Énigme Cycliste

[invite970ffd48]

Un cycliste monte une pente à 20 km/h un fois arrivé en haut il se demande à quelle vitesse il doit rouler au retour pour avoir une vitesse moyenne de 40km/h.

Notre cycliste reprendra bien évidemment exactement le même chemin au retour.

Par un heureux hassard tu passais par là à ce moment et il te demande somnt aide ! Que lui réponds-tu ?


( Évidemment cette énigme à du être posée mais il y a tellement d'énigme en rapport à des vitesses et des distances que je n'ai pas trouvé celle-ci ... et je n'ai l'envi de toutes les vérifier)
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[invite0ca7eb4d]

Un cycliste monte une pente à 20 km/h un fois arrivé en haut il se demande à quelle vitesse il doit rouler au retour pour avoir une vitesse moyenne de 40km/h.

Notre cycliste reprendra bien évidemment exactement le même chemin au retour.

Par un heureux hassard tu passais par là à ce moment et il te demande somnt aide ! Que lui réponds-tu ?


( Évidemment cette énigme à du être posée mais il y a tellement d'énigme en rapport à des vitesses et des distances que je n'ai pas trouvé celle-ci ... et je n'ai l'envi de toutes les vérifier)

Si je comprend bien qu'il doit avoir une vitesse moyenne de 40 km/h sur l'aller-reour (ca doit etre ca sinon je vois pas pu est le piege).

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Il faut qu'il aille a peu pres a la vitesse de la lumiere car il devrait deja etre revenu en bas de la cote

[invite970ffd48]

oui c'est bien la vitesse moyenne ...aller et retour

[invitefd128b33]

je dois etre fatiguée je trouve pareil que Quintilio c'est à dire que le temps mis pour descendre doit etre nul. je comprend pas

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite970ffd48]

message pour pavlinka et ceux qui se sentent confus ...

pour les autres et bien continuez de cherchez vous êtes sur la bonne route !

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c'est bien la réponse alors on devrait répondre au cycliste qu'il vaut mieux qu'il ne tente pas le coup puisqu'il devrait redescendre instantanément la pente pour faire 40km/h en moyenne

[inviteda0d0541]

On voit qu'on est sur un forum scientifique !!! Posez cette énigme à peu près n'importe où ailleurs, je suis à peu près sur qu'on vous répondra : "ben t'es bête ou quoi, si il descend à 60 km/h ça fait 40 de moyenne c'est quand même pas compliqué !!" et la, la douce saveur de démontrer facilement que non, même en descendant à plus de 100 km/h il n'y arrivera pas... autant rester en haut et apprécier la vue !!

[invitef657fe61]

moi je vois vraiment pas pourquoi il ne pourra pas atteindre son objectif...

Si on restraint le parcours à la pente, et qu'il met 30 mins a 20km/H pour la min, puis qu'il la descende en faisant des zigzag (pour rallonger son parcourt, sans changer de chemin,sinon il mettra moins de temps pour finir la pente, ce qui fera dépasser la moyenne de 40km/H) à 60 km/H pendant 30 mins, la moyenne sera bien de 40 km/H en bas de la pente puisqu'à 20 km/H pendant 30 min, il aura parcourut 10 km, et a 60km/H pendant 30 min, il aura parcourut 30 km. Il n'aura pas changer de chemin, puisqu'il sera resté sur la route initiale, mais aura zigzager pour que cette moyenne soit valable. Bien évidament c'est complètement impossible dans la réalité de zigzaguer à cette vitesse, avec des virages aussi sec (si on considère la largueur de la route égale à environs 3 m il devra faire approximativement 4714 virages, étaler sur 10 km, soit 6,36 virages à la secondes, à la vitesse de 60km/H)

[invitef657fe61]

correction : il me semble m'être tromper dans mes calculs, ce serait plutot 8660 virages.

