Suite. Récurrence. Tle S

[invited87d3902]

Voilà, je n'arrive pas du tout à faire ces exercices...
Si vous pouviez m'aider !

Le premier

(Un) est la suite définie par U0=1 et Un+1=Racine carrée de (2 + Un)
pour tout n non nul

1. Démontrez que tout pour n naturel Un est compris entre 0 et 2
2. Prouvez que la suite est strictement croissante

Le deuxième

Démontrez que pour tout entier n supérieur ou égal à 1, il existe deux entier Pn et Qn, tels que

(2+racine carrée de 3)exposant n = Pn + (Qn fois racine carrée de 3)

Donc si vous avez des pistes ou des réponses...
Je suis complétement bolquée !
Merci !
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[invitefa636c3d]

salut ,
pour le premier la récurrence est la bonne idée pour la question 1
je t'aide: tu supposes ta propriété vraie au rang n
-tu montres que c'est vrai pour n=0
-pour l'héredité tu rajoutes d'abord 2 de chaque coté de ta propriété de récurrence ;tu passes à la racine et c'est fini en se "souvenant" que racine de 2 est positif...

pour la question 2;introduis la fonction f défine par f(x)= racine de (x+2) et étudies donc la fonction f(x)-x pour x<2 :tu verras que les choses s'arrangent bien

au fait elle converge cette suite ou pas?

amicalement
jameso

[invite69dafe8b]

le problème 1 est facile :

U0 = 1 et Un+1 = Sqrt(2+Un)

soit F(Un) = Un+1
la suite converge ssi |F'(Un)|<1
F'(Un) = 1/Sqrt(8+4Un) <=1 (si Un >=1)
l'image du domaine par F est inclut au domaine donc la suite converge vers un U inclut au domaine ([0 2])
la suite est strictement croissante car F'(Un) >0 pour tout U appartenant au domaine

voila, ces 3 conditions suffisent

[invited87d3902]

Merci beaucoup vous deux...
Je n'ai pas encore appris la convergence des suites donc j'avoue que je n'ai pas tout compris, mais ce n'est pas grave...
Pour prouvez que la suite est croissance j'ai pris la fonction f(x) = racine carrée (x + 2) et je l'ai dérivé... Ma fonction est croissante, donc je suppose que c'est bon. Mais j'ai quand même un doute !

Pour ce qui est du second probléme, j'ai laissé tomber...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitefa636c3d]

attention il faut regarder le signe de la fonction définie par f(x)= racine (x+2) -x...
n'oublie pas pas le -x

je te rappelle qu'on a posé Un+1=f(Un)... et tu veux le signe de Un+1-Un...

pour l'exo 2 j'ai commencé une récurrence ...mais je ne sais pas si c'est la bonne idée...

jameso

[invitefa636c3d]

ne désespère pas pour l'exo 2: une petite récurrence suffit

supposes donc ta propriété vraie au rang n
-vérifie que ça marche pour n=1
-hérédité:
(2+sqrt(3))^(n+1)=(Pn +sqrt(3)Qn)(2+sqrt(3)) (applique l'hypothèse de récurrence)
=[2Pn + 3Qn] + sqrt(3)[Pn+2Qn] (il faut bien mettre ça dans le bon ordre..)

et voila ta récurrence est finie avec
Pn+1=2Pn+3Qn
Qn+1=Pn+2Qn

sqrt =racine

voila une première proposition ...
amicalement
jameso