Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 2 sur 2

Les probabilités!



  1. #1
    stefoufoune

    Les probabilités!

    Exercice 2:
    On a divisé une population en deux catégories "fumeurs" et "non-fumeurs".
    Une étude statistique a permis de constater que, d'une génération à l'autre:

    *60% des descendants de fumeurs sont des fumeurs,
    *10% des descendants non-fumeurs sont des fumeurs.

    On suppose que le taux de fécondité des fumeurs est le même que celui des non-fumeurs.
    ON désigne par:
    * fn le pourcentage de fumeurs à la génération de rang n.
    * gn=1-fn le pourcentage de non-fumeurs à la génération de rang n, où n est un entier naturel.
    On considère qu'à la génération 0, il y a autant de fumeurs que de non-fumeurs.
    On a donc f0=g0=0.5 .

    1/ Traduire les données de l'énoncé par un graphe probabiliste.

    Réponse: f0=0.5.
    On effectue une boucle de f vers f de 0.6 (probabilité que les descendants des fumeurs sont des fumeurs.
    Puis on fait une flèche de f vers g (1-0.6=0.4) c'est la probabilité que les descendants des non-fuemurs soit fumeurs.

    On effectue une boucle de g vers g de 0.9 (1-0.1=0.9) c'est la probabilité que les descendants des non-fumeurs sont des non-fumeurs. Et une flèche allant de g vers f de 0.1, c'est la probabilité que les descendants des non-fumeurs sont des fumeurs.

    2/ Justifier l'égalité matricielle:
    (f(indice)n+1 gn+1)= (fn gn)-A où A désigne la matrice [0.6 0.4]
    [0.1 0.9]
    Réponse: (pas du tout sure) puisque (d'après le cours) Pn+1=Pn*A
    Nous avons donc (fn gn)*A pour (fn+1 gn+1).

    3/ Déterminer le pourcentage de fumeurs à la génération de rang 2.
    Réponse:
    (f2 g2)= (f0 g0)*A²= (0.275 0.725)
    Donc (f2 g2)= (0.275 0.725)

    4/ Déterminer l'état probabiliste stable et l'interpréter.
    Réponse:
    L'état probabiliste c'est lorsque P*A=P
    Cet état devient stable à partir du rang 2. Cela signifie que pour les années suivantes, aux environs des 72.5% seront des non-fumeurs et 27.5% seront des fumeurs.

    5/ Montrer que pour tout entier naturel n, fn+1= 0.5fn+0.1.

    Réponse: On fait que f0=0.5, mais aussi on ajoute à cela les 10% soit 0.1 des descendants des non-fumeurs qui sont des fumeurs cela fait:
    fn+1=0.5fn+0.1.

    6/On pose, pour tout entier naturel n, Un= fn -0.2.
    a/ Montrer que la suite (Un) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme de la suite.

    Réponse: Un= fn-0.2. On sait que la suite géométrique est de la forme de Un+1=Un*q, Donc, on a:
    Un+1= fn+1-0.2 où fn+1= 0.5fn +0.1
    équivaut à: Un+1= (0.5fn+0.1)-0.2
    équivaut à: Un+1=(-0.1fn -0.02) où fn= Un+ 0.02
    équivaut à: Un+1=-0.1(Un+0.02) -0.02
    équivaut à: Un+1= -0.1Un +0
    Un+1= -0.1Un
    De raison q= -0.1 et de premier terme: U0=f0-0.2= 0.5-0.2=0.3.

    b/ Donner l'expression de Un en fonction de n.
    Réponse:
    Un+1= -0.1Un
    D'après la propiété, Un= q^n * U0
    Soit Un= -0.1^n*0.3

    c/ En déduire que, pour tout entier naturel n, fn= 0.3*0.5^n+0.2
    Réponse:
    fn= f0+ n*r
    fn=0.5 + n*0.3... je suis coincée..


    d/ Déterminer la limite de la suite (fn) lorsque n tend vers +00 et l'interpréter.
    Réponse:
    Lim fn= lim 0.3*0.5^n+0.2=
    n tend vers +00

    Lim 0.5^n= 0 car lim -1<q<1 =0 lorsque n tend vers +00
    n tend vers +00

    donc lim 0.3*0.5^n+0.2= 0.2 car 0.3*0=0 il ne reste que 0.2.
    lorsque n tend vers +00

    On constate ainsii que plus tard l'état probabiliste se stabilisera à 20% des fumeurs et 80% pour les non-fumeurs.

    Merci de bien vouloir corriger mes erreurs..

    -----


  2. #2
    zinia

    Re : Les probabilités!

    Bonjour,
    C'est bon pour les 3 premières questions, ensuite ça dérape
    Citation Envoyé par stefoufoune
    4/ Déterminer l'état probabiliste stable et l'interpréter.
    Réponse:
    L'état probabiliste c'est lorsque P*A=P
    Cet état devient stable à partir du rang 2. Cela signifie que pour les années suivantes, aux environs des 72.5% seront des non-fumeurs et 27.5% seront des fumeurs.
    Non, il te faut résoudre le système P*A=P
    Tu es d'ailleurs en contradiction avec la conclusion de l'exo
    Citation Envoyé par stefoufoune
    6a/Réponse: Un= fn-0.2. On sait que la suite géométrique est de la forme de Un+1=Un*q, Donc, on a:
    Un+1= fn+1-0.2 où fn+1= 0.5fn +0.1
    équivaut à: Un+1= (0.5fn+0.1)-0.2 oui
    équivaut à: Un+1=(-0.1fn -0.02) non
    fn= Un+ 0.02non c'est Un+0.2

Sur le même thème :

Discussions similaires

  1. les probabilités du keno
    Par cedric12345 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 0
    Dernier message: 03/11/2007, 21h24
  2. Les probabilités
    Par Deeprod dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 3
    Dernier message: 06/09/2007, 23h19
  3. Ahhh, les probabilités...
    Par Grisenka dans le forum Science ludique : la science en s'amusant
    Réponses: 12
    Dernier message: 04/09/2007, 02h30
  4. les probabilités
    Par monalisa95 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 2
    Dernier message: 19/10/2006, 10h10
  5. Le hasard et les probabilités
    Par Archange dans le forum TPE / TIPE et autres travaux
    Réponses: 8
    Dernier message: 24/01/2005, 12h43