Exercice 2:
On a divisé une population en deux catégories "fumeurs" et "non-fumeurs".
Une étude statistique a permis de constater que, d'une génération à l'autre:
*60% des descendants de fumeurs sont des fumeurs,
*10% des descendants non-fumeurs sont des fumeurs.
On suppose que le taux de fécondité des fumeurs est le même que celui des non-fumeurs.
ON désigne par:
* fn le pourcentage de fumeurs à la génération de rang n.
* gn=1-fn le pourcentage de non-fumeurs à la génération de rang n, où n est un entier naturel.
On considère qu'à la génération 0, il y a autant de fumeurs que de non-fumeurs.
On a donc f0=g0=0.5 .
1/ Traduire les données de l'énoncé par un graphe probabiliste.
Réponse: f0=0.5.
On effectue une boucle de f vers f de 0.6 (probabilité que les descendants des fumeurs sont des fumeurs.
Puis on fait une flèche de f vers g (1-0.6=0.4) c'est la probabilité que les descendants des non-fuemurs soit fumeurs.
On effectue une boucle de g vers g de 0.9 (1-0.1=0.9) c'est la probabilité que les descendants des non-fumeurs sont des non-fumeurs. Et une flèche allant de g vers f de 0.1, c'est la probabilité que les descendants des non-fumeurs sont des fumeurs.
2/ Justifier l'égalité matricielle:
(f(indice)n+1 gn+1)= (fn gn)-A où A désigne la matrice [0.6 0.4]
[0.1 0.9]
Réponse: (pas du tout sure) puisque (d'après le cours) Pn+1=Pn*A
Nous avons donc (fn gn)*A pour (fn+1 gn+1).
3/ Déterminer le pourcentage de fumeurs à la génération de rang 2.
Réponse:
(f2 g2)= (f0 g0)*A²= (0.275 0.725)
Donc (f2 g2)= (0.275 0.725)
4/ Déterminer l'état probabiliste stable et l'interpréter.
Réponse:
L'état probabiliste c'est lorsque P*A=P
Cet état devient stable à partir du rang 2. Cela signifie que pour les années suivantes, aux environs des 72.5% seront des non-fumeurs et 27.5% seront des fumeurs.
5/ Montrer que pour tout entier naturel n, fn+1= 0.5fn+0.1.
Réponse: On fait que f0=0.5, mais aussi on ajoute à cela les 10% soit 0.1 des descendants des non-fumeurs qui sont des fumeurs cela fait:
fn+1=0.5fn+0.1.
6/On pose, pour tout entier naturel n, Un= fn -0.2.
a/ Montrer que la suite (Un) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme de la suite.
Réponse: Un= fn-0.2. On sait que la suite géométrique est de la forme de Un+1=Un*q, Donc, on a:
Un+1= fn+1-0.2 où fn+1= 0.5fn +0.1
équivaut à: Un+1= (0.5fn+0.1)-0.2
équivaut à: Un+1=(-0.1fn -0.02) où fn= Un+ 0.02
équivaut à: Un+1=-0.1(Un+0.02) -0.02
équivaut à: Un+1= -0.1Un +0
Un+1= -0.1Un
De raison q= -0.1 et de premier terme: U0=f0-0.2= 0.5-0.2=0.3.
b/ Donner l'expression de Un en fonction de n.
Réponse:
Un+1= -0.1Un
D'après la propiété, Un= q^n * U0
Soit Un= -0.1^n*0.3
c/ En déduire que, pour tout entier naturel n, fn= 0.3*0.5^n+0.2
Réponse:
fn= f0+ n*r
fn=0.5 + n*0.3... je suis coincée..
d/ Déterminer la limite de la suite (fn) lorsque n tend vers +00 et l'interpréter.
Réponse:
Lim fn= lim 0.3*0.5^n+0.2=
n tend vers +00
Lim 0.5^n= 0 car lim -1<q<1 =0 lorsque n tend vers +00
n tend vers +00
donc lim 0.3*0.5^n+0.2= 0.2 car 0.3*0=0 il ne reste que 0.2.
lorsque n tend vers +00
On constate ainsii que plus tard l'état probabiliste se stabilisera à 20% des fumeurs et 80% pour les non-fumeurs.
Merci de bien vouloir corriger mes erreurs..
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Envoyé par stefoufoune