Le poids de l'or

[inviteea6fd0dc]

Bonjour à toutes et à tous

Un chercheur d'or ne possède qu'une vieille balance de Roberval dont les bras ne sont pas tout à fait égaux.
Suite à cela, la pesée est faussée.
Pour effectuer sa pesée, il décide d’opérer deux mesures successives.
La première est réalisée en plaçant les poids de référence à gauche et l'or à droite, le résultat est 1040 grammes.
Pour la seconde pesée il place l'or à gauche et les poids de référence à droite, le résultat est 1160 grammes.
Il décide alors que le poids exact est de 1100 grammes
Ce poids est-il exact ?
N.B. : le gramme d’or est évalué à 20 euros.

Aurifèrement
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[Médiat]

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1098,36 peut-être ?

[vanos]

Bonjour,

Il existe pourtant un moyen de peser très exactement avec n'importe quelle balance à deux plateaux, la Roberval incluse; seule importe la sensibilité de la balance et non son exactitude.
Il suffit pour cela de mettre sur un plateau l'objet à peser et sur l'autre plateau une tare variable quelconque tel que du sable, des cailloux ou de petit objets sans importance de façon à amener la balance en équilibre. Ensuite retirer l'objet à peser de son plateau et remettre la balance en équilibre plaçant sur le plateau libéré différents poids étalonnés. On obtiendra alors le poids rigoureusement exact de l'objet. Ce procédé est toujours employé aujourd'hui quand on ne dispose pas d'une balance électronique fiable.

Amicalement.

[polo974]

Bonjour à toutes et à tous

Un chercheur d'or ne possède qu'une vieille balance de Roberval dont les bras ne sont pas tout à fait égaux.
...

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S'ils ne sont pas égaux en longueur (coef k entre les longueurs de bras), on a:
k *1040 = m
k * m = 1160

donc m² = 1040 * 1160 et Médiat a tout bon ! ! !

Par contre, s'il s'agit d'un pur problème d'équilibrage (différence de masse dm rapportée aux plateaux), on a:
1040 + dm = m
m + dm = 1160

donc m = (1040 + 1160)/ 2 et le chercheur d'or a bon.

Et, cas général, si la balance est vraiment mal en point (problème de longueur et d'équilibrage des bras), on a:
k * (1040 + dm) = m
k * (m + dm) = 1160
2 équations, 3 inconnues: 1 soucis

Donc, là seule la solution de pesée valable est celle proposée par vanos.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteea6fd0dc]

Bonjour à toutes et à tous,

C'est MEDIAT qui a tout bon.

En fait, l'allongement du bras de la balance est connu, mais non mesuré.
Il s'agit donc d'un taux d'accroissement (taux non connu)

Notre chercheur d'or fait deux mesures dont il tire une moyenne "arithmétique".

La moyenne d'un taux d'accroissement (l'accroissement de la longueur d'un des bras de la balance, dont on n'a aucune mesure) se fait en calculant une moyenne géométrique et non une moyenne arithmétique. Cette moyenne correspond à la racine Nième du produit des N mesures, ici en l'occurrence à la racine carrée du produit des deux pesées.

Pour Vanos, le procédé que tu proposes permet de peser ... faux. Le fait de remplacer ce qui est à peser par un étalon ne change rien au niveau de la mesure, tu remplaces l'objet à peser par un étalon ??? Bref tu n'as rien changé, puisque de l'autre côté du plateau, rien n'a varié. La solution que tu proposes, permet de VERIFIER la pesée .... mais cela n'est valable que sur une balance JUSTE.

[inviteea6fd0dc]

Salut polo,

Es-tu sur qu'un problème d'équilibrage des plateaux soit différent que le problème de la longueur des bras ? Dans les deux cas, quel est le résultat ?

Dans le cas que tu précises (déséquilibre des plateaux) par rapport au cas que je pose (différence de longueur des bras) es-tu vraiment sur que ce ne soit pas le même cas.

Rien qu'entre nous, l'accroissement du poids est aussi un TAUX d'accroissement => moyenne géométrique

[invite636fa06b]

Pour Vanos, le procédé que tu proposes permet de peser ... faux. Le fait de remplacer ce qui est à peser par un étalon ne change rien au niveau de la mesure, tu remplaces l'objet à peser par un étalon ??? Bref tu n'as rien changé, puisque de l'autre côté du plateau, rien n'a varié. La solution que tu proposes, permet de VERIFIER la pesée .... mais cela n'est valable que sur une balance JUSTE.

Bonjour,
Pas d'accord, le procédé de Vanos est absolument fiable si :
1 la balance est fidèle (deux pesées successives indiquent le même poids, exact ou non)
2 les poids de référence sont fiables.
Tu as du mal comprendre la méthode !

[vanos]

Pour Vanos, le procédé que tu proposes permet de peser ... faux. Le fait de remplacer ce qui est à peser par un étalon ne change rien au niveau de la mesure, tu remplaces l'objet à peser par un étalon ??? Bref tu n'as rien changé, puisque de l'autre côté du plateau, rien n'a varié. La solution que tu proposes, permet de VERIFIER la pesée .... mais cela n'est valable que sur une balance JUSTE.

Bonjour,
Tu dois apprendre à lire ce qui ce qui est écrit, je n'ai jamais parlé d'un étalon mais, et je me cite :

remettre la balance en équilibre plaçant sur le plateau libéré, différents poids étalonnés

des poids étalonnés dont on connaît la valeur bien sûr, les mêmes poids qu'utilise ton chercheur d'or.
Ta méthode est biscornue nécessite un calcul, la mienne est garantie juste et est toujours utilisée même pour des mesures très précises de l'ordre du 0,1 mg et même mons.
Il suffit alors d'une balance sensible sans pour cela soit qu'elle soit juste.
Cette méthode est ancienne, toujours valable, toujours utilisée, infaillible et est connue sous le le nom "double pesée". Cette méthode est tellement sûre qu'elle souvent préférée à la pesée directe.
A l'univ on m'a appris cette méthode de pesée et je n'ai jamais entendu de parler de la tienne.

