2 enigmes

[erff]

Bonjour à tous, voici 2 énigmes qu'on m'a posé y a quelques temps (il me semble que la 2eme est tirée d'olympiade) :
Voici les pbs :
- Est-il possible de paver le plan (sa surface) avec des cercles uniquement (et non des disques) ? ...Sachant que ceux-ci doivent être non sécants.

- Soit (C) un cercle de rayon 1.
Peut on placer 2000 points distincts de sorte à ce que la distance entre n'importe lesquels de ces points soit un nombre rationnel ?
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[Médiat]

- Est-il possible de paver le plan (sa surface) avec des cercles uniquement (et non des disques) ? ...Sachant que ceux-ci doivent être non sécants.

Est-ce que la famille de cercles de centre 0 et de rayon x ne répond pas à la question ?

[Médiat]

- Soit (C) un cercle de rayon 1.
Peut on placer 2000 points distincts de sorte à ce que la distance entre n'importe lesquels de ces points soit un nombre rationnel ?

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En plaçant les 2000 points régulièrement avec un angle entre deux points consecutifs, et en choisissant tel que :


L'existence d'un tel est garantie de façon évidente.
La distance entre deux point quelconques s'exprimera en fonction de qui s'exprime comme un polynôme à coefficient entier en la variable . Autrement dit si cos(x) est rationnel, cos(nx) aussi.

Désolé j'ai oublié la balise Spoiler pour la précédente réponse.

[invite8ef897e4]

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En plaçant les 2000 points régulièrement

Ne doit-on pas preciser que toutes les distances respectives de tous ces points doivent etre distinctes (et rationnelles) ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8ef897e4]

Il me semble que Paul Erdos avait ennonce des jolis theoremes la dessus, mais les points etaient n'importe ou dans le plan, et en particulier, je crois qu'il vait demontre que si l'on prends une infinite de tels points, alors ils sont forcement alignes. Je n'ai malheureusement pas la reference sous la main, et je n'essaierai pas de la retrouver tout de suite

[erff]

Est-ce que la famille de cercles de centre 0 et de rayon x ne répond pas à la question ?

Désolé je n'avais précisé que les cercles devaient être de rayon strictement positif...
Je regarde la réponse pr la 2eme...

Bon je crois que celle du cercle du rayon 1 est résolue, je ne connaissais pas la propriété sur les polynomes en cos(ka/2)...Moi j'avais proposé une suite de points qui convenait en bidouillant.

[Médiat]

Désolé je n'avais précisé que les cercles devaient être de rayon strictement positif...

pas de problème.
Deuxième tentative :

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Admettons qu'une telle famille de cercles existe, soit l'un d'entre eux de centre et de rayon , comme ce cercle n'est pas de rayon 0, il ne passe pas par son centre, il existe donc un autre cercle de la même famille passant par et entièrement inclus dans , de centre et de rayon (etc.). Il me semble que le point limite de (facile de montrer qu'il s'agit d'une suite de Cauchy) n'est pas atteint sauf par un cercle dont le rayon ne peut être que 0 (la limite des ), ce qui est exlus par l'énoncé.

[invite8ef897e4]

Peut-on construire des cercles "non-standards"

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qui seraient en fait des droites toutes paralleles, dont tous les centres seraient "a l'infini" mais dont le "rayon" parametriserait en fait la position de leur point d'intersection avec un axe orthogonale a cette famille de "cercles"

?

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En fait on peut meme tricher, en faisant en sorte que le "rayon" du cercle non-standard soit l'inverse du rayon ordinaire Par exemple, la famille des cercles dont le centre est le pole nord, sur la sphere de Cauchy dont l'equateur est le cercle unite du plan en question, famille parametree par la "hauteur" du cercle au dessus du plan, se projette stereographiquement par le pole nord en une famille de cercle pavant le plan. Le rayon de chaque cercle est compte sur la sphere. L'origine du plan est sur la projection stereographique du cercle confondu avec le pole sud (ce cercle n'a pas un rayon nul sur la sphere d'apres la definition plus haut). Le cercle de rayon nul sur la sphere est ainsi rejete a l'infini.

Il doit y avoir beaucoup de contructions equivalentes.

[_Goel_]

- Est-il possible de paver le plan (sa surface) avec des cercles uniquement (et non des disques) ? ...Sachant que ceux-ci doivent être non sécants.

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non car quels que soient les cercles, 3 cercles ne peuvent être tangents qu'en 3 points. Or le rayon de courbure des cercles en chacun de ces points fait que dès qu'on séloigne du point, il existe un espace entre le cercle et la tangente (au point de contact).
Si on étend cette vision aux trois points on doit avoir un truc du genre :

soient CA, CB, CC trois cercles de centre A, B, C et de rayon a, b, c.
Il est alors possible de trouver un point X tel que :
[XA]>a et [XB]>b et [XC]>c
([] correspond à la distance entre 2 points)

Ce qui en langage courant signifie que quels que soient les cercles il restera du vide entre eux.

Au passage, on devrait plutôt parler de disque, le cercle étant "le bord" du disque.

[invite8ef897e4]

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Au passage, on devrait plutôt parler de disque, le cercle étant "le bord" du disque.

Je crois qu'il s'agit bien de cercles dans la formulation initale !

Le concept de compacite n'est-il pas relevant dans cette situation d'ailleurs (si l'on considere des disques) ?

[_Goel_]

@Humanino : Cercles ou disques ?

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soit on parle de cercle, donc d'une "ligne" par définition sans épaisseur, donc de surface nulle...
donc le seul cas correspond à une infinités de cercles C tels que pour tout point P, il existe un cercle Ci, tel que P appartient à Ci.
Donc pas de solution finie.
(sinon : soit n le nombre de cercle fini, et A leur aire. A est nul donc Axn = 0 = l'aire totale couverte est nulle !)

Si on parle de cercles avec épaisseur, on peut considérer le disque comme l'ensemble des cercles concentriques de rayon multiple de "l'épaisseur du trait" ! et on se retrouve donc dans le cas de mon précédent post !

[_Goel_]

Tiens, j'y pense... mais mes explications doivent sans doute tenir en géométrie non euclidienne (tant qu'on va pas rechercher l'extravagant, je suis sûre que certains mathématiciens ont dû penser à des plans "troués" !)