos choix de decoupe sont restreints). dernier detail important, il a fallut, au moment d'acheter la tarte, estimer l'appetit de vos amis et se decider sur un nombre d'unites de parts de tarte (egal au nombre d'encoches sur les bords).

    la question est la suivante: en ne faisant aucune distinction entre vos invites (mettons que vous faites ca a la cuisine et qu'on vous annonce les tailles de part depuis le salle a manger, une par une, sans dire qui les demande), combien de listes de demandes differentes pouvez vous satisfaire au moment de la decoupe, sachant que l'ordre dans lequel les parts vous sont dictees n'est pas important, mais que vous n'effectuez qu'une seule seance de decoupe de tarte (c'est qu'il faut un couteau special, emprunte a votre voisin et le voisin est un angoisse, comme vous d'ailleurs). pour ceux que ca interesse (tous, j'espere), notez que personne ne se ressert, sauf pour prendre entiere ce qui reste de la tarte, et si c'est le cas, la 2eme part consommee par le gourmand en question n'est pas additionnee a la premiere puisqu'il serait impropre d'affirmer que le gourmand n'a mange qu'une part alors qu'il en a bien mange 2.

    pour eclairer ce qu'il faut entendre par 'demande' (c'est necessaire pour effectuer un decompte correct au sens qu'il est ici prete), voici un exemple:
    supposons que vous ayiez invite 4 personnes et que vous vous soyiez decide a acheter une tarte de '7 parts' (n=7, notez que l'usine fait ca tres bien, en tout cas bien mieux que vous) de quiche lorraine (vous memes etes vegetariens, mais c'etait une promotion, alors....).
    une demande possible de vos invites est la suivante:
    3 invites acceptent d'en prendre et demandent:
    pour 2 d'entre eux, 1 portion simple
    pour l'un d'entre eux, 1 portion double (ie grosse comme deux fois la taille de part unitaire, dite portion simple)
    1 invite n'en veut pas. il ne mange jamais ce qu'il ne voit pas prepare. pour le voyage a l'usine, c'etait un peu difficile d'organisation...
    ainsi donc, il reste alors une part grosse comme 3 fois la part unitaire, que vous-meme ne touchez pas (vos convictions), mais que le gourmand est libre de prendre (detrompez vous a ce propos sur son identite.... il n'a sans doute demande qu'une portion simple au demarrage, pour laisser de la place a la supposee grosse part de reste. remarquez qu'il a raison, c'est plus discret de manger une deuxieme grosse part qu'une premiere qu'il vous faut annoncer devant tout le monde...)

    dans ce cas donc, la tarte de 7 unites a ete decoupee en 4 parts de tailles respectives 3,2,1,1.
    on suppose que le nombre d'invites n'est pas limitant, ie que la decoupe en 7 parts unitaires etait autorisee, meme si le nombre de bouches presentes est inferieur (en general, pour les hotes genereux, c'est le cas).

    si vous vous voulez a tout prix savoir pourquoi notre homme moderne se pose la question, voici la petite histoire. il etait dans sa cuisine au moment de demarrer la prise d'instructions. trouvant sa tache tres primitive il s'est demande en quoi il se distingue d'un robot qu'on chargerait aisement de cette meme tache (la reconnaissance vocale ne pose pas de probleme puisque vos amis ont une bonne elocution et l'algorithme est enfantin, il peut s'executer commande individuelle par commande individuelle jusqu'a la fin, la seule angoisse etant que la tarte suffise a la somme de tous les appetits). la seule reponse qu'il ait trouve a ce moment la etait de se dire que le robot lui ne s'angoisserait pas si les invites se trouvaient collectivement trop gourmands (autrement vu, l'hote trop avare) mais surtout, qu'il ne lui viendrait pas spontanement a l'esprit (en a-t-il seulement un?) de se poser la question ici posee. voila qui le remplit de courage, d'y avoir malgre tout trouve son compte a s'adonner a cette activite alors qu'a premiere vue elle n'interessait que l'estomac de ses amis. a vous de dire si cette pensee aurait du le rapprocher d'eux ou non...). le voici donc absorbe dans la recherche d'une reponse, bien au-dela de la duree de la seance, et de constater ses limites a y repondre. ce sur quoi il decide de la partager avec la communaute d'humains que la question pourrait interesser, dont les performances sont toutes honorables, et en qui il place tout espoir que sa tete d'homme moderne se libere de la question perturbatrice devenue depuis aussi encombrante qu'une obsession, aussi perturbante qu'un encombrement, aussi obsedante qu'une perturbation...
    merci bien et a bientot.

