Pourvu quelle n'est pas ete posee ! (des fourmis...)

[invite2b662c2b]

Bonjour,
Cette enigme parle de fourmis, une race particuliere car ponctuel (dans les deux sens du terme), n d'entre elles se baladent sur un baton d'un metre elle vont toute a la meme vitesse se deplacent dans la direction du baton et des que deux se rencontre elle font demi tour, mais arriver au bout du baton elle se casse la figure. Question : quelle est la longueur max que peut parcourrir une fourmi en fonction de n, et comment les disposer.
Je vous souhaite a tous une joyeuse enigme en esperant que vous ne la connaissiez pas...
Claire
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[invite87b15134]

Salut!!!!Sacrément difficile!!!mais ça occupe mes cours de maths....
Alors, j'ai l'impression que je suis dans la bonne voie mais aussi que je n'y suis pas tout à fait....
Donc déjà j'appelle:
F, la fourmi qui effectue la distance max parmi les autres.
D, la distance parcourue par F en fonction de n.
Je trouve D=1-1/n et lim(D)=1 lorsque n tend vers l'infini...(j'aimerai mettre tout ça en écriture mathématique mais mes piètres connaissances informatiques ne me le permettent pas)...Ainsi la distance maximum parcourue par F s'approche de 1 lorsque n tend vers l'infini..
Maintenant, la disposition..Et c'est pour moi le plus dure!!!
Alors déjà je définie l'origine du bâton à gauche...
Je dispose les fourmis tout les 1/n. F est la médiane (arrondi à l'entier inférieur évidemment)..je les places toutes de telle sorte à qu'elles aillent vers la droite, seul F va vers la gauche (hormis lorsqu'elle est seule). Et à partir de n=4, le 3ème quartile (arrondi à l'entier inférieur) va dans le même sens que F.

[invite87b15134]

F est la médiane (arrondi

Oups désolé pour la faute d'orthographe, je déteste en faire!!!

[invite87b15134]

Sympa ton titre bourré de fautes d'orthographe lol!!!!
Moi j'aurais mis :"énigne fourmidablement dure"....
Eh sinon on pourrais mettre une reine des fourmis à chaque bout du bâton qui les empêcherait de passer et elle ferait tout le temps demi-tour???La distance parcourue s'arrêterait lorsqu'elles meurent de faim...
A+, GA

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec314d025]

A vue de nez j'aurais tendance à dire que la distance maximale est toujours 1. Si c'est ça il doit y avoir une astuce pour le montrer facilement.

[invitebf65f07b]

qu'importe n, la réponse est au moins 1.

En effet, si toutes les fourmies vont dans le même sens, vers la droite par exemple, alors celle la plus à gauche parcourt le baton entier si on la place sur l'extrémité gauche. elle parcourt ainsi un mètre.

reste à voir si on peut faire mieux...

[invitebf65f07b]

bon maintenant qu'on a minoré, reste plus qu'à majorer
là ça été plus dur...
comme l'a dit tiguépard, l'énigme est difficile, alors j'en fait une plus facile.

2 fourmis qui se rencontrent et qui font demi-tour, c'est pareil que de donner un compteur à chaque fourmi, qu'elles s'échangeraient en se croisant alors qu'elles continuraient chacune dans leur même direction. Essayez de bien voir la situation, les fourmis vont toujours tout droit mais les compteurs, eux, font demi-tour à chaque "collision".

encore une remarque : les fourmis se ballade à vitesse constante donc on peut même remplacer les compteurs par des chronomètres.

Voilà donc le nouveau problème, équivalent au premier, dans les conditions décrites au dessus, quel est le temps maximum que peut afficher un chronomètre, comment faut-il placer les fourmis sur le baton pour y parvenir ?

le plus grand temps correspond au moment où la dernière fourmi tombe du baton, or les fourmis se contentent d'aller tout droit, quoi qu'il arrive, donc une fourmi reste au plus le temps de parcourir entièrement le baton !
ce temps correspond à la longueur du baton, il n'est donc pas possible de faire un parcourt de plus d'un mètre.

la solution est donc bien 1 mètre, comme l'avait préssentit matthias, psychologue hors pair .

juste une question à Denoby :

une race particuliere car ponctuel (dans les deux sens du terme)

c'était un indice pour le coup des chronomètre, ou bien je fabulle complètement ???

[invite2b662c2b]

Tous d'abord je tiens a m'excuser pour mon orthographe actuellement en stage a l'etranger je n'aie malheureusement plus de correcteur ni meme d'accent (qwerty si vous connessez les racourci je suis interresse), je me relie plusieur fois mais ayant une legere dyslexie j'avoue que je dois en laisser passer pas mal...

Pour l'indice ce n'etais pas vraiment un indice plus un clin d'oeil au fait qu'elle aye toute a la meme vitesse et quelle tombe au bon moment .

Je me demande s'il y en a qui l'on resolu autrement...

[inviteeecca5b6]

on sait qu'elles vont a la meme vitesse, mais partent-elles toutes en meme temps ?

[invite2b662c2b]

oui elles partent toutes en meme temps. Desole de mal avoir formule mon enigme

[invitebf65f07b]

bonjour Denoby,

en y repensant, je suis arrivé à une autre manière de majorer le parcours maximum. Cette méthode est plus visuelle et permet de voir qu'au fond ce qui se passe n'est pas si compliqué, même avec beaucoup de fourmis. En plus on voit apparaître les conditions minimales de la configuration initiale des fourmis donnant une distance maximum, ce qui n'était pas clair dans ma première méthode.

Il "suffit" en fait de regarder les fourmis dans leur "espace-temps" (dit comme ça, ça en jette ), qui n'a que 2 dimensions : une abcisse et le temps.
Cela donne un diagramme (voir la figure) assez simple puisque ce n'est que l'intersection de quelques droites obliques (une par fourmi).
Quelques considérations géométriques laisseront chacun se convaincre que la distance parcourue par une fourmi avant de tomber du baton est identique à celle du segment sur lequel elle finit son parcours (j'espère que la figure est assez clair...).

En définitive, on constate que les fourmis ne peuvent pas parcourir une distance supérieure à celle du baton et que pour que ce maximum soit atteint, il suffit qu'une des fourmis parte d'une extrémité du baton en direction de l'autre.

Encore merci Denoby pour cette énigme que je trouve assez jolie...

[invite2b662c2b]

Je trouve ca tres jolie

[invitebf65f07b]

alors, une préférence ?
encore que ce soit fondamentalement toujours la même chose qui face marcher l'affaire...

[invite2b662c2b]

Pas de preference, les deux methodes ont toute les deux leur cote sympathique.