DM : exponentielles

[invitebf58d26c]

Bonjour, c'est un dm sur les Exponentielles que j'ai commencé..Merci



soit f la fonction définie pour tout x élément de R par f(x)=30e^-5x
soit g la fonction définie pour tout x élément de R par g(x)=e^5x +1 (le +1 ne fai pas parti de l'exponentielle)

On admet que f et g sont dérivables sur R.

1/démontrer que la fonction f est strictement décroissante sur R


2/démontrer que la fonction g est strictement croissante sur R


3/tracer les répresentations graphiques des fonctions f et g sur l'intervalle [0;0.5](20cm pour 1unité sur l'axe des abscisse et 0.5cm pour 1 unité sur l'axe des ordonnées)


4/le but de cette question est de résoudre dans R l'équation
(E): f(x)=g(x)

a/montrer que E s'écrit aussi (e^5x)^2 + (e^5x) -30 =0

b/résoudre dans R l'équation: X²+X-30=0

c/en déduire que (ln5)/5 est l'unique solution de l'équation (E)


5 dans cette question on considère que la partie du plan est située au-dessus de l'axe des abscisses.
Hachurer sur le graphique le domaine situé a la fois sous la courbe de f et sous la courbe de g, et limité par les droites d'équation x=0 et x=0.5

calculer en cm² l'aide de ce domaine
donner la valeur exacte de l'aire puis une valeur approchée a 10^-1 près.

Mes Réponses:

1/ il faut calculer le sens de variation de la fonction f:
donc: 30e^-5x= 30*(1/e^5x)
f'(x)=
je ne trouve pas..

2/ g'(x)= e^5x
je ne vois pas comment étudier le signe de la dérivée.. e ne l'ai pas appris

3/je l'ai faite

4/
a/pour montrer que E s'écrit autrement il suffit de développer l'équation que l'on nous donne dans l'énoncé:
(e^5x)^2+(e^5x) -30=0
e^10x + e^5x -30 =0

et f(x)=g(x) équivaut à 30e^-5x= e^5x +1
30e^-5x - e^5x -1 =0
30* 1/e^5x - e^5x -1 =0
je suis coincée ..

b/ pour résoudre l'éaquation X²+X-30=0 il faut faire un système tel que X=e^5x
donc calculons le discriminant : b²-4ac = 121 donc supérieur à zéro
il y a deux racines distincts X'= -6 et X"= 5
donc les solutions sont e^5x=-6 et e^5x=5
et donc 5x= ln6 ou encore x= -ln6/5 et 5x=ln5 ou x= ln5/5 S= {ln5/5}

c/ ln5/5 est l'unique solution car -ln6/5 n'est pas définie sur l'intervalle [0;0.5]

5/
pour calculer une aire il faut calculer l'intégrale de 0 à 0.5 de g(x) - f(x)
puis ensuite pour calculer la valeur exacte il faut multiplier la valeur trouvée par (20 * 0.5) c'est-a-dire les unités données pour tracer les courbes.

F(x)=? G(x)=?

J'ai vraiment besoin de votre aide...
Merci d'avance.
-----

[Duke Alchemist]

Bonjour.

(e^x)' = e^x
et (e^u)' = u' e^u où u = u(x)

Ca devrait t'aider pour le début

Remarque : ces dérivées sont à connaître

Duke.

[Duke Alchemist]

1/ il faut calculer le sens de variation de la fonction f:
donc: 30e^-5x= 30*(1/e^5x)
f'(x)=
je ne trouve pas..

C'est mal dit ! On ne calcule pas un sens de variation ! On le détermine en calculant sa dérivée !

2/ g'(x)= e^5x
je ne vois pas comment étudier le signe de la dérivée.. e ne l'ai pas appris

C'est comme au 1) !

3/je l'ai faite

4/
a/... f(x)=g(x) équivaut à 30e^-5x= e^5x +1
30e^-5x - e^5x -1 =0
30* 1/e^5x - e^5x -1 =0
je suis coincée ..

