DM : exponentielles
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DM : exponentielles



  1. #1
    invitebf58d26c

    DM : exponentielles


    ------

    Bonjour, c'est un dm sur les Exponentielles que j'ai commencé..Merci



    soit f la fonction définie pour tout x élément de R par f(x)=30e^-5x
    soit g la fonction définie pour tout x élément de R par g(x)=e^5x +1 (le +1 ne fai pas parti de l'exponentielle)

    On admet que f et g sont dérivables sur R.

    1/démontrer que la fonction f est strictement décroissante sur R


    2/démontrer que la fonction g est strictement croissante sur R


    3/tracer les répresentations graphiques des fonctions f et g sur l'intervalle [0;0.5](20cm pour 1unité sur l'axe des abscisse et 0.5cm pour 1 unité sur l'axe des ordonnées)


    4/le but de cette question est de résoudre dans R l'équation
    (E): f(x)=g(x)

    a/montrer que E s'écrit aussi (e^5x)^2 + (e^5x) -30 =0

    b/résoudre dans R l'équation: X²+X-30=0

    c/en déduire que (ln5)/5 est l'unique solution de l'équation (E)


    5 dans cette question on considère que la partie du plan est située au-dessus de l'axe des abscisses.
    Hachurer sur le graphique le domaine situé a la fois sous la courbe de f et sous la courbe de g, et limité par les droites d'équation x=0 et x=0.5

    calculer en cm² l'aide de ce domaine
    donner la valeur exacte de l'aire puis une valeur approchée a 10^-1 près.

    Mes Réponses:

    1/ il faut calculer le sens de variation de la fonction f:
    donc: 30e^-5x= 30*(1/e^5x)
    f'(x)=
    je ne trouve pas..

    2/ g'(x)= e^5x
    je ne vois pas comment étudier le signe de la dérivée.. e ne l'ai pas appris

    3/je l'ai faite

    4/
    a/pour montrer que E s'écrit autrement il suffit de développer l'équation que l'on nous donne dans l'énoncé:
    (e^5x)^2+(e^5x) -30=0
    e^10x + e^5x -30 =0

    et f(x)=g(x) équivaut à 30e^-5x= e^5x +1
    30e^-5x - e^5x -1 =0
    30* 1/e^5x - e^5x -1 =0
    je suis coincée ..

    b/ pour résoudre l'éaquation X²+X-30=0 il faut faire un système tel que X=e^5x
    donc calculons le discriminant : b²-4ac = 121 donc supérieur à zéro
    il y a deux racines distincts X'= -6 et X"= 5
    donc les solutions sont e^5x=-6 et e^5x=5
    et donc 5x= ln6 ou encore x= -ln6/5 et 5x=ln5 ou x= ln5/5 S= {ln5/5}

    c/ ln5/5 est l'unique solution car -ln6/5 n'est pas définie sur l'intervalle [0;0.5]

    5/
    pour calculer une aire il faut calculer l'intégrale de 0 à 0.5 de g(x) - f(x)
    puis ensuite pour calculer la valeur exacte il faut multiplier la valeur trouvée par (20 * 0.5) c'est-a-dire les unités données pour tracer les courbes.

    F(x)=? G(x)=?

    J'ai vraiment besoin de votre aide...
    Merci d'avance.

    -----

  2. #2
    Duke Alchemist

    Re : Bonjour, j'ai vraiment un gros problème avec les exponentielles ! Merci

    Bonjour.

    (ex)' = ex
    et (eu)' = u' eu où u = u(x)

    Ca devrait t'aider pour le début

    Remarque : ces dérivées sont à connaître

    Duke.

  3. #3
    Duke Alchemist

    Re : Bonjour, j'ai vraiment un gros problème avec les exponentielles ! Merci

    Citation Envoyé par stefoufoune
    1/ il faut calculer le sens de variation de la fonction f:
    donc: 30e^-5x= 30*(1/e^5x)
    f'(x)=
    je ne trouve pas..
    C'est mal dit ! On ne calcule pas un sens de variation ! On le détermine en calculant sa dérivée !
    2/ g'(x)= e^5x
    je ne vois pas comment étudier le signe de la dérivée.. e ne l'ai pas appris
    C'est comme au 1) !

