Vous avez dit évident ?

[invite9dc7b526]

Comment passe-t-on du théorème d'Euler, je suppose qu'il s'agit de celui-ci:
https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_Descartes-Euler
à la notion de graphe planaire ? Il doit falloir faire quand même un peu d'analyse.

il te faudrait lire le livre de Lakatos "Preuves et réfutations".
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[Matmat]

Bonjour,
Je propose ceci pour le cas où l'intersection des deux courbes avec la circonférence du carré se réduit aux points A et C pour la courbe allant de A à C, et à B et D pour la courbe allant de B à D.

Considérons la surface délimitée par les segments AB, DA et par la courbe allant de B à D.
La courbe qui part de A a son point de départ sur la frontière de cette surface (le point A) et son point d'arrivée en dehors de cette surface (le point C). Elle coupe donc la frontière de cette surface en un point au moins.
Elle ne sort pas de la surface en A (car elle est contenue dans le carré et la courbe de B à D ne passe pas par A). Elle ne sort pas par les segments AB ou DA car elle ne les coupe qu'au point A. Elle sort donc de cette surface par le morceau de circonférence qui reste et qui est constitué par la courbe allant de B à D.
CQFD.

Il reste à traiter les cas où les courbes rencontrent les côtés du carré.

Je suis assez d'accord avec cette démo mais j'aurai précisé plusieurs choses , en particulier j'aurais distingué les cas où C appartient ou pas à la courbe BD et j'aurais dit pourquoi "la courbe AC coupe la frontière de la surface en un point au moins"...

cas (1) : si C appartient pas à la courbe BD
C appartient à la courbe AC donc l'intersection des 2 courbes contient au moins C donc les courbes se coupent au moins une fois ( en C ^^) , ce qu'il fallait démontrer

cas (2) : si C n'appartient pas à la courbe BD
la surface ( appelons la S ) délimitée par les segments [AB], [DA] et par la courbe BD est connexe ( car on n'a pas besoin de lever le crayon pour tracer complètement la frontière fermée de S donc c'est une courbe de Jordan donc d'aprés le th de Jordan S est tout bonnement l'une des deux composantes connexes du complémentaire d'une courbe de Jordan dans le plan )
A appartient à S, alors que C ( puisqu'on est dans le cas où il est en dehors de S ) appartient au complémentaire de S dans le plan
La courbe AC reliant A à C de façon continue , par application du théorème du passage à la douane la courbe AC qui rencontre à la fois S et le complémentaire de S rencontre nécessairement la frontière de S or par hypothèse elle ne rencontre pas les segment [AB] et [AD] donc la courbe AC rencontre la frontière de S à l'exclusion de [AB] et [AD] et ça c'est justement la courbe BD, donc la courbe AC rencontre la courbe BD

[JPL]

Et si on déplaçait ce sujet en math ?

[Matmat]

J'ai oublié de commencer par dire puisque la courbe BD reste à l'intérieur du carré Int(S) est incluse dans Int(Carré) , or C appartient à la frontière du carré donc il n'appartient pas à Int(Carré) et donc pas non plus à Int(S) , donc si C appartient à S alors il appartient nécessairement à la frontière de S et comme il n'est ni dans [AB] ni dans [AD] soit C appartient à la courbe BD soit il n'y appartient pas et dans ce cas il est extérieur à S, d'où les 2 cas (1) et (2) de mon premier message.

[invite82078308]

Je suis assez d'accord avec cette démo mais j'aurai précisé plusieurs choses , en particulier j'aurais distingué les cas où C appartient ou pas à la courbe BD et j'aurais dit pourquoi "la courbe AC coupe la frontière de la surface en un point au moins"...

cas (1) : si C appartient pas à la courbe BD
C appartient à la courbe AC donc l'intersection des 2 courbes contient au moins C donc les courbes se coupent au moins une fois ( en C ^^) , ce qu'il fallait démontrer

cas (2) : si C n'appartient pas à la courbe BD
la surface ( appelons la S ) délimitée par les segments [AB], [DA] et par la courbe BD est connexe ( car on n'a pas besoin de lever le crayon pour tracer complètement la frontière fermée de S donc c'est une courbe de Jordan donc d'aprés le th de Jordan S est tout bonnement l'une des deux composantes connexes du complémentaire d'une courbe de Jordan dans le plan )
A appartient à S, alors que C ( puisqu'on est dans le cas où il est en dehors de S ) appartient au complémentaire de S dans le plan
La courbe AC reliant A à C de façon continue , par application du théorème du passage à la douane la courbe AC qui rencontre à la fois S et le complémentaire de S rencontre nécessairement la frontière de S or par hypothèse elle ne rencontre pas les segment [AB] et [AD] donc la courbe AC rencontre la frontière de S à l'exclusion de [AB] et [AD] et ça c'est justement la courbe BD, donc la courbe AC rencontre la courbe BD

Je suis moi même assez d'accord avec cette démo, toutefois, je n'ai pas dit que courbe qui relie B à D est ne se recoupe pas elle même, ce qui fait en particulier qu''il peut y avoir plus de deux composantes connexes dans le complémentaire de votre courbe dans le plan. Il est vrai qu'il suffit d'au moins deux composants connexes distinctes, l'une adhérente à A, l'autre à C , mais comment les définir ?

[invite82078308]

En ce qui me concerne, j'ai une préférence pour le fait de former une courbe fermée en prenant la courbe qui relie B à C de l'énoncée et une courbe reliant B à C en passant à l’extérieur du carré et derrière A que je définis à ma guise.

[invite5e6af660]

hm, la démonstration de l'inexistence est impossible... car l'on peut-etre ou pas... voir votre définition épistémologique... c'est toujours a celui qui supose une existence de le démontrer... car démontrer l'inexistence relèverait de l'absurde... c'est démontrer l'impossibilité de l'existence, mais en math comme en métaphysique tout est démontrable, du fait que l'on est dans l'imginaire pur (voir kant et sa critique de la raison pure)

toutefois, le fait que la première courbe divise la surface du carré en deux sous-parties, comprenant l'une et l'autre un des deux angles opposés, implique nécéssairement que la seconde courbe reliant B et D passe par des deux sous-parties, et elle ne le peuvent qu'en franchissant la limite entre des deux-sous partie du carré délimité par la première courbe... (est-ce mieux )

[inviteea028771]

hm, la démonstration de l'inexistence est impossible... car l'on peut-etre ou pas... voir votre définition épistémologique... c'est toujours a celui qui supose une existence de le démontrer... car démontrer l'inexistence relèverait de l'absurde... c'est démontrer l'impossibilité de l'existence, mais en math comme en métaphysique tout est démontrable, du fait que l'on est dans l'imginaire pur (voir kant et sa critique de la raison pure)

Et pourtant on a bel et bien démontré l’inexistence d'un triplet d'entiers qui vérifierait

C'est le théorème de Fermat Wiles (enfin, un cas particulier du théorème)

[Matmat]

Je suis moi même assez d'accord avec cette démo, toutefois, je n'ai pas dit que courbe qui relie B à D est ne se recoupe pas elle même, ce qui fait en particulier qu''il peut y avoir plus de deux composantes connexes dans le complémentaire de votre courbe dans le plan. Il est vrai qu'il suffit d'au moins deux composants connexes distinctes, l'une adhérente à A, l'autre à C , mais comment les définir ?

les deux composantes connexes doivent être S et le complémentaire de S pour permettre d'utiliser le théorème de passage à la douane ensuite.

Mais ça va car on a une courbe de Jordan comme frontière même quand la courbe BD se recoupe elle-même puisqu'on peut la tracer en laissant en permanence la mine du crayon dans la courbe BD union le segment AD union le segment AB comme ceci :
Notre crayon chargé de tracer la courbe de Jordan n'est en aucun cas obligé du suivre la totalité de la courbe BD , il peu chaque fois qu'il y a une intersection de boucle à franchir , prendre l'autre chemin à sa disposition dans la courbe BD, et donc le chemin que notre crayon trace n'a aucune boucle par construction donc il existe une courbe de Jordan frontière de S quelque soit le nombre de boucle sur soi que fait sur elle même la courbe BD.

[invite82078308]

il te faudrait lire le livre de Lakatos "Preuves et réfutations".

Admettons qui nous n'ayons pas tout à fait la même notion de preuve, vous et moi ou Lakatos et moi (il faudrait quand même que vous preniez la peine de m'exposer sommairement ses thèses pour que je prenne moi même la peine de m'y intéresser ...).
Je ne suis pas si formaliste que ça, d'ailleurs j'ai reconnu n'avoir pas moi même complétement formalisé ma démonstration. Au fil de la discussion, quelques arguments me sont d'ailleurs venu à l'esprit. Il me semble toutefois qu'une démonstration, pour mériter ce nom doit être, sinon formalisée, du moins complètement formalisable (on devrait pouvoir, à la limite en tirer une preuve vérifiable par ordinateur), et que ce laborieux travail doit pouvoir être fait par un mathématicien sans aucune imagination. Je n'attend pas une réponse dans le formalisme élémentaire de la théorie des ensemble, simplement à partir des notions de base de l'analyse réelle.

