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Les douze pièces, et plus.



  1. #1
    louloute/Qc

    Les douze pièces, et plus.


    ------

    Bonjour,

    J’imagine que tout le monde connaît les deux solutions au problème des douze pièces, à tout hasard je rappelle l’énoncé :

    • Vous avez douze pièces de monnaie dont une seule est fausse
    • La pièce fausse est soit plus lourde, soit plus légère
    • Vous disposez d’une balance Roberval et vous n’avez droit qu’à trois pesées

    Vous devez déterminer quelle pièce est fausse et si elle est plus lourde ou plus légère.

    Donc pour ceux qui connaissent. La question subsidiaire : si on avait droit à 4 pesées, parmi combien de pièces pourrait-on trouver la fausse ; pour 5 pesées, 6…

    -----
    男人不坏,女人不爱

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  3. #2
    PPathfindeRR

    Re : Les douze pièces, et plus.

    Bonjour,

    pour 6 pesées, je pense que la réponse est simple, mais avec 4 ou 5 pesées, je ne sais pas trop !

     Cliquez pour afficher
    « Un problème sans solutions est un problème mal posé ! » Albert Einstein.

  4. #3
    PPathfindeRR

    Re : Les douze pièces, et plus.

    Si ma réponse est incomprise, c'est en fonction de ma solution pour l'énigme originale, qui dans ce cas serait fausse.

    je vous met donc ma solution de l'énigme originale (qui pour moi est logique) :
    Fichiers attachés Fichiers attachés
    Dernière modification par PPathfindeRR ; 24/02/2014 à 18h51.
    « Un problème sans solutions est un problème mal posé ! » Albert Einstein.

  5. #4
    Amanuensis

    Re : Les douze pièces, et plus.

    12 = (27-1)/2 - 1

    Notons qu'on peut améliorer un tout petit peu l'énoncé:

    • Vous avez douze pièces de monnaie dont au maximum une seule est fausse

    Vous devez déterminer s'il y a une pièce fausse, et si oui quelle pièce est fausse et si elle est plus lourde ou plus légère.
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Amanuensis

    Re : Les douze pièces, et plus.

    Citation Envoyé par PPathfindeRR Voir le message
    je vous met donc ma solution de l'énigme originale (qui pour moi est logique) :
    Il y a une solution sans pesée conditionnelle: les trois pesées sont décrites avant la première pesée, et le résultat une fonction univoque du résultat des trois pesées. Pour moi c'est "plus logique".
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  8. #6
    PPathfindeRR

    Re : Les douze pièces, et plus.

    Citation Envoyé par Amanuensis Voir le message
    Il y a une solution sans pesée conditionnelle: les trois pesées sont décrites avant la première pesée, et le résultat une fonction univoque du résultat des trois pesées. Pour moi c'est "plus logique".
    Bah ce n'est pas ce que je fais dans mes deux solutions ?!

    Pour ma part je détermine les deux pesée suivante en fonction du résultat de la première.
    Je peux donc décrire les trois pesées (différentes selon pesée initiale) avant d'effectuer la première pesée.

    les trois pesées sont décrites avant la première pesée "effectuée"

    Dans un cas d'équilibre je détermine les 2 pesées suivantes
    Dans un cas de déséquilibre je détermine les 2 pesées suivantes différentes.
    Les billes peuvent être dans le désordre, mais le principe de sélection des billes pour la deuxième pesée reste le même.
    D'ailleurs, refaire ce même principe avec les billes numérotée dans le désordre, permet de contrôler la bonne logique de la procédure.
    « Un problème sans solutions est un problème mal posé ! » Albert Einstein.

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  10. #7
    Médiat

    Re : Les douze pièces, et plus.

    Bonjour,

    J'avais écrit cela il y a plus de 7 ans (je ne l'ai pas relu) :
    Fichiers attachés Fichiers attachés
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  11. #8
    louloute/Qc

    Re : Les douze pièces, et plus.