Est amplement suffisant ! Ta derière ligne (de calcul) s'écrit :
30e^-5x - e^5x - 1 = 0
multiplie par e^5x et par -1 après et qu'obtiens-tu ??

b/ pour résoudre l'éaquation X²+X-30=0 il faut faire un système tel que X=e^5x
donc calculons le discriminant : b²-4ac = 121 donc supérieur à zéro
il y a deux racines distincts X'= -6 et X"= 5
donc les solutions sont e^5x=-6 et e^5x=5
et donc 5x= ln6 ou encore x= -ln6/5 et 5x=ln5 ou x= ln5/5 S= {ln5/5}

Ce qui est en gras va dans la question c) ! On te demande simplement de résoudre l'équation en X

c/ ln5/5 est l'unique solution car -ln6/5 n'est pas définie sur l'intervalle [0;0.5]

voir b)

Pour la suite, aide-toi de mon post précédent ! La fonction exp est l'une des plus simple à intégrer...

Duke.

[invitebf58d26c]

1/ Pour déterminer le sens de variation de f, calculons sa dérivée : c'est la formule (eû)'=u'*e^u
f(x)=30e^-5x
f'x)=-5e^-5x je ne suis pas sure.. ou f'(x)-150e^-5x
ensuite il faut étudier le signe de la dérivée pour faire le tableau de variation.
soit que -5e^-5x Supérieur a 0.. je ne vois pas.

2/ g'(x)=5e^5x

4/a 30e^-5x-e^5x+1=0 je ne comprends pas pourquoi:
"multiplie par e5x et par -1 après et qu'obtiens-tu ??"

b/cette équation comprend deux racines distincts :
X'=-6 et X"=5

c/les solutions sont e^5x=-6 et e^5x=5
et donc 5x= ln6 ou encore x= -ln6/5 et 5x=ln5 ou x= ln5/5 S= {ln5/5}
la seule solution es ln5/5 car -ln6/5 est négatif.

5/ laprimitive d f(x) est:
F(x)=30x*-5e^-5x= 150xe^-5x
G(x)=5e^5x+x

donc l'intégrale de 0 à 0.5 de [g-f]dx= [G-F]de 0 à 0.5=
150xe^-5x-5e^5x+x=
[G(0)-F(0)]= 150(o)e^5(o)-5e^5(o)+o=-5*e^0=-5
[G(0.5)-F(0.5)]= 75e^-2.5-5^2.5+0.5

donc l'intégrale de 0 à 0.5 de [g-f]dx=-5 -(75e^-2.5-5e^2.5+0.5)=5e^2.5-75e^-2.5 -5.5 en unités d'aires

donc en cm² c'est (20*0.5=10) on calcule l'intégrale et on multiplie par 10, non?
'intégrale de 0 à 0.5 de (g-f) = 49.2560..
donc l'aire en cm² vaut A= (g-f)*10 .. c'est trop grand
merci beaucoup pour votre aide, sa m'avance beaucoup

[A voir en vidéo sur Futura]

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

1/ ... f'(x) = -150e^-5x... c'est mieux en effet
Que peux-tu dire du signe de e^X pour tout X réel ? (c'est du cours) et donc de f'(x)

2/ g'(x)=5e^5x Pour le signe voir principe du 1/

4/a 30e^-5x-e^5x+1=0 je ne comprends pas pourquoi:
"multiplie par e5x et par -1 après et qu'obtiens-tu ??"...

Ce serait bien de retrouver (E), non ?

b/cette équation comprend deux racines distincts :
X'=-6 et X"=5

c/les solutions sont e^5x=-6 et e^5x=5
et donc 5x= ln6 ou encore x= -ln6/5...

Tu fais la révolution dans les mathématiques surtout pour ce qui est en gras

et 5x=ln5 ou x= ln5/5 S= {ln5/5}
la seule solution es ln5/5 car -ln6/5 est négatif.

même remarque...

5/ laprimitive d f(x) est:
F(x)=30x*-5e^-5x= 150xe^-5x
G(x)=5e^5x+x

J'ai un gros doute sur tes primitives... par conséquent pour la suite aussi...
F(x) = 30/(-5) e^-5x + cste = ...
(sachant qu'en dérivant F(x), tu dois retrouver f(x) )... à intégrer entre 0 et 0,5...

See ya.
Duke.