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Carré magique



  1. #1
    frederic46000

    Carré magique


    ------

    Bonjour,

    Carré magique de 3 X 3
    A B C
    D E F
    G H I

    S=A+B+C
    S=D+E+F
    S=G+H+I
    S=A+D+G
    S=B+E+H
    S=C+F+I
    S=A+E+I
    S=C+E+G

    Soit 8 équations à 9 inconnues

    J'ai trouvé et je m'amuse depuis 1979 avec l'équation manquante
    qui me permet de résoudre tous les carrés magiques.

    Y a t il quelqu'un d'intéresser par la solution ?
    Ou la solution existe t elle déjà ?

    merci de vos réponses.

    -----

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  3. #2
    noureddine2

    Re : Carré magique

    Citation Envoyé par frederic46000 Voir le message
    Bonjour,

    Carré magique de 3 X 3
    .
    salut , dans le lien http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgv...ag/CMDebut.htm
    je vois que S = 15
    et la somme : A+B+C+D+E+F+G+H+I = 45 doit être l'équation n°9

  4. #3
    frederic46000

    Re : Carré magique

    Bien essayé mais il y a plus simple

    OK je donne la réponse S=3E
    Ce qui permet de trouver les autres équations qui permettent de résoudre
    Tous les carrés très facilement.

    Exemple :
    Trouver la fin d'un carré à partir de 2 valeurs
    A = 8
    F= 11
    Utiliser seulement l'ensemble Z (entiers relatifs)

  5. #4
    noureddine2

    Re : Carré magique

    Citation Envoyé par frederic46000 Voir le message

    OK je donne la réponse S=3E
    A = 8
    F= 11
    Utiliser seulement l'ensemble Z (entiers relatifs)
    salut , il y a un exemple dans le lien http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgv...g/CMordre3.htm
    FORME GÉNÉRIQUE
    des carrés magiques d'ordre 3


    Formules simples
    m – 1 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,, m + 4 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,, m – 3
    m – 2 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,, m ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,, m + 2
    m + 3 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,, m – 4 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,, m + 1

    M est l'élément central et 3m est la somme magique
    les éléments de la couronne sont symétriques par rapport au centre.

    Formules générales dues à Édouard Lucas

    a + b ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, a – b – c ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,, a + c
    a – b + c ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, a ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,, a + b – c
    a – c ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, a + b + c ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,, a – b
    Voir Démonstration

    Pour toutes les valeurs de a, b et c, ce carré est magique.
    Remarque: avec a, b et c quelconque, on n'est pas assuré d'avoir des nombres différents ou consécutifs.

    La constante magique est 3a. Voyez la colonne centrale.

    Notez que tous les termes du carré sont symétriques par rapport au centre.
    pour ton exemple A = 8 et F = 11
    A = a + b = 8
    F = a + b - c = 11
    pour calculer c on a A - F = 8 - 11 = c = -3
    donc on a a+b = 8 et c = -3
    pour connaitre a et b on a besoin d'une deuxième équation

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    noureddine2

    Re : Carré magique

    Citation Envoyé par noureddine2 Voir le message

    pour ton exemple A = 8 et F = 11
    salut , on peut utiliser la formule simple
    Formules simples
    m – 1 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,, m + 4 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,, m – 3
    m – 2 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,, m ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,, m + 2
    m + 3 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,, m – 4 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,, m + 1
    avec
    m-1= 8 et m+2=11
    m = 9 on aura

    8 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,, 13 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,, 6
    7 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,, 9 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,, 11
    12 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,, 5 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,, 10

  8. #6
    frederic46000

    Re : Carré magique

    il y a plus simple il me semble avec les équations que je donne il suffit de remplacer S par 3E par exemple dans:
    S=B+E+H
    ce qui donne : B+H=2E
    et ainsi de suite on trouve les d’équations simplifiées
    (la simplification des équations peut être un bon exercice de niveau 6ème)

    au carré magique avec les valeurs de A=8 et F=11 l'ensemble des solutions est infini puisque Z est infini

    une fois la troisième valeur choisie et placée on résout le reste du carré en trouvant S au plus tôt et le reste par calcul mental sans utiliser aucune équation( niveau CM2).