    Bravo à PPathfindeRR pour la solution essai-erreur et à Médiat pour la généralisation.

    Pour la solution sans essai : mes pièces s'apellent 1,2...9, A, B, C.

    12_Pièces_2.jpg
    男人不坏,女人不爱

  12. #9
    Amanuensis

    Re : Les douze pièces, et plus.

    Citation Envoyé par PPathfindeRR Voir le message
    Bah ce n'est pas ce que je fais dans mes deux solutions ?!

    Pour ma part je détermine les deux pesée suivante en fonction du résultat de la première.
    La deuxième phrase indique que la réponse à la question est non.
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  13. #10
    Amanuensis

    Re : Les douze pièces, et plus.

    Un exemple de trois pesées indiquées à l'avance, indépendantes de tout résultat:

    3 4 10 9 vs. 6 7 12 1
    7 11 1 9 vs. 8 10 12 2
    5 8 1 9 vs. 4 6 7 2

    (Ce n'est pas généré au hasard ou par essais et erreurs, mais par une méthode systématique applicable à tout nombre de pesées. La solution est applicable au "problème complet"--1 bille de bon poids disponible et possibilité que toutes les billes soient bonnes.)
    Dernière modification par Amanuensis ; 25/02/2014 à 06h52.
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  14. #11
    Amanuensis

    Re : Les douze pièces, et plus.

    Par ailleurs, toutes les réponses sont sur le forum depuis des années. La plus ancienne "complète" dans mes notes personnelles est de fin novembre 2005.
    Dernière modification par Amanuensis ; 25/02/2014 à 06h59.
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  15. #12
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Les douze pièces, et plus.

    ps : @pathfinder :
    ta solution à 6 tirages est perfectible, tu peux en sélectionner beaucoup plus ( 364 )
    ( voir le post d'Amanuensis qui donne implicitement la formule pour n tirages, et la démonstration complète de Médiat )
    avec 4 tirages, on peut tirer déjà 40 boules..
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

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  17. #13
    Amanuensis

    Re : Les douze pièces, et plus.

    Citation Envoyé par louloute/Qc Voir le message
    Pour la solution sans essai : mes pièces s'apellent 1,2...9, A, B, C.
    Oops... J'avais manqué ce message. Désolé pour le "doublon".
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  18. #14
    PPathfindeRR

    Re : Les douze pièces, et plus.

    Citation Envoyé par ansset
    ta solution à 6 tirages est perfectible, tu peux en sélectionner beaucoup plus ( 364 )
    ( voir le post d'Amanuensis qui donne implicitement la formule pour n tirages, et la démonstration complète de Médiat )
    avec 4 tirages, on peut tirer déjà 40 boules..
    et plus encore, effectivement !

    Citation Envoyé par Amanuensis
    Par ailleurs, toutes les réponses sont sur le forum depuis des années. La plus ancienne "complète" dans mes notes personnelles est de fin novembre 2005.
    Je n'y ai pas pensé et.....
    je suis parmi vous que depuis 2013 !
    c'est pas une excuse ? je sais !

    par contre j'ai du mal à comprendre votre procédé pour la solution de l'énigme originale
    Dernière modification par obi76 ; 25/02/2014 à 15h35. Motif: Auteur citation
    « Un problème sans solutions est un problème mal posé ! » Albert Einstein.

  19. #15
    Amanuensis

    Re : Les douze pièces, et plus.

    Citation Envoyé par PPathfindeRR Voir le message
    Je n'y ai pas pensé et.....
    je suis parmi vous que depuis 2013 !
    c'est pas une excuse ? je sais !
    Pas besoin d'excuse.

    C'est plutôt le contraire: perso je pense qu'il faut limiter les références à des discussions et textes anciens (publiés sur ce forum ou ailleurs), du moins au début d'un nouveau fil d'énigme. Ce pour laisser les "nouveaux" chercher et discuter par eux-mêmes, au minimum jusqu'à ce qu'une réponse valide ait été donnée à l'énigme telle que posée.
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  20. #16
    Sund

    Lightbulb Re : Les douze pièces, et plus.