Salut.

[inviteea6fd0dc]

La méthode de la double pesée implique de permuter les poids et l'objet à peser.
Les poids sont référencés, bien entendu.
Elle implique un calcul dans tous les cas, sinon on ne voit pas très bien ce que l'on ferait des résultats.
Il ne suffit pas de faire la moyenne arithmétique (qui est aussi un calcul), mais bien la moyenne géométrique des deux pesées; dans le cadre de l'exemple présent, la réponse n'est pas 1100 grammes, mais bien 1098,36242 grammes.

[vanos]

Bonsoir Baguette,

Décidément tu ne comprends rien à la double pesée, elle est archi-fiable et ne demande aucun calcul.
La moyenne arithmétique n'est nécessaire qu'en cas de plusieurs mesures faites par soucis de précision et concerne tous les types de mesures (longueur, volume, pression etc...) et pas uniquement celles de mesures de poids.
Zaia et Polo974 pensent aussi que la double pesée est fiable et toi tu es le seul à le nier.
Cet acharnement à nier l'évidence est fort peu scientifique ou alors c'est de la mauvaise foi.

Ciao.

[inviteea6fd0dc]

Bonsoir Baguette,

Décidément tu ne comprends rien à la double pesée, elle est archi-fiable et ne demande aucun calcul.
Cet acharnement à nier l'évidence est fort peu scientifique ou alors c'est de la mauvaise foi.
Ciao.

Démonstration très scientifique effectivement.
Où est l'évidence dont tu me parles tant ?

[invite986312212]

au vu des discussions ci-dessus, la page wikipedia:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Double_pes%C3%A9e
me semble perfectible.

[inviteea6fd0dc]

Belle description, et du coup je présente mes excuses à vanos, je n'avais pas saisi dans sa description le principe de la substitution.
Pour ce qui est de wikipedia et de la description de la méthode mathématique, pas d'accord. La moyenne arithmétique ne peut donner un résultat exact. La différence de longueur d'un des deux bras est un accroissement, ou plus exactement un taux d'accroissement. La seule solution est une moyenne géométrique.

[Médiat]

La différence de longueur d'un des deux bras est un accroissement, ou plus exactement un taux d'accroissement. La seule solution est une moyenne géométrique.

Je dirais plutôt parce que les plateaux ne sont alignés horizontalement que lorsque les moments sont égaux, et non les poids.

[polo974]

Salut polo,

Es-tu sur qu'un problème d'équilibrage des plateaux soit différent que le problème de la longueur des bras ? Dans les deux cas, quel est le résultat ?

Dans le cas que tu précises (déséquilibre des plateaux) par rapport au cas que je pose (différence de longueur des bras) es-tu vraiment sur que ce ne soit pas le même cas.

Rien qu'entre nous, l'accroissement du poids est aussi un TAUX d'accroissement => moyenne géométrique

Dans ton énnoncé, tu donnais "...les bras ne sont pas tout à fait égaux...." sans autre précision. Il te semblait évident qu'il s'agissait d'une différence de longueur des bras, mais c'était implicite, et non explicite (je suis lourd là, hein à insister sur ce détail...).
Donc on peut interpréter cette inégalité, ce que je me suis amusé à faire (CF le nom de ce forum: Science ludique : la science en s'amusant). J'ai donc aussi accepté l'hypothèse qu'à vide, la balance ne soit pas horizontale, ce qui peut dénoter une inégalité de masse des bras de longueur égale.
Et je suis passé au cas général où rien n'est égal...

En passant, j'ai modifié la page wikipedia sur la double pesée, car parler de méthode simpliste, alors que c'est la seule bonne...

[invitef87b7d1f]

Salut,
@ Vanos : Excellent, c'est aussi comme ça que j'avais apris la méthode !
@+

[invitec92e1727]

peu importe que la balance qu'on utilise soit juste ou fausse, il faut surtout qu'elle soit sensible et fidèle. Le résultat final de la double pesée de Gauss estt : M = RACINE (M1 * M2), il ne sert à rien de mettre un nombre incalculable de décimales si on ne peut peser qu'au gramme près. mais bon, on se rend tout fe même compte qu'il y a une petite différence entre MOYENNE (M1 + M2) :
1070 g et 1069.579 g A 20 euros le gramme ça fait tout de même une différence de 8, 413 euros

[polo974]

peu importe que la balance qu'on utilise soit juste ou fausse, il faut surtout qu'elle soit sensible et fidèle. Le résultat final de la double pesée de Gauss est : M = RACINE (M1 * M2), ...

Il faut aussi qu'elle soit proportionnelle pour pouvoir appliquer cette formule.
En gros, il faut que masse_droite = k * masse_gauche (avec idéalement k = 1).
Donc, re en gros, il faut que les bras de levier ne varient pas suivant la charge.

On peut en effet imaginer une balance rustique réalisée avec un bambou, plus raide (du fait de sa plus grande épaisseur) d'un coté que de l'autre. Pour de petites charges (lorsque la flexion est négligeable), la balance sera proportionnelle, mais si la charge est suffisamment élevée, ce n'est plus le cas...

Alors qu'avec la double pesée avec tare, ça marche, et en plus, il n'y a pas besoin de faire une racine carrée.

Ok, je chipote, mais, pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué...