Jouez au Bingo.

[azad]

Jouez au bingo !
Jeu qui devrait amuser certains de nos lecteurs.
Pour cela une feuille (pour débuter) de papier quadrillé, et un crayon.
Vous commencez par dessiner dans le coin supérieur gauche un 1 dans case la plus haute et la plus à gauche de la feuille.
Pour débuter, un peu d'imagination s'impose mais la suite deviendra de plus en plus claire.
Dans ce qui suit j'appelle "deuxième diagonale" (SG) la diagonale partant du coin supérieur droit du carré et aboutissant au coin inférieur gauche. Comme on l'appelait jadis quand on faisait du calcul matriciel (peut-être encore de nos jours , je ne sais..)
Vous commencez donc à considérer ce 1 comme étant un point d'un carré de coté 1 et dont la deuxième diagonale n'a qu'un seul élément : un 1 précisément.
Deuxième étape : à droite de ce 1 tout seul vous rajoutez une colonne contenant l'élément trouvé dans cette fameuse SG. en l' occurrence un 1 tout seul et sous le 1 initial une ligne contenant l' élément de la SG. (la même chose, en fait)
La suite va être plus claire.
Nous avons donc actuellement deux carrés.
1

et

1 1
1

a chaque fois que vous rajoutez une nouvelle colonne et une nouvelle ligne, vous faites Bingo si la colonne et la ligne ne comportent que des éléments (1) ensuite avant de passer à l'étape suivante vous complétez le graphisme en rajoutant un zéro pour achever le carré. Voici la suite :

1 1
1 0

ici, encore étape 3 la SG ne comporte que des 1. Vous faites donc
1 1 1
1 0 1
1 1
Comme dans cette troisième étape vous n'avez rajouté que des 1 en colonne et en ligne…. encore Bingo. Vous complétez le carré avec un 0
1 1 1
1 0 1
1 1 0
Etape 4.
1 1 1 1
1 0 1 0
1 1 0 1
1 0 1
Cette fois la colonne et la ligne ajoutée compote un zéro. Pas de Bingo. Vous complétez avec le zéro en bas de la SG
1 1 1 1
1 0 1 0
1 1 0 1
1 0 1 0
Etape 5. La SG n'a que des 1, vous ajoutez une nouvelle colonne et un nouvelle ligne n'ayant que des 1. Bingo. Et toujours, vous complétez avec le 0 en bas et à droite.
1 1 1 1 1
1 0 1 0 1
1 1 0 1 1
1 0 1 0 1
1 1 1 1 0
Je vous laisse continuer. Remarquez tout de même que seules les étapes 1, 2, 3 et 5 n'ont donné Bingo comme résultat. Rien ne vous empêche de remplacer le mot Bingo, un peu trivial par le mot Premier, qui l'est un peu moins.
Tout le monde connaît le fameux polynôme dû à Euler n^2 + n +41 qui ne donne que des nombres premiers pour tout n inférieur à 40.
Si vous êtes courageux, vous constaterez que la construction donnée ici, va bien au delà de cette limite 40. En fait je ne l'ai pas encore trouvée cette limite, mais je suppose qu'elle existe.
Pour cela j'ai écris un programme qui génère tous les carrés (seulement en mémoire, sans les dessiner, faute de place ou de lisibilité) et jusqu'à 10 000 cela fonctionne. Ensuite le temps de génération d'un carré m'a rebuté.
Histoire.
Je ne sais pas si cela est connu. J'ai découvert cet amusement il y a environ trois ans sur un forum. L'auteur le décrivait en termes un peu abscons et de son propre aveu, ignorait si cela avait un quelconque intérêt. Je m'y était intéressé quelques temps, avait écris mon programme et puis je l'avais oublié. C'est par hasard, en faisant le ménage de printemps de mon serveur que je l'ai retrouvé et décidé de vous en faire part. L'auteur portait le pseudo "LeGenie", s'il passe par ici, qu'il soit remercié et accepte de retrouver la paternité de sa trouvaille.
Qu'en pensez vous ?
Petit conseil, si vous ne vous sentez pas assez courageux pour écrire votre propre programme de génération, et dépasser le cap des carrés de 10 000 X 10 000, je vous conseille une macro sous Excel .
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[Médiat]

Bonjour,

Une variante du crible d'Eratosthène ?

[azad]

Non, aucun rapport. Le crible d'Erastosthène même s'il est purement "mécanique" procède selon une méthode que la raison appréhende immédiatement et trouve donc correcte.
Ici, il en va tout autrement. On voit apparaître un nombre premier une étape avant qu'il ne devienne effectivement trouvé et surtout, on ne se livre à aucun calcul (fût-il implicite) : la diagonale ne comporte que des 1 alors l'étape est matérialisée par un nombre Bingo, pardon : premier. Et si vous regardez un carré formé après n étapes, vous voyez de suite quels sont les nombres premiers inférieurs à n. Cela a lieu simplement quand la colonne (ou la ligne) p formée à l'étape p comporte (p-1) fois le nombre 1. Notez, mais c'est juste amusant, que l'étape 1 permettrait presque de voir que selon la nouvelle définition, 1 n'est pas premier.
Ce qu'il faudrait trouver maintenant c'est la méthode permettant de se passer de la récurrence, c'est à dire le moyen de dessiner le carré de l'étape N sans passer par les étapes intermédiaires.
Je verrais bien une fonction avec une ribambelle de ∑ et des indices de sommation…. mais je ne sais pas l'écrire quand N devient grand.

