Suite récurrence TS

[invitedf2db431]

Voila, j'ai un exercice et il y a quelque point ou j'ai un peu de mal, peut -etre pourriez vous m'aider ?

Donc Soit la suite (Un) définie par Uzero=1/4 et U indice n+1= (2+3 Un)/(4+Un)

1 Observer, garce a votre calculatrice, le comportement des premiers termes de la suite. Peut on formuler une conjecture sur son sens de varieation et sa convergence eventuelle ?

La j'ai déja un petit problème, car j'ai jamais trop su comment mettre une suite sur la calculatrice et encore moins lorsqu'elle est définie par récurrence...

2 a. etudier les variations de la fonction f définie sur [0; + infini [ par f(x)= (2+3x)/(4+x) en déduire uen construction graphique des premiers termes de la suite

j'ai réussi cette question et trouvé que la suite est croissante sur cet interval, par contre je ne comprend pas trop la fin de la question, pour la construction graphique

b. démontrez par récurrence que (Un) est monotone

ca j'ai réussi et montrée que la suite est croissante

3 a. Montrez que la suite (Vn) de terme général Vn= (2+Un)/(1-Un) est une suite géométrique dont on determinera le 1 er terme et la raison

ca aussi j'ai réussi, donc Vn suite géométrique de raison5/2 et de premier terme Vzero=9/3

b. en déduire les variations et la limite d ela suite (Un)

Pour cette question j'aurai besoin d'aide, pour savoir un peu d'ou partir

Merci d'avance
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[pephy]

1)il suffit de programmer le calcul de un+1 en fonction de un en commençant par u0;on obtient:
u1=0,647 u2=0,848 u3=0,9373 u4=0,9746 u5= 0,98979....
2)que donne f(0,25) sur la courbe?

[invitedbff73f8]

bonjour just1
Je suis nouveau sur le forum et je te propose mon aide:

Pour la 1, remplace par la valeur de U0 dans la formule de Un+1 et tu trouveras U1 ensuite tu fais la même chose avec U1 et tu trouveras U2. Récolte ainsi une suite de nombres et essai de trouver une formule générale avec ce que tu connais sur les suites. Aprés il n'ya plus qu'à remplacer les valeurs de n(ou autre variable) par une grande valeur et tu vois vers quel nombre cela tend.
pour la 2 idem que 1 tu remplace x par 1/4 et tu reprends comme x la valeur de f(1/4).

[invitedf2db431]

Ok merci, j'ai enfin réussi à mettre une suite sur ma calculatrice

alors pour la 1, jai donc fait la conjecture qu'elle est croissante et qu'elle converge vers 1.

Quelqu'un a une idée d'ou je peut partir pour la 3 b. ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedf2db431]

Euh sinon pour la 2.en déduire uen construction graphique des premiers termes de la suite

j'ai fait f(1/4)=0,647
f(0,647)=0,848
f(0,848)=0,9373
... Et j'ai reporter ca sur un garphique en mettant en abscisse x et en ordonnées f(x) est ce que c'est ce que la question demande, ou faut il faire autre chsoe ?

[invitef666d0fa]

salut..
pour la b:
essaie d'ecrire u_n en fonction de v_n que tu a déja trouvé ensuite tu calcule la limite (j'ai trouvé 1 ) ;;
les variations tu les conclus de f..
dans ce cas tu peut dire que u_n est majorée par 1
p.s:9/3=3 !!!!!

[invite9c9b9968]

Et ensuite, une fois cela fait, tu te souviens d'un méga théorème que tu as vu (enfin j'espère, sinon tant pis) : une suite croissante et majorée est toujours convergente.

Ensuite, une chose bien à savoir : si u_n converge vers l, u_n+1 converge aussi vers l (dans les deux cas n tend vers l'infini, alors n ou n+1 ça ne change pas grand chose )

Or u_n+1 = f(u_n), donc si f est continue ça signifie que f(l)=l

Ça peut aider pour trouver la limite de la suite

[invitef666d0fa]

Et ensuite, une fois cela fait, tu te souviens d'un méga théorème que tu as vu (enfin j'espère, sinon tant pis) : une suite croissante et majorée est toujours convergente.

Ensuite, une chose bien à savoir : si u_n converge vers l, u_n+1 converge aussi vers l (dans les deux cas n tend vers l'infini, alors n ou n+1 ça ne change pas grand chose )

Or u_n+1 = f(u_n), donc si f est continue ça signifie que f(l)=l

Ça peut aider pour trouver la limite de la suite

salut..
je ne sais pas exactement de quoi tu parle!! moi j'ai calculé la limite de u_n puis je conclus qu'elle est majorée pourquoi tu veut faire le chemin inverse?

[invitedf2db431]

Alors j'ai trouvé Un avec ce que j'avait trouver pour Vn apres un long calcul je trouve:

Un= (3*((5/2)puissance n) -2)/ (4+(5/2)puissance n)


pour les variations, j'ai essayer de calculer Un+1-Un, j'ai un calcul interminable ...

Et sinon pour determiner le limite je sais plus tres bien comment procéder

[invitef666d0fa]

salut..
pr u_n tu devra trouvé :
u_n =(v_n-2) /(v_n+1)
u_n =( 3(5/2)ⁿ -2)/( 3(5/2)ⁿ+1)
tu simplifie u_n=[1-(2/(3(5/2)ⁿ))] /[1+(1/3(5/2)ⁿ))]
et lim de u_n quand n->+l'infini=1.

pour les variations ;je ne voie pas pourquoi calculer u_n+1 -u_n il suffi juste de remarquer que u_n+1= f(u_n) et puisque f est strictement croissante sur [0,+l'infini[ donc u_n l'est aussi..

a+

[invitef666d0fa]

salut..
bon je vien de relire l'enoncé de ton exo; je ne sais pas ou tu l'a trouvé mais en tous cas il n'est pas beau..puisque on demande d'etudier f alors pourquoi introduire v_n ..l'une des question suffisait trés largement,mais bon, j'espere que ta compris la solution

[invite9c9b9968]

salut..
je ne sais pas exactement de quoi tu parle!! moi j'ai calculé la limite de u_n puis je conclus qu'elle est majorée pourquoi tu veut faire le chemin inverse?

Comment as-tu trouvé la limite ?

[invitedf2db431]

ame => comment as tu trouvé ca: un =(vn-2) /(vn+1)


et comment fait tu aussi pour la limite de la suite ?

[invitef666d0fa]

salut ..
et 1000 pardon pr le retard,j'avais un problème de conection..

bon:
pr l'expression de u_n c trés evidant :
v_n=(2+u_n)/(1-u_n) => v_n-v_nu_n-u_n-2=0

et tu continu..
la limite:c déja expliquer

[invite9c9b9968]

Ok j'ai vu ce que tu as fait.

Ma méthode est plus générale, car elle marche même si tu ne connais pas l'expression de u_n en fonction de n explicitement.

Mais elle n'est pas a priori enseignée en TS, plutôt après

[invitedf2db431]

bon:
pr l'expression de u_n c trés evidant :
v_n=(2+u_n)/(1-u_n)

et tu continu..
la limite:c déja expliquer

euh je susi peut etre vraiment nulle, mais je comprend paés du tout la ligne la:

=> v_n-v_nu_n-u_n-2=0


et pour la limite, tu dois juste dire ca:


et lim de un quand n->+l'infini=1.