    exemple :
    je pose 7 au centre soit E=7 donc S=3X7=21
    8+7=15 donc I=6
    11+6=17 donc C=4
    8+4=12 donc B=9
    9+7=16 donc H=6
    6+5=11 donc G=10
    10+8=18 donc D=3
    terminé.

    on peut changer à l'infini la valeur au centre par exemple et finir par calcul mental le carré
    Avis au professeurs de 6ème et aux instituteurs de CM2 pour exercer en s'amusant les enfants au calcul mental.

    autre exemple :
    si je pose
    A=8
    B=3
    C=5
    la somme donne 16
    le carré est insolvable dans l'ensemble Z car E=16/3
    dernier exemple:
    A=8
    E=3
    I=5
    carré impossible car S=3E=9 et non S=8+3+5=16
    Fred

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  10. #7
    murzomurzo

    Re : Carré magique

    ces équations ne sont pas indépendantes donc le fait qu'il y ait 8 n'est pas pertinant
    un carré magique c'est bien plus exigeant que ça il faut que les nombres soient 1,2,3,4,5,6,7,8,9
    exemple le carré
    1 1 1
    1 1 1
    1 1 1 n'a vraiment rien de magique
    donc les 8 équations proposées donnent s = 3e etcomme 3s=1+2 .. +9 =45 s=15 e=5
    s=1+ 8+6 donc 1 ne peut pas etre dans un coin a une rotation ou symétrie près le carré est
    8 1 6
    d 5 f
    g 9 h

    d, f ,g, h sont 2 3 4 7 avec d+f=10 g+h=6 d+g=7 f+h=9 donc f=g+3 soit f=7 g=4 d=3 h=2
    il y a donc unicité a rotation et symétrie près
    8 1 6
    3 5 7
    4 9 2
    pour les carrés de taille supérieures il y a de plus en plus de solutions
    essaie déjà de trouver tous les carrés magique de taille 4 (avec les nombres 1 2 3 ....16)
    puis tous les carrés magiques de taille 5 (avec 1 2 3 ....25)

  11. #8
    frederic46000

    Re : Carré magique

    bonjour

    merci de ta réponse murzomurzo
    petite remarque : les carrés magiques de 3 sur 3 ne sont pas nécessairement fait de chiffres de 1 à 9.
    C'est pour cela que j'emploie le terme de l'ensemble Z (voir cours de 4ème ).
    cela permet de résoudre beaucoup plus de carré et de voir les carrés impossibles (voir exemple ci dessus).

    Pour les carrés > 3 X 3 effectivement c'est plus dur car il y a trop peu d'équations pour trop d'inconnus.

    J'arrive à faire les carrés multiples de 3 en faisant plusieurs carrés de 3 X 3 et cela respecte le principe
    pour tout carré impair le chiffre du milieu X par le nombre de cases d'un côté donne la somme.

    fred
    Je sais que je ne sais rien. (SOCRATE)

  12. #9
    murzomurzo

    Re : Carré magique

    bonjour
    A l'origine un carré magique de taille n ne contient que les nombres 1 2 3 ... n²
    c'est une généralisation très affaiblissante, il existe une façon très simple de faire un carré magique (au sens fort)
    dans le cas ou n est impair je la detaille en dessous pour n=7
    faire un tableau 13 sur 13 partir de la case de gauche à la ligne7 en allant en diagonale (comme un fou d'échec)vers le "nord-est"
    écrire 1 2 3 4 5 6 7 puis reprendre au sud-est immédiat de 1 aller vers le nord est en écrivant 8 9 10 11 12 13 14 etc
    encadrer le tableau 7 sur 7 au centre
    il y a à l'exterieur 4 groupes de nombres déplacer ces parties extérieure vers l'interieur pour combler les trous
    en taille 3 ça donne
    -----3
    --2----6
    1----5----9
    ---4----8
    ------7
    les déplacements
    donnant
    2 7 6
    9 5 1
    4 3 8
    en taille 5
    5
    4 10
    3 9 15 3 9 15 3 16 9 22 15 3 16 9 22 15 3 16 9 22 15
    2 8 14 20 2 8 14 20 2 8 21 14 20 8 21 14 2 20 20 8 21 14 2
    1 7 13 19 25 1 7 13 19 25 1 7 13 19 25 7 13 1 19 25 7 25 13 1 19
    6 12 18 24 6 12 5 18 24 6 12 5 18 24 12 5 18 6 24 24 12 5 18 6
    11 17 23 11 4 17 10 23 11 4 17 10 23 11 4 17 10 23 11 4 17 10 23
    16 22 16 22
    21 21

    en combinant un carré 4x4 et un carré magique 3x3 ou 4x4 ou 5x5 .... on peut construire un carré magique 12x12 ou 16x16 ou 20x20 ..
    http://upload.wikimedia.org/wikipedi...on_-_1.svg.png
    Dernière modification par murzomurzo ; 15/07/2014 à 14h34. Motif: l(affichage a supprimé les espaces rendait les exemples incompréhensibles

  13. #10
    murzomurzo

    Re : Carré magique

    Citation Envoyé par murzomurzo Voir le message
    bonjour
    A l'origine un carré magique de taille n ne contient que les nombres 1 2 3 ... n²
    c'est une généralisation très affaiblissante, il existe une façon très simple de faire un carré magique (au sens fort)
    dans le cas ou n est impair je la detaille en dessous pour n=7
    faire un tableau 13 sur 13 partir de la case de gauche à la ligne7 en allant en diagonale (comme un fou d'échec)vers le "nord-est"
    écrire 1 2 3 4 5 6 7 puis reprendre au sud-est immédiat de 1 aller vers le nord est en écrivant 8 9 10 11 12 13 14 etc
    encadrer le tableau 7 sur 7 au centre
    il y a à l'exterieur 4 groupes de nombres déplacer ces parties extérieure vers l'interieur pour combler les trous
    en taille 3 ça donne
    -----3
    --2----6
    1----5----9
    ---4----8
    ------7
    les déplacements
    donnant
    2 7 6
    9 5 1
    4 3 8
    en taille 5
    5
    4 10
    3 9 15 3 9 15 3 16 9 22 15 3 16 9 22 15 3 16 9 22 15
    2 8 14 20 2 8 14 20 2 8 21 14 20 8 21 14 2 20 20 8 21 14 2
    1 7 13 19 25 1 7 13 19 25 1 7 13 19 25 7 13 1 19 25 7 25 13 1 19
    6 12 18 24 6 12 5 18 24 6 12 5 18 24 12 5 18 6 24 24 12 5 18 6
    11 17 23 11 4 17 10 23 11 4 17 10 23 11 4 17 10 23 11 4 17 10 23
    16 22 16 22
    21 21

    en combinant un carré 4x4 et un carré magique 3x3 ou 4x4 ou 5x5 .... on peut construire un carré magique 12x12 ou 16x16 ou 20x20 ..
    http://upload.wikimedia.org/wikipedi...on_-_1.svg.png
    l' envoi du message a supprimé presque tous les espaces dans la partie détaillant le cas 5x5
    c'est devenu totalement incompréhensible donc ne pas s'en occuper
    le plus simple est de le faire avec un papier et un crayon

  14. #11
    shokin

    Re : Carré magique

    Tu peux éventuellement utiliser les balises LaTeX pour les matrices. Et nous interpréterons non comme des matrices mais comme des carrés magiques. Exemple :

    Code HTML:
    [TEX]\( \array{6&1&8\\7&5&3\\2&9&4}\)[/TEX]
    donnera



    et le tout sera plus lisible.
    Dernière modification par shokin ; 15/07/2014 à 15h13.
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  15. #12
    frederic46000

    Re : Carré magique

    rebonjour,

    je connaissais cette méthode murzomurzo pour faire des carrés impairs.

    Au début des années 70 mon instituteur en CM2 nous faisait travailler le calcul mental sur des carrés magiques
    de 3 X 3.

    En sixième le professeur de Maths nous remontrer les carrés magiques dans l'ensemble Z et nous devions
    faire les calculs par extrapolation pour résoudre des carrés de 3 X 3
    avec seulement 3 chiffres au hasard (éléments de Z ).
    j'ai découvert la 9ème équation 2 ans après.

    Je pense que pour les élèves de sixième c'est un bon exercice de calcul mental pour l'addition et la soustraction.
    (Pour cela il ne faut pas se restreindre à l'utilisation des nombres de 1 à 9).

    Fred.
    p.s. : Merci à SHOKIN pour le formatage matrice.
    Je sais que je ne sais rien. (SOCRATE)

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