Banque Futura Service

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La cèlebre BFS ( Banque Futura Service) qui repond à toutes les questions de ses utilisateurs fidèles ou non a prevu de recompenser ses meilleurs traiders. Pour cela elle a prevu pour ces 100 meilleurs Traiders des primes Bonus de :
5 k€
100 k€
30 k€

La provision prévue pour ces Bonus est de 1000 000 €

Combien de traiders de la BFS recevront le Bonus de

5 k€, 100 k€ et 30 k€, de façon a utiliser totalement et sans dépassement la provision de 1 000 000 € prévue.
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[Flyingsquirrel]

Bonjour,

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Notons , et le nombre de traders auxquels on verse respectivement 5 k€, 30 k€ et 100 k€. Comme on veut récompenser exactement cent personnes, ces trois nombres vérifient donc .

Pour utiliser l'intégralité des 1000 k€, il faut que , et satisfassent

.

On divise des deux côtés par 5, on remplace par puis on réorganise les termes pour obtenir

Comme et 1800 sont pairs et que 19 est impair, est pair. On pose et l'on remplace dans l'équation pour obtenir, après simplification par 2,

.

La division euclidienne de 900 par 19 donne ce qui nous permet d'écrire l'équation précédente sous la forme

.

19 divise le membre de gauche mais ne divise pas 7 donc il divise et l'on peut poser . De même, 7 divise le membre de droite mais ne divise pas 19 donc on a pour un certain entier (possiblement négatif). En remplaçant ces deux expressions de et dans la dernière équation on obtient et comme est positif ou nul, (et donc ) est, lui aussi, positif ou nul. Or est un nombre inférieur ou égal à 100, la seule valeur possible de est donc . Cela nous donne , et et l'on vérifie bien que

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Bonjour Flyingsquirrel


Bravo vous êtes très fort.

Dommage que je ne dispose pas des Bonus......mais nos modérateurs qui ont un oeil sur nous peut être.......!

[invite22700374]

Il y a une autre solution, si l'on accepte que la prime de 100K€ ne soit qu'illusoire, pour motiver les troupes.

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Dans ce cas, 80 traders recevront la plus faible prime, et 20 recevront la seconde. Bien sûr, aucun ne recevra la meilleure, sans doute que cela ferait trop de jaloux...

[A voir en vidéo sur Futura]

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Il y a une autre solution, si l'on accepte que la prime de 100K€ ne soit qu'illusoire, pour motiver les troupes.

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Dans ce cas, 80 traders recevront la plus faible prime, et 20 recevront la seconde. Bien sûr, aucun ne recevra la meilleure, sans doute que cela ferait trop de jaloux...

Bonjour,
Tu reconnais toi même que cette solution n'est pas satisfaisante... Désolé

[Flyingsquirrel]

Il y a une autre solution, si l'on accepte que la prime de 100K€ ne soit qu'illusoire, pour motiver les troupes.

Bien vu, ça m'a permis de trouver une erreur dans ma première réponse (je ne savais pas qu'il fallait absolument que les trois types de bonus soient distribués et ma solution aurait dû donner plutôt trop de solutions que pas assez ; elle n'aurait pas dû en rater une).

Version corrigée :

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(L'erreur corrigée est en rouge, j'ai dû légèrement modifier la fin de la démonstration)

Notons , et le nombre de traders auxquels on verse respectivement 5 k€, 30 k€ et 100 k€. Comme on veut récompenser exactement cent personnes, ces trois nombres vérifient donc .

Pour utiliser l'intégralité des 1000 k€, il faut que , et satisfassent

.

On divise des deux côtés par 5, on remplace par puis on réorganise les termes pour obtenir

Comme et 1800 sont pairs et que 19 est impair, est pair. On pose et l'on remplace dans l'équation pour obtenir, après simplification par 2,

.

La division euclidienne de 900 par 19 donne ce qui nous permet d'écrire l'équation précédente sous la forme

.

19 divise le membre de gauche mais ne divise pas 7 donc il divise et l'on peut poser . De même, 7 divise le membre de droite mais ne divise pas 19 donc on a pour un certain entier (possiblement négatif). En remplaçant ces deux expressions de et dans la dernière équation on obtient n''=-p' et comme est positif ou nul, on a et donc . Or le nombre

est positif ou nul on a donc et les deux seuls valeurs possibles de sont -1 et 0. On obtient alors deux solutions : (pour ) et (pour mais refusée par calculair car ) et l'on peut vérifier que dans chaque cas .

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Bonjour,

La solution ou un des bonus n'est pas distribuée, est une solution degradée du point de vu arthimètique, et non conforme à la DRH de BFS

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bonjour,

n le nb de traiders devant avoir un bonus de 50 k€
P le nb de traiders devant avoir un bonus de 100 K€
q le nb de traiders devant avoir un bonus de 30 k€

Le problème à 3 inconnues doit être resolu avec les 2 equations suivantes

n+ P + q = 100 ( A )

5 n +100 P + 30 q = 1000 en k€

en divisant par 10 et en multipliant par 2 les 2 membres de cette equation
n + 20 p + 6 q = 200

en retranchant A membre à membre

19 P + 5 q = 100

100 est multiple de 5 et pour que 19 P le soit aussi, P = 5, la valeur P=10 est trop grande

SI p = 5 alors 19 P = 95 ce qui implique que q = 1


Cette presentation est inspirée de la solution presentée par Flyingsquirrel , mais peut être un peu plus simple a expliquer.....