On trouve un petit historique de la démonstration du théorème de Jordan dans Wikipédia, avec pour conclusion que la notion d'indice a permi d'en donner enfin une démonstration rigoureuse.
Quand à tirer d'un lacet se recoupant lui même une courbe de Jordan à l'aide d'un crayon à papier comme le propose Matmat, la méthode est peu mathématique et risque d'être laborieuse si la courbe est assez compliquée. Je dirais, pour avoir moi même erré en ce sens: pourquoi s'embêter à fabriquer une courbe de Jordan alors qu'on peut faire aussi simple sans cette hypothèse.

On a un peu avancé, toutefois la question suivante reste toujours posée:

Salut,

Y pas moyen de se ramener au théorème de la valeur intermédiaire ? Ou d'utiliser une démo semblable ? Ca y ressemble pas mal.

Pour ma part, je nai pas de réponse positive à cette question.

[invitedf3b174e]

BONJOUR
Pour quoi ne pas essayer une démonstration par construction naïf ; ceci n’est qu’un essai car j’ai assez de temps cette après-midi puisque je voyage demain.
image2.jpeg
Il s’agit de 2 courbes
L’une bleue partant de A cers C
L’autre rouge partant de D vers B
A, B, C et D sont les sommets d’un carré de coté 1 (ca ne change rien que ca soit 1)
Les ordonnées des points sont : A (0, 1), B (1, 1) , C (1, 0) et D (0, 0)

La courbe bleue part du point A (0, 1), et atteigne le point C (1, 0)

C’est une fourmi qui a parcouru le trajet dans un temps TT et a laissé une odeur sur tout son chemin
Le chemin bleu peut être défini par deux fonctions continues :

Xbleue = F1(T) et Ybleue = F2(T) avec T variant de 0 à TT (tous les points (x,y) reste dans le carré)
T = 0 on a Xbleue = 0 et Ybleue = 1
T = TT on a Xbleue = 1 et Ybleue = 0

Bien

La fourmi rouge veut partir de D (0. 0) pour atteindre C (1, 1) sans traverser le chemin bleu.

Elle fait des essais, elle lance des flèche de D (0. 0) pour atteindre le segment B (1, 1) - C (1, 1) (pour l’autre segment A-B c’est en deuxième étape)
Il doit y avoir au moins une flèche qui arrive à destination sans passer par le chemin bleu

Les points parcourus par une flèche quelconque sont (x, y) avec y = b*x ( b=tg(’&) voir image)
Soit donc un segment avec y/x = b


Revenons à la courbe bleue pour voir si la fourmi rouge pourra trouver un chemin

La fourmi bleu a tracé le chemin est les coordonnés des point sont : Xbleue = F1(T) et Ybleue = F2(T)

Ybleue /Xbleue = F2(T) /F1(T) = FF(T)

La fonction FF est continue (faite de 2 fonctions continues variant de 0 à 1) ce n’est pas la peine de s’intéresser au point A (0, 1), ou FF est infinie, à traiter à part.
Cette fonction varie de + infini à 0, elle prend donc toute les valeurs positives y compris b (comme a dit deedee81, théorème de la valeur intermédiaire)

Et puisque FF(t) prend la valeur b, la flèche lancée par la fourmi rouge, lui sera retournée.

La fourmi rouge est déçue, aucune de ces flèches n’atteignent le segment B-C sans rencontrer l’odeur de la fourmi bleue sur le chemin bleue. Si elle n’atteigne pas le segment B-C, elle ne pourra pas atteindre le point B

Elle va tenter le segment A-B et c’est le même résultat

Si toute les droit y = b*x coupe la courbe bleue alors aucune courbe rouge ne pourra être construite sans couper la courbe bleue

Dernier « alors » ces deux courbes se rencontrent en au moins un point par le quelle passe la droit y = b*x

[invite82078308]

BONJOUR(...)
Elle fait des essais, elle lance des flèche de D (0. 0) pour atteindre le segment B (1, 1) - C (1, 1) (pour l’autre segment A-B c’est en deuxième étape)
Il doit y avoir au moins une flèche qui arrive à destination sans passer par le chemin bleu

Les points parcourus par une flèche quelconque sont (x, y) avec y = b*x ( b=tg(’&) voir image)
Soit donc un segment avec y/x = b
(...)
La fourmi rouge est déçue, aucune de ces flèches n’atteignent le segment B-C sans rencontrer l’odeur de la fourmi bleue sur le chemin bleue. Si elle n’atteigne pas le segment B-C, elle ne pourra pas atteindre le point B
(...)