[inviteea6fd0dc]

Salut Gunthar,

Le calcul des vitesses sur une même distance n'est pas la moyenne arithmétique, mais la moyenne harmonique. Celle-ci est l'inverse de la moyenne arithmétique de l'inverse des valeurs

Vitesse moyenne sur un même trajet aller à 20 km/h retour à 60 km/h
Moyenne harminique :
=2/(1/20)+(1/60) =2/(3/60+1/60) = 2/(4/60) = 2*60/4 = 120/4 = 30 km/h

S'il met 30 min à 20 km/h, il à donc parcouru 10km
S'il parcourt la descente, ces mêmes 10 km à 60 km/h, il met 10 min
Il a donc parcouru 20 km en 40 min, ce qui nous donne pour 1 heure, 20/40*60=30
donc du 30 km/h de moyenne.

Ici, si le trajet total fait 10 km et si notre cycliste a mis 30 min pour faire le trajet, il faudrait qu'il soit en instantané au retour puisqu'en une demi-heure il aurait du faire l'aller retour (20 km à 40 km/)

[SunnySky]

Bien sûr... et Gunthar le sait très bien!

C'est pourquoi il utilise une astuce. Il rallonge le chemin inverse par une série de zigzags. Il s'arrange donc pour que la longueur du trajet ne soit pas de 10 km au retour.

Je trouve cette solution astucieuse. Effectivement, de cette façon, si sa bicyclette possède un compteur, la vitesse moyenne affichée sera bien de 40 km/h.

[polo974]

...
Notre cycliste reprendra bien évidemment exactement le même chemin au retour.
...

Donc l'hypothèse astucieuse (il faut l'avouer) de Gunthar n'est pas recevable.

Et donc, il y a 2 raisons pour que le cycliste ne puisse pas y arriver:

• Il lui faudrait rouler à une vitesse infinie, ce qui, si nous avons l'esprit assez ouvert peut être éventuellement accepté.
• Il roulerait à contre sens et finirait inexorablement écrasé comme un moustique sur le pare-brise d'un véhicule ascendant, ce qui rend la chose strictement impossible.

[invitef657fe61]

Je pense que ma solution est tout à fait recevable, puisque que je sert de ton énoncer pour faire cette solution ^^

Peu être qu'un petit détaille de ma solution est nécéssaire pour ceux qui se demande comment j'ai trouver le nombre de virages à affectuer.

Tout d'abord jetez un oeil au dessin que j'ai fait pour comprendre mes notations.



Le cycliste parcourt 2z en descendant de x
Il parcourt donc 20000z/x en descendant de 10000 mètres.
D’après le dessin que j’ai fait, il est évident que z = √(9+ x^2/4)
De plus 20000z/x = 30000 mètres, puisqu’on veut que le trajet descendant fasse 30 km.
On a donc la relation suivante :
3x = 2z
x = 2/3 z
x = 2/3 √(9+x^2/4)
x^2= 4/9(x^2/4+9)
x^2= x^2/9+4
Tout calcul fait on obtient :
x= 3/√2 modulo les erreurs de calcul

si vous suivez toujours, est le côtés de mon « rectangle » , chaque rectangle contenant 2z, soit 1 virage. Mais il ne fait pas oublier qu’avec 2 rectangles coller, on a 3 virages, avec 3 rectangles, 5virages ,avec 4, 7virages. On est en présence d’une suite arithmétique, où n est le nombre de rectangles, le résultat le nombre de virage.

u_0=0
u_n=2n-1

En divisant 10000 par x, on obtient qu’on a 4714 rectangles environs.
Soit, d’après la suite établie, 9427 virages. On pourra vérifier ce résultat en trouvant la valeur de z, et en la multipliant par 9428, soit 2 fois x (car dans chaque rectangle, on a 2z) . on obtient bien 30000 tout calcul fait.

pour que cette solution soit valable, il faut prendre le point de contact entre la roue avant et la route, puisque la roue arrière ne fera pas le même trajet. Mais de toute manière, le compteur est normalement sur la roue avant

Les violents changements de virages à cette vitesse (60km/H constant) sont évidaments purement irréalisables, mais qu'importe, c'est une solution comme une autre ^^

Petite remarque, le cycliste effectue 5,27 virages chaque seconde ^^ On pourra ajouter que cette solution est autend irréalisable que de descendre instantanément la pente =)

[inviteda0d0541]

Personnellement j'aime bien ta solution Gunthar... Bon même si il parcourt une plus grande distance que nécessaire, son but principal était d'atteindre 40km/h, c'est fait... Après on ne peut pas dire qu'il parcourt "exactement" le même chemin, donc je comprend les contestations...