[invite51d17075]

Vraiment fascinant et intéressant,
Moi qui n’aime pas les raviolis .

[A voir en vidéo sur Futura]

[azad]

A tout hasard, initialement l'auteur avait choisi des cercles remplis en guise de 1 et des espaces à la place des zéros. N'allez pas divaguer sur le coté "binaire" de mon écriture. La voie binaire me semble stérile.

[invite51d17075]

Oui, c’est évident, on prend prendre n’importe quel symbole.
Et je ne divague pas , je navigue ( voile ).

[Médiat]

Non, aucun rapport.

Pourtant, il me semble bien que :
sur la ligne (resp. colonne) 2 il y a un 0 toutes les 2 colonnes (resp. lignes)
sur la ligne (resp. colonne) 3 il y a un 0 toutes les 3 colonnes (resp. lignes)

etc.

Et j'ai même l'impression que cela ne doit pas être compliqué à démontrer (sur la ligne 2 la diagonale est à (-2 colonnes), sur la ligne 3 elles est à (-3 colonnes) etc.), ce ressemble donc bien au crible d'Eratosthène.

[azad]

Oui, mais l'analogie semble s'arrêter là. Bien que, tu as peut-être raison, je ne me suis pas méfié de ce vieil Erastosthène . Cependant ce que tu signales est normal, puisque par construction, c'est quand un nombre est premier que la seconde diagonale n'étant formée que de 1 on ajoute une ligne et une colonne de 1 en nombre égal au nombre premier trouvé - 1. Il est ainsi certain que par exemple à la 29eme étape nous aurons une ligne (et une colonne) formée de 28 fois 1 suivis par un zéro. Tiens, je vous envoie les étapes 9, 10 et 11.

La 9

1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 0 1 0 1 0 1 0 1
1 1 0 1 1 0 1 1 0
1 0 1 0 1 0 1 0 1
1 1 1 1 0 1 1 1 1
1 0 0 0 1 0 1 0 0
1 1 1 1 1 1 0 1 1
1 0 1 0 1 0 1 0 1
1 1 0 1 1 0 1 1 0


la 10

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
1 1 0 1 1 0 1 1 0 1
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
1 1 1 1 0 1 1 1 1 0
1 0 0 0 1 0 1 0 0 0
1 1 1 1 1 1 0 1 1 1
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
1 1 0 1 1 0 1 1 0 1
1 0 1 0 0 0 1 0 1 0


et la 11 (premier)


1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1
1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1
1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1
1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0


Et puis quand bien même cela serait le crible d' Erastosthène réécrit j'aimerais bien connaître le rapport entre ces écritures bien éloignées l'une de l'autre. Et pourquoi le résultat apparît dans la diagonale ?
Et autre chose, si vous faites cela avec excel et des cellules parfaitement carrées et remplies de blanc ou de noir, vous verrez apparaître des motifs assez séduisants.
Avec les 0 et les 1 cela ne ce voit pas puisque le carré ressemble de plus en plus à un rectangle.

[Médiat]

Oui, mais l'analogie semble s'arrêter là.

C'est bien plus qu'une analogie : c'est le crible d'Eratosthène, présenté d'une façon peu économique, mais originale et amusante

[azad]

Mais ne va te méprendre, je ne prétend pas que ceci soit une invention remarquable. Invention, dont je ne prétend d'ailleurs pas être l'auteur.
Ce qui me pose problème c'est que nulle part cette représentation ne cherche à éliminer les multiples différents d'un nombre donné. Que vous le vouliez ou non, il est clair qu' Erastosthène savait parler et savait ce qu'était un nombre ainsi que ses multiples, or nulle part même en exagérant un peu, on utilise ici la notion même de nombre. Avant même que l'écriture (et la notion de nombre) ne soit inventée, un homme pré-pré-préhistorique aurait pu sur les parois de sa caverne faire ce genre de dessins. Ou sur du sable avec des cailloux blancs et noirs.
Voilà, ce qui m'interpelle.
En outre cette présentation je n'ai pas pu la trouver sur Internet, si quelqu'un trouve quelque chose, qu'il ait la gentillesse de donner le lien ici même. Je sors tout juste d'un blog dédié à Erastosthène et la seule chose que j'y ai trouvé, c'est une allusion au jeu du Bingo. Ce qui m'a fait sourire ayant utilisé ce mot, moi-même, tout à fait par hasard.
En bref, c'est l'explication que je recherche, rien de plus.
Voilà, en toute amitié.