    ps. solution pour n=3:
    3 demandes: XXX ou X+XX ou X+X+X
    (notez a cet egard que la taille de la part restante compte comme n'importe quelle autre. donc XXX peut aussi bien etre qu'un ami (quel ami!) demande de tout prendre (cela dit, je n'ai pas precise si les invites etaient au courant de la taille de la tarte, en tailles unitaires, mais ce detail n'influe pas sur la reponse, on ne s'interesse pas aux strategies des uns et des autres pour passer leur commande). aussi, pour etre bien clair, un ami ne peut demander qu'une part de tarte dont la taille est un nombre entier de fois plus grosse que la taille de part unitaire (k=0,1,2....n).

    -----
    Dernière modification par cazeph ; 03/12/2006 à 19h12.

  2. Publicité
  3. #2
    cazeph

    Re : le repas entre amis

    bon, il n'y a pas que moi qui seche, c'est ca?...

    voici une autre formulation du probleme, plus succincte, compactee en une seule ligne:

    combien de partitions differentes peut on faire de n elements identiques si l'on decide de considerer que 2 partitions sont identiques des lors qu'elles comportent le meme nombre de groupes de meme taille et ce, pour toutes les tailles (la taille d'un groupe etant definie comme le nombre d'elements composant le groupe)

    ?


  4. #3
    Dieu_fr

    Talking Re : le repas entre amis

    Citation Envoyé par cazeph Voir le message
    que vous vous soyiez decide a acheter une tarte de '7 parts' (n=7, notez que l'usine fait ca tres bien, en tout cas bien mieux que vous) de quiche lorraine (vous memes etes vegetariens, mais c'etait une promotion, alors....).
    Une promotion ou une annonce "les gens qui ont acheté cette tarte ont aussi acheté de la quiche"

  5. #4
    cazeph

    Re : le repas entre amis

    hum. j'appelle tarte tout ce qui se cuit d'ordinaire dans un moule a tarte. ca incluait quiche lorraine...
    bon. merci de la remarque.
    le tout c'est que les parts unitaires soient identiques.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    cazeph

    Re : le repas entre amis

    meme probleme, cette fois-ci a la sauce symbolique......
    pour n=1: d=1 : X
    pour n=2: d=2 : XX et X+X
    pour n=3: d=3 : XXX et X+XX et X+X+X
    pour n=4: d=5 : XXXX et X+XXX et XX+XX et XX+X+X et X+X+X+X
    pour n=5: d=7 : XXXXX et XXXX+X et XXX+XX et XXX+X+X et XX+XX+X et XX+X+X+X et X+X+X+X+X

    la question c'est, pour les autres valeurs de n, combien vaut d?

    il y en a qui savent peut etre dans quelle categorie de problemes se range celui-ci?

  8. #6
    yat

    Re : le repas entre amis

    Hé hé... maintenant c'est plus clair. Il s'agit donc de ce problème là.

    Personellement je classerais ce problème dans la catégorie des problèmes de psychopathes . En effet, ça a l'air simple comme ça. Mais jette un peu un coup d'oeil sur la formule générale, trouvée par un célèbre psychopathe, sur cette page

    Non, non, tu ne rêves pas... cette formule fait bien apparaitre pi par deux fois, ainsi que e... et ce n'est qu'une approximation.
    Le site a l'air de dire qu'il existe aussi une égalité stricte, mais je ne l'ai pas trouvée.

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  10. #7
    cazeph

    Re : le repas entre amis

    !

    vu.

    c'etait forcement un classique mais, au fait, pas evident de chercher la solution d'un probleme sans posseder le vocabulaire consacre

    j'ai trouve la formule exacte du nombre de partition
    (enfin, on se comprend )
    elle s'appelle la formule de hardy-ramanujan et vaut elle aussi le detour:

    http://www.math.uwaterloo.ca/~dmjack...0/ptnform1.pdf

    a lire quelques recits de vie de mathematiciens il y a de quoi aller largement dans ton sens, et se demander si les maths a fortes doses ne sont pas nocives pour la sante. .... voir aussi si certaines folies n'attirent pas vers les maths et se font remarquer par les genies qu'elle produit.

    en tout cas yat, je te remercie
    Dernière modification par cazeph ; 06/12/2006 à 19h53.

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