Ahhh, les probabilités...

[inviteba44b0ad]

J'aime beaucoup ce pseudo-paradoxe qui m'a été donné par un prof de math à Jussieu :

Monsieur Léon à 2 enfants.
Hier, je l'ai croisé dans la rue, il se promenait avec un de ses enfants. Il se trouve que cet enfant était un garçon.
Evidemment, l'autre enfant a une chance sur deux d'être une fille.
Et bien j'affirme que monsieur Léon à deux chances sur trois d'avoir une fille, en plus du garçon avec lequel je l'ai vu se promener.

C'est pas très compliqué, mais je trouve ce problème assez étonnant.
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[invite35452583]

Un autre exemple de question de probabilité qui a tendance à troubler beaucoup de monde est le jeu suivant :
on met une pièce dans une boîte d'allumettes que l'on joint à deux autres boîtes en tout point extérieur semblable, on mélange les boîtes. Le joueur choisit une 1ère boîte, puis le meneur de jeu ouvre parmi les deux autres boîtes une boîte vide qu'il montre au joueur. Le meneur de jeu propose alors au joueur s'il veut changer de boîte.
Beaucoup pense qu'il ne sert à rein de changer alors que l'on multiplie ces chances de choisir la boîte avec la pièce par 2 en changeant.

[Gwyddon]

Ahhhh ! Nooon ! Homotopie s'il te plaît, tu ne vas pas relancer le débat sans fin

[invitee137b823]

Ah les paradoxes des deux enfants et de Monty Hall !
Les problèmes viennent evidemment des énoncés.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6ed3677d]

on met une pièce dans une boîte d'allumettes

Ca marche aussi avec 3 boites et un chat. Mais il parait que le chat meurt si on ouvre sa boite ...

[invite31b09bd4]

Bonsoir, je ne comprend pas bien saisir la question ou l`affirmation
en fonction des variable dépendante ou indépendante SVP.

[invitef98a0516]

J'aime beaucoup ce pseudo-paradoxe qui m'a été donné par un prof de math à Jussieu :

Monsieur Léon à 2 enfants.
Hier, je l'ai croisé dans la rue, il se promenait avec un de ses enfants. Il se trouve que cet enfant était un garçon.
Evidemment, l'autre enfant a une chance sur deux d'être une fille.
Et bien j'affirme que monsieur Léon à deux chances sur trois d'avoir une fille, en plus du garçon avec lequel je l'ai vu se promener.

C'est pas très compliqué, mais je trouve ce problème assez étonnant.

Ca se vérifie? Parcque ça m'a l'air un peu fumeux. Ca implique de considérer deux couples [F;G] et [G;F] en plus du possible [G;G], d'où les deux chances sur trois. Or la différence entre [F;G] et [G;F] parait bien artificielle, même s'il me semble qu'on m'a appris à déterminer les issues comme ça en cours.

[invite35452583]

Ca se vérifie? Parcque ça m'a l'air un peu fumeux. Ca implique de considérer deux couples [F;G] et [G;F] en plus du possible [G;G], d'où les deux chances sur trois. Or la différence entre [F;G] et [G;F] parait bien artificielle, même s'il me semble qu'on m'a appris à déterminer les issues comme ça en cours.

L'énoncé initial souffre que l'expérience ne peut se répéter un grand nombre de fois, les probabilités n'interviennent donc pas (en gros le deuxième enfant de M. Léon, qui habite dans le voisinage de Grisenka, est soit une fille soit un garçon et ne passe pas son temps à changer de sexe).
On peut le changer ainsi : on prend un très grand nombre de boules blanches et un nombre égal de boules noires. On tire au sort, de manière aléatoire et de manière équitable pour chaque boule, deux boules que l'on place, sans les regarder, dans une urne, on tire au sort une boule aléatoirement une des deux boules. Dans le cas où celle-ci est blanche quel est la probabilité que l'autre soit noire ? 2/3 idéalement (un peu moins en fait)
En effet, chaque paire a autant de chances d'être tiré au sort. Il y a n(n-1)/2 paires blanches et autant de paires noires et n² paires bicolores.
Le fait est qu'il y ait une boule blanche élimine les cas à deux boules noires.
Dans les n(n-1)/2 cas "2 noires" il reste une blanche
Dans les n² cas bicolores il reste une noire.
Il y a donc fois plus de chances qu'il reste une noire.
Il n'y a pas eu besoin de vraiment différencier les deux boules pour aboutir à ce résultat.

