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2 enigmes



  1. #1
    erff

    2 enigmes


    ------

    Bonjour à tous, voici 2 énigmes qu'on m'a posé y a quelques temps (il me semble que la 2eme est tirée d'olympiade) :
    Voici les pbs :
    - Est-il possible de paver le plan (sa surface) avec des cercles uniquement (et non des disques) ? ...Sachant que ceux-ci doivent être non sécants.

    - Soit (C) un cercle de rayon 1.
    Peut on placer 2000 points distincts de sorte à ce que la distance entre n'importe lesquels de ces points soit un nombre rationnel ?

    -----
    Dernière modification par erff ; 28/04/2007 à 20h30. Motif: faute d'orthographe

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  3. #2
    Médiat

    Re : 2 enigmes

    Citation Envoyé par erff Voir le message
    - Est-il possible de paver le plan (sa surface) avec des cercles uniquement (et non des disques) ? ...Sachant que ceux-ci doivent être non sécants.
    Est-ce que la famille de cercles de centre 0 et de rayon x ne répond pas à la question ?
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  4. #3
    Médiat

    Re : 2 enigmes

    Citation Envoyé par erff Voir le message
    - Soit (C) un cercle de rayon 1.
    Peut on placer 2000 points distincts de sorte à ce que la distance entre n'importe lesquels de ces points soit un nombre rationnel ?
     Cliquez pour afficher



    Désolé j'ai oublié la balise Spoiler pour la précédente réponse.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  5. #4
    humanino

    Re : 2 enigmes

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
     Cliquez pour afficher
    Ne doit-on pas preciser que toutes les distances respectives de tous ces points doivent etre distinctes (et rationnelles) ?
    "Puisque toute ces choses nous depassent, feignons de les avoir organisees"

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    humanino

    Re : 2 enigmes

    Il me semble que Paul Erdos avait ennonce des jolis theoremes la dessus, mais les points etaient n'importe ou dans le plan, et en particulier, je crois qu'il vait demontre que si l'on prends une infinite de tels points, alors ils sont forcement alignes. Je n'ai malheureusement pas la reference sous la main, et je n'essaierai pas de la retrouver tout de suite
    "Puisque toute ces choses nous depassent, feignons de les avoir organisees"

  8. #6
    erff

    Re : 2 enigmes

    Est-ce que la famille de cercles de centre 0 et de rayon x ne répond pas à la question ?
    Désolé je n'avais précisé que les cercles devaient être de rayon strictement positif...
    Je regarde la réponse pr la 2eme...

    Bon je crois que celle du cercle du rayon 1 est résolue, je ne connaissais pas la propriété sur les polynomes en cos(ka/2)...Moi j'avais proposé une suite de points qui convenait en bidouillant.

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  10. #7
    Médiat

    Re : 2 enigmes

    Citation Envoyé par erff Voir le message
    Désolé je n'avais précisé que les cercles devaient être de rayon strictement positif...
    pas de problème.
    Deuxième tentative :

     Cliquez pour afficher
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  11. #8
    humanino

    Re : 2 enigmes

    Peut-on construire des cercles "non-standards"
     Cliquez pour afficher
    ?
     Cliquez pour afficher

    Il doit y avoir beaucoup de contructions equivalentes.
    Dernière modification par humanino ; 01/05/2007 à 21h39.
    "Puisque toute ces choses nous depassent, feignons de les avoir organisees"

  12. #9
    _Goel_

    Re : 2 enigmes

    Citation Envoyé par erff Voir le message
    - Est-il possible de paver le plan (sa surface) avec des cercles uniquement (et non des disques) ? ...Sachant que ceux-ci doivent être non sécants.
     Cliquez pour afficher
    Le succès c'est d'être capable d'aller d'échec en échec sans perdre son enthousiasme

  13. #10
    humanino

    Re : 2 enigmes

     Cliquez pour afficher
    Dernière modification par humanino ; 01/05/2007 à 22h50.
    "Puisque toute ces choses nous depassent, feignons de les avoir organisees"

  14. #11
    _Goel_

    Re : 2 enigmes

    @Humanino : Cercles ou disques ?
     Cliquez pour afficher


    Si on parle de cercles avec épaisseur, on peut considérer le disque comme l'ensemble des cercles concentriques de rayon multiple de "l'épaisseur du trait" ! et on se retrouve donc dans le cas de mon précédent post !
    Le succès c'est d'être capable d'aller d'échec en échec sans perdre son enthousiasme

  15. #12
    _Goel_

    Re : 2 enigmes

    Tiens, j'y pense... mais mes explications doivent sans doute tenir en géométrie non euclidienne (tant qu'on va pas rechercher l'extravagant, je suis sûre que certains mathématiciens ont dû penser à des plans "troués" !)
    Le succès c'est d'être capable d'aller d'échec en échec sans perdre son enthousiasme

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