Admettons, mais qui vous prouve que votre fourmi (pour reprendre votre style à la Martin Gardner) ne parviendra pas à ses fins en utilisant, plutôt que des flèches des missiles de croisière intelligents capables de contourner les obstacles.

[invitedf3b174e]

Admettons, mais qui vous prouve que votre fourmi (pour reprendre votre style à la Martin Gardner) ne parviendra pas à ses fins en utilisant, plutôt que des flèches des missiles de croisière intelligents capables de contourner les obstacles.

Bonjour

Si les flèches directes avec le minimum de chemin ne passent pas alors rien ne passera

Les flèches tracent des segments y = b*x, ils occupent tout l’espace, ils toucheront la courbe sans aucun doute.

Quelque soit le point (xa, yb) il y un b = yb / xa

[invite5e6af660]

toutefois, le fait que la première courbe divise la surface du carré en deux sous-parties, comprenant l'une et l'autre un des deux angles opposés, implique nécéssairement que la seconde courbe reliant B et D passe par des deux sous-parties, et elle ne le peuvent qu'en franchissant la limite entre des deux-sous partie du carré délimité par la première courbe... (est-ce mieux )

alors solution ou pas ??

[invite9dc7b526]

J'ai fini par trouver (dans un livre) une preuve du fait que si une courbe relie les points A et B du plan, alors on peut en extraire un sous-ensemble qui est une courbe simple reliant A et B. Ca a l'air évident mais comme souvent en topologie, la preuve en est assez sophistiquée. Je ne peux pas la reproduire ici, c'est une conséquence du théorème de Hahn & Mazurkiewicz.

Si on a des courbes simples on peut utiliser mon argument utilisant l'identité d'Euler, ou bien considérer un autre arc entre deux sommets opposés mais extérieur au carré et ainsi on a une courbe fermée simple et on applque le théorème de Jordan.

[invitedf3b174e]

J'ai fini par trouver (dans un livre) une preuve du fait que si une courbe relie les points A et B du plan, alors on peut en extraire un sous-ensemble qui est une courbe simple reliant A et B. Ca a l'air évident mais comme souvent en topologie, la preuve en est assez sophistiquée. Je ne peux pas la reproduire ici, c'est une conséquence du théorème de Hahn & Mazurkiewicz.

Si on a des courbes simples on peut utiliser mon argument utilisant l'identité d'Euler, ou bien considérer un autre arc entre deux sommets opposés mais extérieur au carré et ainsi on a une courbe fermée simple et on applque le théorème de Jordan.

Bonjour
La question est simple est évidente,
Pour la démonter en utilisant des théorèmes sophistiqués il vaut mieux utiliser le théorème de Schrodies-cat, qui dit :

pour tout carré ABCD, une courbe continue qui relie le point A au point C en restant à l'intérieur du carré, et une courbe continue qui relie B à D également en restant à l'intérieur du carré. Ces deux courbes se rencontrent en au moins un point

.
Pour rester dans la logique de science ludique à base de logique courante, d’intuition et de théorèmes élémentaires chercher une démonstration qui convaincra le maximum de mondes qui ignorent Hahn & Mazurkiewicz ainsi que Jordan

J’ai fait un essai au poste #41 en utilisant le théorème de la valeur intermédiaire qui est lui-même une évidence intuitionnelle

F étant une fonction continue sur un intervalle [a;b], m et M étant respectivement les minimum et maximum de F sur [a;b], pour tout réel k compris entre m et M, il existe au moins un réel c de [a;b] tel que F(c)=k.

Qu’en penser vous ?

[Matmat]

il vaut mieux utiliser le théorème de Schrodies-cat

il n'existe pas de théorème de Schrodies-cat

J’ai fait un essai au poste #41 en utilisant le théorème de la valeur intermédiaire qui est lui-même une évidence intuitionnelle

On est pas dans le cadre d'application du TVI (on est pas dans R déjà ) ... Et quand bien même on le serait la principale difficulté c'est les démonstrations de connexité pré-requises aux théorèmes qu'on va utiliser ( d'où l'idée d'utiliser du théorème de Jordan qui est quand même un des plus simple et puissant pour ça, si vous l'aimez pas trouvez en un autre pour démontrer la connexité ) .