    3/je l'ai faite

    4/
    a/... f(x)=g(x) équivaut à 30e^-5x= e^5x +1
    30e^-5x - e^5x -1 =0
    30* 1/e^5x - e^5x -1 =0
    je suis coincée ..
    Est amplement suffisant ! Ta derière ligne (de calcul) s'écrit :
    30e-5x - e5x - 1 = 0
    multiplie par e5x et par -1 après et qu'obtiens-tu ??

    b/ pour résoudre l'éaquation X²+X-30=0 il faut faire un système tel que X=e^5x
    donc calculons le discriminant : b²-4ac = 121 donc supérieur à zéro
    il y a deux racines distincts X'= -6 et X"= 5
    donc les solutions sont e^5x=-6 et e^5x=5
    et donc 5x= ln6 ou encore x= -ln6/5 et 5x=ln5 ou x= ln5/5 S= {ln5/5}
    Ce qui est en gras va dans la question c) ! On te demande simplement de résoudre l'équation en X

    c/ ln5/5 est l'unique solution car -ln6/5 n'est pas définie sur l'intervalle [0;0.5]
    voir b)

    Pour la suite, aide-toi de mon post précédent ! La fonction exp est l'une des plus simple à intégrer...

    Duke.

  4. #4
    invitebf58d26c

    Re : Bonjour, j'ai vraiment un gros problème avec les exponentielles ! Merci

    1/ Pour déterminer le sens de variation de f, calculons sa dérivée : c'est la formule (eû)'=u'*e^u
    f(x)=30e^-5x
    f'x)=-5e^-5x je ne suis pas sure.. ou f'(x)-150e^-5x
    ensuite il faut étudier le signe de la dérivée pour faire le tableau de variation.
    soit que -5e^-5x Supérieur a 0.. je ne vois pas.

    2/ g'(x)=5e^5x

    4/a 30e^-5x-e^5x+1=0 je ne comprends pas pourquoi:
    "multiplie par e5x et par -1 après et qu'obtiens-tu ??"

    b/cette équation comprend deux racines distincts :
    X'=-6 et X"=5

    c/les solutions sont e^5x=-6 et e^5x=5
    et donc 5x= ln6 ou encore x= -ln6/5 et 5x=ln5 ou x= ln5/5 S= {ln5/5}
    la seule solution es ln5/5 car -ln6/5 est négatif.

    5/ laprimitive d f(x) est:
    F(x)=30x*-5e^-5x= 150xe^-5x
    G(x)=5e^5x+x

    donc l'intégrale de 0 à 0.5 de [g-f]dx= [G-F]de 0 à 0.5=
    150xe^-5x-5e^5x+x=
    [G(0)-F(0)]= 150(o)e^5(o)-5e^5(o)+o=-5*e^0=-5
    [G(0.5)-F(0.5)]= 75e^-2.5-5^2.5+0.5

    donc l'intégrale de 0 à 0.5 de [g-f]dx=-5 -(75e^-2.5-5e^2.5+0.5)=5e^2.5-75e^-2.5 -5.5 en unités d'aires

    donc en cm² c'est (20*0.5=10) on calcule l'intégrale et on multiplie par 10, non?
    'intégrale de 0 à 0.5 de (g-f) = 49.2560..
    donc l'aire en cm² vaut A= (g-f)*10 .. c'est trop grand
    merci beaucoup pour votre aide, sa m'avance beaucoup

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Duke Alchemist

    Re : Bonjour, j'ai vraiment un gros problème avec les exponentielles ! Merci

    Bonsoir.

    1/ ... f'(x) = -150e-5x... c'est mieux en effet
    Que peux-tu dire du signe de eX pour tout X réel ? (c'est du cours) et donc de f'(x)

    2/ g'(x)=5e5x Pour le signe voir principe du 1/

    4/a 30e^-5x-e^5x+1=0 je ne comprends pas pourquoi:
    "multiplie par e5x et par -1 après et qu'obtiens-tu ??"...
    Ce serait bien de retrouver (E), non ?

    b/cette équation comprend deux racines distincts :
    X'=-6 et X"=5


    c/les solutions sont e^5x=-6 et e^5x=5
    et donc 5x= ln6 ou encore x= -ln6/5...
    Tu fais la révolution dans les mathématiques surtout pour ce qui est en gras
    et 5x=ln5 ou x= ln5/5 S= {ln5/5}
    la seule solution es ln5/5 car -ln6/5 est négatif.
    même remarque...

    5/ laprimitive d f(x) est:
    F(x)=30x*-5e^-5x= 150xe^-5x
    G(x)=5e^5x+x

    J'ai un gros doute sur tes primitives... par conséquent pour la suite aussi...
    F(x) = 30/(-5) e-5x + cste = ...
    (sachant qu'en dérivant F(x), tu dois retrouver f(x) )... à intégrer entre 0 et 0,5...

    See ya.
    Duke.

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