[inviteea6fd0dc]

Alors soyons clairs, précis, et sans calculs complexes.
Si tu dois parcourir 40 km à 40 km/h de moyenne, il te faut une heure; si tu mets 1 heure pour parcourir la première moitié (doit 20 km à 20 kmh) comment tu fais pour arriver dans le temps voulu ..... puisque tu n'as plus de temps disponible.

C'est pas les zigs zags qui vont te sauver. Mais c'est pas grave, je te laisse faire ta promenade.

[inviteea6fd0dc]

Bon même si il parcourt une plus grande distance que nécessaire, son but principal était d'atteindre 40km/h,

C'est la première fois de ma vie que je vois quelqu'un améliorer sa vitesse moyenne en augmentant la longueur du trajet.

A moins qu'il ne l'allonge infiniment sur une vitesse infinie

[inviteea6fd0dc]

C'est beau d'arriver à la conclusion que rouler à 60 km/h en faisant des zigzags est plus efficace que de rouler à 60 km/h en ligne droite.
Bref, à 60 km/h, plus j'allonge mon trajet plus je vais vite .... pour aller du même point A au même point B

[invitef657fe61]

definition du chemin du petit larousse 2007: direction à suivre pour aller quelque part : hors, si tu attribue un vecteur à ta ligne droite sur le retour,appellons le v1, il pointera vers le milieu de la ligne d'arrivé (si on suppose que le cycliste descent en ligne droite). Maintenant, si tu applique un vecteur à chacun des z d'un rectangle,apellons les v21 et v22,tu obtiendra également un vecteur,, que l'on nomme v2, qui pointera aussi vers la ligne d'arriver, certe pas sur le point du milieu de la ligne d'arrivé, mais ou bien sur le point gauche de la ligne d'arrivé, ou bien sur le point de droite. Et au final, tes deux vecteurs,v1 et v2, seront collinéaire. Ils indiquent donc bien la même direction.

"""C'est la première fois de ma vie que je vois quelqu'un améliorer sa vitesse moyenne en augmentant la longueur du trajet"""

tous les moyens sont bon pour résoudre un problème

""""C'est pas les zigs zags qui vont te sauver. Mais c'est pas grave, je te laisse faire ta promenade""""

sisi, et je l'ais montrer

[inviteea6fd0dc]

Bon, ben s'il faut remettre les maths en cause, les stats en cause, moi je me retire.
Amusez vous bien.
Bonsoir

[inviteda0d0541]

Bon, ben s'il faut remettre les maths en cause, les stats en cause, moi je me retire.
Amusez vous bien.
Bonsoir

Pas question ici de remettre en cause quoi que ce soit !!

Tout le monde (enfin j'espere ???) est d'accord pour dire que si le cycliste monte ses 10 km à 20 km/h et redescend ces mêmes 10 km, peut importe sa vitesse il n'atteindra jamais les 40 km/h de moyenne visés (il avait qu'à se dépecher un peu dans la montée, fainéant celui-la...).

Ce que Gunthar dit, c'est que si il fait des ziz et des zag en descendant il parcourera une plus grande distance. Il modifie donc légérement l'énoncé ou du moins en exploite une faille bien que je prefère dire qu'il le modifie, pour parvenir au bon résultat. En effet, a la fin de sa descente pour le moins agitée (+ de 5 virages par seconde quand même !!!) son compteur affichera bien une vitesse moyenne de 40 km/h...

Malheureusement, il affichera une distance bien trop grande, et surtout un temps nettement supérieur à celui qu'il aurait réalisé en descendant tout droit, même s'il n'aurait pas atteint la vitesse moyenne de 40 km/h...

En même temps comment lui en vouloir, depuis le début de ce fil il en a fait des aller-retour alors on va pas chipoter pour quelques km/h !!

[SunnySky]

C'est la première fois de ma vie que je vois quelqu'un améliorer sa vitesse moyenne en augmentant la longueur du trajet.

