DM récurrence Tle S

[invitec55ead07]

Bonjour,
" Soit f définie sur R* par f(x)= 1/x
Conjecturer une formule donnant une expression de la dérivée n-ième de f pour tout entier n supérieur ou égal à 1.
Démontrer cette formule à l'aide d'un raisonnement par récurrence. "

Pour la formule, j'ai trouvé f(x) = 1/x exposant(n)
d'où : on suppose que pour tout entier n, f'(x) = -n/x exp(n+1)
pour n=1, la propriété est vérifiée car f'(x)= -1/x2
On démontre qu'elle est vraie au rang n+1 :
( 1/x exp (p+1))' = - (p+1)/x exp (p+1+1)
= -p-1/x exp(p+2)

Le résultat ne mène à rien ,je ne sais pas comment faire.
Si vous avez des idées ou des pistes, merci.

PS : désolé pour l'écriture des fonctions, mais je ne sais pas me servir de TEX.
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[invite88ef51f0]

Salut,
Ta conjecture est fausse... Bien essayé, mais va falloir retenter ta chance.

Réessaye de dériver 1/x jusqu'à l'ordre 3 (à moduler en fonction de ta motivation).

[invitec55ead07]

C'est quoi qui est faux? ma formule de départ, ou ma démonsrtation?

[invitea8d97425]

La formule de départ. Come l'a dit Coincoin, fait quelques unes des premières dérivées pour avoir une autre idée...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec55ead07]

donc on a f'(x) = -1/x2
f" (x)= 2/x3
f3(x)= -6/x4

mais je n'arrive pas à l'écrire avec n, vous pourriez pas me donner une piste svp ?

[invitea8d97425]

Ben visiblement tu as trois choses :
- un x puissance quelque chose au dénominateur
- un signe qui change
- un entier au numérateur.

Pour la façon dont la première dépend de n, tu devrais t'en sortir.
Pour la deuxième et la troisième, il faut regarder ce que tu rajoutes à chaque dérivation : entier, signe - , et comment. Tu pourras intuiter comme ça une formule de récurrence sur chaque terme, et ensuite tu mets tout en même temps.

[invite4f9b784f]

Oui comme a dit Ithilian, et rappelle toi de la factorielle..