Suite : récurrence, besoin d'aide!

[invite18197405]

j'ai un exercice à faire en 3 parties, dans la première partie on m'a demander d'étudier une fonction :

f définie sur ] - 1/2 ; + infini [ par f(x) = ln(1+2x)

et une 2e fonction g definie sur le même interval et g(x) = f(x) - x
il falait trouver 2 solutions pour g(x) = 0 , les 2 solutions étaient 0 et ß,
et ß appartient a l'interval [ 1 ; 2 ]

Mon problème est dans la 2e partie où on défini une suite (Un) par Un+1 = f (Un) et Uo = 1

j'ai dû démontrer par récurence que Un appartient à ] 0 ; ß [

mais j'ai une deuxieme récurence que je n'arive pas à faire c'est : Montrer par récurence que la suite ( Un ) est croissante.
est-ce que quelqu'un pourai m'aidé à la résoudre car je ne vois pas ce qu'il faut faire ?


et dans la 3e partie de l'exercice je devais montrer que f '(x) était inférieur ou égale a 2/3
puis montrer que l'intégrale de Un à ß de f '(t)dt était inférieure ou égale à 2/3 ( ß - Un )
mais j'arive pas a démontrer que ß - Un+1 est inférieure ou égale à 2/3 ( ß - Un )

pour cette question je suis partie du résultat de la question d'avant j'ai trouvé :
[ f (x) ] entre Un et ß inférieur ou égal a 2/3 ( ß - Un )
ln(1+2ß) - ln(1+2Un) inférieur ou égale à 2/3 ( ß - Un )
ln(1+2ß) - Un+1 inférieur ou égal à 2/3 ( ß -Un )
et après je suis bloquée.

alors je voudrai savoir si quelqu'un pouvait m'aider pour mes 2 problèmes
merci.
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[invitec314d025]

j'ai dû démontrer par récurence que Un appartient à ] 0 ; ß [

mais j'ai une deuxieme récurence que je n'arive pas à faire c'est : Montrer par récurence que la suite ( Un ) est croissante.

Il n'y a pas de récurrence, il suffit d'utiliser le signe de la fonction g sur l'intervalle ] 0 ; ß [.

[invite18197405]

euh jveux bien mais dans l'énoncé c'est écrit qu'il faut que je fasse une récurence, et bon je vois pas comment je peux la faire

[invitec314d025]

Je ne sais pas comment est formulé ton énoncé, mais ça n'a aucun intérêt de faire une récurrence ici. La récurrence c'est bien pour démontrer que Un appartient au bon intervalle, ensuite il suffit de regarder ce que vaut U(n+1)-Un et d'utiliser le signe de g.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite18197405]

dans mon énoncé c'est écrit :
Montrer par récurence que la suite ( Un ) est croissante.

alors j'ai voulu faire la propriété (Pn) : U(n+1) - Un plus grand que 0
apres démontrer que (Po) est vraie donc j'ai fait
f ( Uo ) - Uo
= ln ( 1 + 2*Uo ) - Uo
= ln ( 1 + 2 ) - 1
= ln 3 - 1 qui est plus grand que 0

mais apres j'arive pas a démontrer que la propriété est héréditaire...

[invitec314d025]

dans mon énoncé c'est écrit :
Montrer par récurence que la suite ( Un ) est croissante.

Oublie l'énoncé, c'est une ânerie.
A moins de redémontrer que U(n+1) - Un positif pour tout n entraine (Un) croissante ...

[invite18197405]

ok, je croi que j'ai compris merci

mais par contre tu serais pas comment on passe de

ln(1+2ß) - ln(1+2Un) inférieur ou égale à 2/3 ( ß - Un )
ln(1+2ß) - Un+1 inférieur ou égal à 2/3 ( ß -Un )

à

ß - Un+1 est inférieur ou égal à 2/3 ( ß - Un )

??

[invitec314d025]

Ca ne sert à rien de revenir sans cesse au logarithme. Ta fonction s'appelle f, autant l'utiliser, tes démonstrations seront plus claires.
Et pour ta question : que vaut f(ß) ?

[invite18197405]

oue je vois mais il faut calculé l'intégrale de f '(t) donc sa primitive c'est f (t)
et j'ai f (x) = ln (1+2x)

et donc apres sa me donne f (ß) - f (Un)
mais f (ß) on me le donne pas é je c'est pas si sa fait ß
et j'arrive pas à le calculé car ça fait ln ( 1+2ß ) et je vois pas ou sa mène...

[invitec314d025]

Comment est défini ß ?

[invite18197405]

g(ß) = 0
donc f(ß) - ß = 0
donc f(ß) = ß

ah ok ^^ en fait c'était tout bête lol
merci