Ah les paradoxes des deux enfants et de Monty Hall !
Les problèmes viennent evidemment des énoncés.

Pourquoi le problème viendrait-il des énoncés ? (hormis le cas du M. Léon où les probabilités n'interviennent pas). Les deux expériences que j'ai décrites peuvent être réalisées un grand nombre de fois, en les répétant suffisamment on obtient les résultats énoncés.

[invité576543]

Ce n'est pas fumeux, et c'est loin d'être simple.

Une fois de plus, le mot probabilité est en cause.

Et une fois de plus, on demande la probabilité d'un événement unique, sans préciser la série d'épreuves répétées à laquelle on se réfère pour calculer la probabilité.

Il faut le répéter, mais on ne peut calculer, donner une valeur objective à, une probabilité que dans le cas d'épreuves répétées.

Pour arriver au 2/3, il suffit que la série d'épreuves soit comme suit: on prend tous les familles avec deux enfants, on en tire une au hasard, on vous dit le sexe d'un deux enfants, pris au hasard, et on vous demande le sexe de l'autre. Arrêtons nous à la première étape, le tir au hasard de la famille: les probabilités sont clairement 1/4 pour GG, 1/2 pour FG et 1/4 pour FF, rien de sorcier! Maintenant, à la seconde étape, comme il y a deux fois plus de familles FG que GG, si on vous dit garçon, la famille est GF dans 2/3 des cas et GG dans 1/3.

Pour arriver à 1/2, il suffit de la série d'épreuves comme suit: on tire au hasard un enfant parmi ceux des familles de deux enfants, et on vous demande le sexe de l'autre enfant de sa famille. Comme il y a autant de garçons ayant un frère que de garçons ayant une soeur, ça fait 1/2.

Pour arriver à rien de calculable, on prend une seule épreuve, comme l'énoncé le propose...

Le probas, c'est simple, mais uniquement quand on définit clairement une série d'épreuves répétées.

Cordialement,

Edit: Croisement...

[invité576543]

PS: De mémoire, il y a déjà eu une discussion assez longue là-dessus, avec quelques développements...

Cordialement,

[yat]

Bonjour, et désolé de faire remonter un sujet de plus d'une semaine (d'autant plus qu'effectivement, je pense que ce sujet a déjà été discuté ici), mais je rentre de vacances

Pour arriver au 2/3, il suffit que la série d'épreuves soit comme suit: on prend tous les familles avec deux enfants, on en tire une au hasard, on vous dit le sexe d'un deux enfants, pris au hasard, et on vous demande le sexe de l'autre. Arrêtons nous à la première étape, le tir au hasard de la famille: les probabilités sont clairement 1/4 pour GG, 1/2 pour FG et 1/4 pour FF, rien de sorcier! Maintenant, à la seconde étape, comme il y a deux fois plus de familles FG que GG, si on vous dit garçon, la famille est GF dans 2/3 des cas et GG dans 1/3.

Je ne suis pas d'accord. Dans l'expérience décrite ici, dans celle d'homotopie juste avant, ainsi que dans celle de l'énoncé, on a toujours une probabilité égale à 1/2.
Ce qui me surprend un peu, c'est que le protocole que tu proposes est bien défini, et il suffit de faire le test pour voir ce qui se passe. Tu n'as pas essayé ?

Je tente quand même une explication.

