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calcul compliqué...exponentielles



  1. #1
    Quetzalcoatl

    calcul compliqué...exponentielles

    Bonjour, je révise actuellement mon bac et je tombe sur un calcul assez difficile.

    ( 0.8 X (e^-0.2t)) / ( 1+ 4X(e^-0.2t))² > 0.9

    j'ai commencé par mettre 0.9 sur le meme dénominateur et j'obtiens ainsi cela:

    (0.8e^-0.2t) > 0.9 ( 1 + 4e^-0.2t)²

    et la, ca devient plus compliqué...j'ai essayé de développer la parenthèse de gauche ( identité remarquable ) mais je me retrouve avec un (4e^-0.2t)² qui me gène énormément.

    Pouvez vous m'éclaircir sur le sujet ? merci

    -----


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  3. #2
    nissart7831

    Re : calcul compliqué...exponentielles

    Bonjour,

    je suppose que tu veux trouver les t qui vérifient cette inéquation.

    Un conseil, pour ne pas t'embrouiller avec les exponentielles dans un premier temps, pose X = exp(-0,2t).
    Résouds l'inéquation en X (classique) et ensuite réinjecte l'exponentielle dans les solutions.

    Attention le fait de manipuler l'exponentielle te rajoutera des conditions sur X (par exemple l'exponentielle est toujours positive).
    Je pense que tu as compris l'idée.

  4. #3
    Quetzalcoatl

    Re : calcul compliqué...exponentielles

    oui je v essayer comme ca je vous tiens au courant!

  5. #4
    Quetzalcoatl

    Re : calcul compliqué...exponentielles

    j'arrive donc, après avoir posé X = exp(-0,2t)

    a,

    0,8X > 0.9 ( 1+4X )²
    0.8X > 0.9 ( 1² + 8X + 16X² )
    0.8X > 0.9 + 7.2X +14.4 X²
    0.8 X - 0.9 - 7.2X - 14.4X² > 0
    - 6.4X - 14.4 X² - 0.9 > 0

    solutions: -0.06 et -2.19

    est ce bon ? me suis je trompé ?

  6. #5
    nissart7831

    Re : calcul compliqué...exponentielles

    - 6.4X - 14.4 X² - 0.9 > 0, ça revient à :

    14.4 X² + 6.4X + 0.9 < 0

    Ca fait un discriminant négatif si je ne me trompe pas, donc pas de solutions réelles qui annullent la polynôme. non ?

    Tu travailles dans ou dans ?

    Si tu es dans et que je ne me suis pas planté dans le discriminant, je te laisse conclure.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Tonton Nano

    Re : calcul compliqué...exponentielles

    Bonjour

    D'après moi, il y a une erreur à la dernière étape.
    Le discrimiant de l'équation du second degré est négatif ... donc nombres complexes !

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  10. #7
    Quetzalcoatl

    Re : calcul compliqué...exponentielles

    Le discriminant est bien négatif! il n'y a donc pas de solutions en effet...mais j'ai remplacé exp-0.2t = X alors que dois je faire ?

    ca me semble bizarre de trouver ca étant donné que je suis censé trouver un nombre t ( correspondant au rang de l'année concerné ) m'indiquant a quel moment les ménages seront équipés a plus de 90%! ( d'ou le 0.9 ). Pouvez vous vérifier mon calcul ?

  11. #8
    Quetzalcoatl

    Re : calcul compliqué...exponentielles

    ps: je suis sur que j'ai bien recopié l'énoncé..cela voudrait til simplement dire, que jamais les ménages ne sont équipés au dela de 90% ?

  12. #9
    Tonton Nano

    Re : calcul compliqué...exponentielles

    S'il n'y a pas d'erreurs avant, ça veux bien dire que le seuil de 90% n'est pas dépassable.

  13. #10
    Quetzalcoatl

    Re : calcul compliqué...exponentielles

    et pourtant à la calculatrice , on m'affirme que oui...je ne sais vraiment pas ou j'ai pu faire une erreur

  14. #11
    nissart7831

    Re : calcul compliqué...exponentielles

    Citation Envoyé par Quetzalcoatl
    Le discriminant est bien négatif! il n'y a donc pas de solutions en effet...mais j'ai remplacé exp-0.2t = X alors que dois je faire ?
    Il n'y a aucun X qui annulle le polynôme. Pour trouver le signe de ton polynôme (14.4 X² + 6.4X + 0.9 < 0), il suffit de prendre une valeur quelconque. Par exemple, X = 0 (même si ça ne correspond à rien pour l'exponentielle) et la valeur est 0.9 donc strictement positive.
    Il n'existe donc aucune solution à ton inéquation en X. De même, il n'existe aucun t qui vérifie ton inéquation.

    Tout cela s'entend dans bien sûr.

    Plus précisément, la fonction 0,8X/(1+4X)² atteint son maximum (sur pour l'exponentielle) en X = 1/4. La fonction vaut alors 0,05.
    On est loin du 0,9. J'espère ne pas avoir fait d'erreur de calcul. Vérifie, c'est mieux.

    Donc pour ton exercice, il y a doit avoir une erreur en amont ou alors c'est la réponse attendue.

  15. #12
    Quetzalcoatl

    Re : calcul compliqué...exponentielles

    Je ne comprend pas pourquoi tu as pris la fonction 0.8X / ( 1+4X )² et pas la fonction de départ avec les exponentielles...

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  17. #13
    Quetzalcoatl

    Re : calcul compliqué...exponentielles

    remarque le calcul concerne la dérivée, et pas la fonction...donc ca n'a peut être pas de rapport direct avec le taxu d'équipements des ménages

  18. #14
    nissart7831

    Re : calcul compliqué...exponentielles

    Citation Envoyé par Quetzalcoatl
    Je ne comprend pas pourquoi tu as pris la fonction 0.8X / ( 1+4X )² et pas la fonction de départ avec les exponentielles...
    Emporté par l'élan. Désolé.

    L'idée, c'était de trouver le maximum de la fonction (0,8 exp(-0,2t)/(1+4exp(-0,2t))². Si le maximum est inférieur à 0,9, tu constateras bien que ton inéquation ne peut être vérifiée. Ce sera une preuve de plus, au cas où on aurait fait une erreur de calcul précédemment.
    Et pour l'étudier, tu passes par la dérivée.

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