Et le reste...

[SunnySky]

Bonjour,

Je vous propose un petit jeu qui n'a sans doute jamais été posté ici. Déjà, je pique la curiosité de certains...

Voilà: choisissez deux nombres x et y de votre choix Par exemple, 171 et 2098. Mettez le premier exposant le deuxième x^y. Dans l'exemple précédent, on obtient 171²⁰⁹⁸. Divisez le résultat par x+1. Notre exemple devient 171²⁰⁹⁸/172. Évidemment, la réponse n'est pas un entier.

La question qui m'intéresse: quel est le reste de la division? Évidemment, vous pouvez exprimer votre réponse peut être exprimée en termes de x et y.
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[_Goel_]

Salut !
réponse :

y pair : reste = 1
y impair : reste = x

@+

[manimal]

Salut
On a x^y/(x+1)
Soit X=x+1
On a(X-1)^y/X=(X^y+(-1)^1*yX^(y-1)+.....+yX*(-1)^(y-1)+(-1)^y)/X
Le reste est (-1)^y/(x+1)
Voilà j espère que j ai répondu à ta question
Cordialement
Manimal

[manimal]

Salut
Désolé le reste est le reste de la division:
(-1)^y/(x+1)
Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[manimal]

Salut
le reste est donc bien (x+1)
Cordialement

[SunnySky]

_Goel_: Bravo! Tu l'as trouvé par essai et erreur ou par raisonnement formel?

manimal: Bravo! Raisonnement impeccable, sauf à la toute fin. Premièrement, le reste de la division, ce n'est pas le dénominateur mais plutôt le dernier terme du numérateur, donc (-1)^y. Mais... habituellement, on s'arrange toujours pour que le reste soit positif. Si tu le fais, tu obtiendras le résultat de _Goel_. À part cela, ta démonstration est impeccable.

[_Goel_]

En fait, au vu de la formule, je savais que le résultat était cyclique.
J'ai donc fait plusieurs essais.
j'ai posté ma réponse en me doutant bien que la preuve formelle allait arriver rapidement !

[vanos]

le reste est donc bien (x+1)

Bonjour,

Je ne comprends pas bien, si le reste est x+1 il sera égal au diviseur (x+1) et le reste sera égal à zéro.
Merci déjà d'éclairer ma lanterne.

Amicalement.

[manimal]

Salut Vanos
En effet j ai fait une erreur
Comme l a précisé SunnySky le reste ne peut etre négatif
Donc pour :
_y impair on a (X+(-1)^y)/X le reste est donc X-1=x
_y pair on a (X+(-1)^y)/X=(X+1)/X=1+1/X le reste est donc bien 1
Cordialement

[vanos]

Merci Minimal.