Il y a 8 situations possibles : deux possibilités pour le sexe du premier enfant, deux pour celui du deuxième enfant, et deux pour le choix de l'enfant tiré au hasard. Chacun de ces choix étant supposés équiprobable, les 8 situations sont naturellement elles aussi équiprobables. Je les numérote, en indiquant respectivement le sexe des deux enfants et le numéro de l'enfant tiré au hasard :

1 FF1
2 FF2
3 FG1
4 FG2
5 GF1
6 GF2
7 GG1
8 GG2

Dans les cas 1, 2, 3 et 6, l'enfant présenté est de sexe féminin. Parmi ces 4 situations, toujours équiprobables, on a les cas 1 et 2 dans lesquels l'autre enfant est également une fille, et les cas 3 et 6 dans lesquels l'autre enfant est un garçon.
De même, si l'enfant présenté est un garçon, on se trouve dans les situations 4, 5, 7 ou 8, parmi lesquelles on a deux situations ou l'autre enfant est une fille et deux ou c'est un garçon.

Le problème vient du fait qu'on ne sse place pas au départ dans un échantillon de familles qui contiennent au moins une fille. On se place dans l'ensemble des familles de deux enfants, et on choisit ensuite au hasard l'enfant qu'on présente. Donc en effet, si on nous dit garçon, on est soit dans le cas FG soit dans le cas GG, mais dans le cas FG, on avait une chance sur deux seulement qu'on nous présente le garçon, alors que dans le cas GG c'était forcément le cas. Du coup on fait intervenir une probabilité conditionnelle, qui nous ramène tout naturellement à une probabilité finale de 1/2 dans les deux cas. Plus concrètement, quand on nous dit garçon après avoir choisi au hasard un des deux enfants, on se place dans un échantillon qui contient toutes les familles de deux garçons et la moitié des familles mixtes.

Pour aboutir à la probabilité surprenante de 2/3, il faut que dans l'ensemble des cas de familles mixtes, ça soit le garçon qui soit présenté. Par exemple un rassemblement de parents d'élèves concernant un incident survenu dans les toilettes des garçons de l'école, et qui ne concerne donc que les parents de familles comprenant au moins un garçon. Dans ce cas là, si j'y croise Léon, et que celui-ci m'apprend qu'il a deux enfants, alors effectivement il y a deux chances sur trois que Léon ait également une fille. Ou plutôt, pour éviter de poser le problème de l'expérience unique, disons plutôt que si j'isole les parents de familles de deux enfants parmi ce rassemblement, deux sur trois auront également une fille.

[invite35452583]

Dans l'expérience décrite ici, dans celle d'homotopie juste avant, ainsi que dans celle de l'énoncé, on a toujours une probabilité égale à 1/2.

Oups !
bonnes remarques, yat.
Pour mon expérience il ne faut pas tirer au hasard mais par exemple modifier ainsi l'expérience : après tirage au sort des deux boules, quelqu'un sort une boule blanche quand il y en a une, sinon il y a un nouveau tirage après avoir replacé les deux boules noires. Cette modification rejoint alors ta remarque du dernier paragraphe.

[invité576543]

Pour aboutir à la probabilité surprenante de 2/3, il faut que dans l'ensemble des cas de familles mixtes, ça soit le garçon qui soit présenté. Par exemple un rassemblement de parents d'élèves concernant un incident survenu dans les toilettes des garçons de l'école, et qui ne concerne donc que les parents de familles comprenant au moins un garçon. Dans ce cas là, si j'y croise Léon, et que celui-ci m'apprend qu'il a deux enfants, alors effectivement il y a deux chances sur trois que Léon ait également une fille. Ou plutôt, pour éviter de poser le problème de l'expérience unique, disons plutôt que si j'isole les parents de familles de deux enfants parmi ce rassemblement, deux sur trois auront également une fille.

Oups aussi! (Et comme tu dis, j'aurais pu appliquer mécaniquement le protocole décrit...)

Cordialement,