    Ça m'a pris trois jours, mais j'ai trouvé la solution pour un nombre quelconque de pesées !
    En plus la démonstration fournit un algorithme pour déterminer les pesées ! C'est assez informel (mon prof de maths me taperait sur les doigts si j'en avais un, mais ça marche.
    Hop :
     Cliquez pour afficher

    Prière de corriger s'il y a un oubli dans la rédaction, j'en fais souvent.

  21. #17
    Sund

    Re : Les douze pièces, et plus.

    Il y a une petite erreur dans la fin de mon article précédent : il faut lire "moins de deux peséeS pour tous les entiers inférieurs ou égaux à 9", pas a 10.
    Dans les notations logiques, ^ veut dire "et", dans la formule finale, il signifie "exposant".
    Voilà.
    Dernière modification par Sund ; 28/06/2014 à 00h07.

  22. #18
    Médiat

    Re : Les douze pièces, et plus.

    Bonjour,

    Citation Envoyé par Sund Voir le message

    On place E1 sur le plateau de droite et E2 sur celui de gauche. Si la balance penche d'un cote la fausse pièce est de ce côté
    Non puisque l'énoncé précise :
    La pièce fausse est soit plus lourde, soit plus légère
    Vous pouvez regarder là : http://forums.futura-sciences.com/sc...ml#post4772799
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

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  24. #19
    Sund

    Re : Les douze pièces, et plus.

    Quand je disais que j'étais tête en l'air...
    Bon, si on sait que la fausse pièce est plus lourde, la démonstration marche. Il faut juste savoir en combien de pesées supplémentaires on déterminé SI elle est plus lourde ou plus légère. Je m'y remets immédiatement. Merci pour la correction.

  25. #20
    Médiat

    Re : Les douze pièces, et plus.

    C'est toujours intéressant de chercher, mais les solutions sont déjà sur ce fil.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  26. #21
    Sund

    Re : Les douze pièces, et plus.

    Est-ce qu'on a le droit de marquer les pièces ? Ça accélère grandement la vitesse de résolution, parce que ça évite une redondance dans les cas ou on a des nombres de pièces impaires. L'énoncé ne précise pas "vous n'avez qu'une balance et rien d'autre". Dans le doute je résouds sans marquer les pièces.

  27. #22
    Médiat

    Re : Les douze pièces, et plus.

    Bonjour,

    Je poste ci-dessous quelques démonstrations et surtout une méthode qui permet de déterminer directement, et a priori, les pesées à mettre en place pour déterminer la boule ne faisant pas le bon poids.

    Je serais surpris qu'aucune faute ne soit présente dans ce document, merci de le critiquer, en particulier si certains passages ne sont pas clairs, je peux développer.
    Fichiers attachés Fichiers attachés
    Dernière modification par Médiat ; 11/07/2014 à 12h12.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  28. #23
    Amanuensis

    Re : Les douze pièces, et plus.

    Cela à l'air d'être ce qui a été décrit dans un fil ancien, novembre 2005 sauf erreur.
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  29. #24
    Médiat

    Re : Les douze pièces, et plus.

    Peut-être, je n'étais pas né.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

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  31. #25
    Amanuensis

    Re : Les douze pièces, et plus.

    Cela est resté lisible depuis, à disposition de tout le monde, et donné en lien plusieurs fois il me semble.

    Au passage je serais intéressé à savoir s'il y a eu une publication de cette solution constructive utilisant la base 3 alternée avant que cela apparaisse sur ce fil à cette époque.
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  32. #26
    LPFR

    Re : Les douze pièces, et plus.