A moins qu'il ne l'allonge infiniment sur une vitesse infinie

Exemple facile à comprendre: roule à 10 km/h pendant une heure, puis à 100 km/h pendant une seconde. Ta vitesse moyenne sera proche de 10 km/h. Roule ensuite à 10 km/h pendant une heure, puis roule à 100 km/h pendant 20 heures. Ta vitesse moyenne sera proche de 100 km/h.

C'est l'astuce de Gunthar. Il rallonge la descente pour faire augmenter la vitesse moyenne. Mathématiquement, il a raison. Il n'est nullement question de remettre les maths et les stats en cause.

La question est de savoir si cette astuce respecte l'énoncé de départ. Personnellement, je l'accepte, mais j'admets que c'est discutable.

[inviteea6fd0dc]

"La question est de savoir si cette astuce respecte l'énoncé de départ. Personnellement, je l'accepte, mais j'admets que c'est discutable."

Ben par rapport à l'énoncé, c'est relativement simple,
si je dois parcourir un trajet de 40 km à 40 km/h de moyenne (ce qui se fait en une heure), et que je parcourt en 1 heure la première moitié du trajet, combien de temps me reste t'il pour parcourir la seconde moitié ?

Réponse : 0 heure 0 minutes 0 secondes

Je crains que les zigs et les zags n'y changent pas grand-chose.

[invitef657fe61]

hélas on dirait que tu ne comprend pas bien la manière dont j'ai résolu ton problème.

Je me sert de l'ambiguité d'un passage de l'énoncer de ton problème

Notre cycliste reprendra bien évidemment exactement le même chemin au retour.

, qui n'explicite pas clairement que le cycliste doit reprendre le trajet inverse sur éxactement les même points qui on composer le trajet de la monter. De ce fait, si pendant 30 min, il va à 20 km/H, puis pendant les 30 mins suivantes, il va à 60km/H, et sachant que pendant les 30 premières minutes, il aura fait 10 km, et les 30 minutes suivantes, 30 km, la moyenne sera exactement de 40km/H. Il n'y a rien de compliquer. Etand donner que le cycliste à envi d'inover sur la manière de faire son parcourt, il décide donc de faire des zigzag sur la descente, mouvement autorisé, puisque non interdit par ton énoncé. En prenant donc le même chemin, il rallonge le trajet effecté, ce qui lui permet d'atteindre l'objectif souhaité, avec pour effet secondaire des nausés importantes à l'arrivé, et la nécéssité d'ingurgiter au moins 4 cachets d'aspirine. Je ne suis même pas sûr que le pauvre survive à un tel tremblement, durant 30 mins.

Malheureusement, il affichera une distance bien trop grande, et surtout un temps nettement supérieur

Il est tout a fait possible d'écourter le temps mis pour atteindre les 40km/H de moyenne.

[invitef657fe61]

Il est tout a fait possible d'écourter le temps mis pour atteindre les 40km/H de moyenne

En faite sa dépendra de la longueur du trajet...

[invite970ffd48]

En fait, au départ c'était mon problème, je n'ai pas eu le temps de me revenir voir les développements ( mortalité familiale oblige ) mais je suis assez content de toute ces discussions, le résultat de Gunthar me semble beaucoup plus intéressant que celui d'origine même s'il doit tordre quelques loi de la physique ainsi que l'énoncé ...

j'aimerais bien voir la tête du cycliste lorsque tu lui dira :

Pour une vitesse moyenne de 40 km/h tu devras zigzagué lors de la descente de manière à effectué 8660 virages ... à 60km/h.

[invitef657fe61]

bof, je vais pas me répété, mais je n'ais pas toucher à l'énoncer. Sinon j'ai tordu aucunes lois physique, j'ai juste considérer que le cycliste était assez bon pour maintenir une vitesse de 60km/H constament, qu'il avait une condition physique hors du commun, qu'il pouvait suivre une trajectoire au point près, que son vélo avait une stabilité incroyable, et que ses pneues ont une résistances à toutes épreuves ^^ A part sa, rien d'anormal

[invite970ffd48]

effectivement rien d'anormal ... j'aimerais bien savoir à combien de G serait soumis le corps du cycliste avec un tel nombre de virage à cette vitesse ...