    Bonjour.
    Je ne me suis pas tapé toutes les discussions sur ce problème et ne sais pas si quelqu’un a déjà donné l’approche par la théorie de l’information.
    Je vous la donne car je l’ai trouvé très intéressante.
    Elle ne donne pas la manière de résoudre le problème, mais donne le nombre de pesées minimal.
    Le nombre de cas possibles est de 24. Donc, le nombre de bits d’information est
    log2 24 = 4,585 bits.
    Comme chaque pesée peut donner 3 résultats, le nombre de bits d’information que chaque pesée peut donner est de log2 3 = 1,585 bits.
    Donc, avec 3 pesées cela devrait suffire. Mais, attention, le nombre de bits d’information d’une pesée n’est de 1,585 que si les trois issues sont équiprobables.
    Cela ne donne pas la solution, mais suggère que la première pesée doit comparer 4 pièces à 4 autres.
    J’ai trouvé ça dans le petit bouquin (100 pages) « Théorie de l’Information » de Gordon Raisbeck
    Au revoir.

  33. #27
    Médiat

    Re : Les douze pièces, et plus.

    Bonjour LPFR,

    Ce qui me dérange avec cette méthode c'est que pour 2 boules la réponse est fausse (en 2 pesées on ne peut pas), et pour1 boule aussi c'est faux.

    D'ailleurs pour 4 boules la réponse est aussi fausse, je pense donc que cela ne répond pas à la question, mais plutôt à la même question mais en disposant de boules supplémentaires connues comme "normales".
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  34. #28
    LPFR

    Re : Les douze pièces, et plus.

    Bonjour Mediat.
    Vous avez oublié un autre cas pour lequel le calcul est faux ou ne s’applique pas : c’est le cas pour zéro pièces. (Pour moi ça rentre dans la même catégorie que 1 ou 2)

    Par contre, pour le cas de 4 pièces, le calcul est bon : deux pesées. Et la solution facile à trouver :
    - on compare A et B
    - si A = B c’est C ou D qui est fausse. Alors on compare A et C.
    - si A ≠ B c’est A ou B qui est fausse. Alors on compare A et C.

    Ceci dit, j’ai parlé de cette approche car elle m’avait beaucoup surpris et plu quand je l’ai lue (il y a plusieurs décennies). Et le petit bouquin remplace très avantageusement un polar pour les vacances. Je vous le recommande.
    http://www.amazon.fr/THEORIE-LINFORM...ordon+Raisbeck
    Au revoir.

  35. #29
    Médiat

    Re : Les douze pièces, et plus.

    Citation Envoyé par LPFR Voir le message
    Par contre, pour le cas de 4 pièces, le calcul est bon : deux pesées. Et la solution facile à trouver :
    Ce n'est pas la même question, car cela ne permet pas de savoir si la pièce est plus lourde ou plus légère :

    Vous devez déterminer quelle pièce est fausse et si elle est plus lourde ou plus légère.
    Et cela reste faux pour 1 ou 2 pièces.

    Le calcul revient à dire que pour pièces il y a solutions, et chaque pesée ne peut donner que 3 informations, on doit donc avoir ce qui donne bien (quelque soit la base du logarithme, le résultat est le même), mais cela donne une borne inférieure, pas une solution (d'ailleurs je me sers de ce résultat dans mon document).
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  36. #30
    Sund

    Re : Les douze pièces, et plus.

    Bonjour. Est-ce que vous saviez que sans numéroter les pièces il est impossible de trouver la fausse parmi 12 pièces, et que 11 est le nombre maximum parmi lequel on peut la trouver ? Il est toutefois impossible pour 11 pièces de trouver si elle est plus lourde ou plus légère. Le maximum avec 3 pesées en respectant l'énoncé est 10.
    Oui je suis un peu HS. Mais c'est toujours bon à savoir, non ? Je propose une autres énigme : trouver le nombre maximum de pièces parmi lesquelles on peut trouver la fausse en moins de n pesées sans qu'on ait le droit de numéroter les pièces.

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