Je suis toujours persuadé que théorème de Jordan ( pour la démo de connexité ) suivi de théorème de passage à la douane ( pour la démo que la courbe doit passer la frontière ) est le plus direct et naturel ici

[invite82078308]

il n'existe pas de théorème de Schrodies-cat

Je prétends en détenir une démonstration, mais ne l'ai pas publiée ici (c'est le but du jeu).
Cela ne peut donc prétendre à la dénomination de théorème. Peut être de conjecture, puisque même en l'absence de véritable preuve, tout le monde a l'air de considérer que mon affirmation est vraie.
En tous cas, l'attribution à mon pseudonyme est flatteuse mais à mon avis imméritée; je ne suis certainement pas le premier à avoir eu cette idée et à en avoir fait état.

J'ai fini par trouver (dans un livre) une preuve du fait que si une courbe relie les points A et B du plan, alors on peut en extraire un sous-ensemble qui est une courbe simple reliant A et B. Ca a l'air évident mais comme souvent en topologie, la preuve en est assez sophistiquée. Je ne peux pas la reproduire ici, c'est une conséquence du théorème de Hahn & Mazurkiewicz.

Si on a des courbes simples on peut utiliser mon argument utilisant l'identité d'Euler, ou bien considérer un autre arc entre deux sommets opposés mais extérieur au carré et ainsi on a une courbe fermée simple et on applique le théorème de Jordan.

Mon propos était en particulier de montrer la différence entre ce qui parait évident et ce dont la démonstration est évidente.
Je suis assez surpris en fait par cette tendance assez grégaire à vouloir ramener le problème à la notion de courbe de Jordan, et au théorème de Jordan.
Pourquoi ne pas utiliser simplement la notion de lacet, et celle d'indice qui va avec ? ce qui évite pas mal de complications ...
Il semble qu'il faut voir la la trace du programme de mathématiques dans les premières classes de l'enseignement supérieur français, ou on introduit la notion de courbe de Jordan pour se débarrasser de quelques questions enquiquinantes, et ou on ne veut pas donner trop tôt des outils trop puissants aux étudiants.

[invite9dc7b526]

Je suis assez surpris en fait par cette tendance assez grégaire à vouloir ramener le problème à la notion de courbe de Jordan, et au théorème de Jordan.
Pourquoi ne pas utiliser simplement la notion de lacet, et celle d'indice qui va avec ? ce qui évite pas mal de complications ...

eh bien expose ta démonstration à base de lacets.

[Matmat]

Je suis assez surpris en fait par cette tendance assez grégaire à vouloir ramener le problème à la notion de courbe de Jordan, et au théorème de Jordan.
Pourquoi ne pas utiliser simplement la notion de lacet, et celle d'indice qui va avec ? ce qui évite pas mal de complications ...

C'est vous qui vous rajoutez des complications je crois .
Dés lors qu'on peut déterminer une courbe de Jordan et qu'on arrive à la conclusion avec ça, utiliser un lacet plus compliqué est forcément plus compliqué .
Par ailleurs je ne vois pas en quoi l'indice sert à la démonstration ( la conclusion est valable quelque soit l'indice )

Il semble qu'il faut voir la la trace du programme de mathématiques dans les premières classes de l'enseignement supérieur français, ou on introduit la notion de courbe de Jordan pour se débarrasser de quelques questions enquiquinantes, et ou on ne veut pas donner trop tôt des outils trop puissants aux étudiants.

On se débarrasse de rien du tout , on étudie les notions progressivement c'est tout. C'est normal de commencer avec les laçets simples .

[invite82078308]

C'est vous qui vous rajoutez des complications je crois .
Dés lors qu'on peut déterminer une courbe de Jordan et qu'on arrive à la conclusion avec ça, utiliser un lacet plus compliqué est forcément plus compliqué .
Par ailleurs je ne vois pas en quoi l'indice sert à la démonstration ( la conclusion est valable quelque soit l'indice )

Avec des "dés lors que", on peut facilement tout démontrer. Minushabens à trouvé (bravo!) dans la littérature un moyen de déterminer une courbe de jordan à partir d'un lacet mais il affirme que c'est compliqué.
La définition du lacet est moins compliquée que celle de la courbe de Jordan, puisque qu'elle contient une condition de moins.
La complication n'est donc peut-être pas ou vous croyez. Je rappelle ce que j'ai dit: démontrer le théorème de Jordan rigoureusement sans utiliser la notion d'indice me parait malaisé.

En effet, qu'importe l'indice pourvu qu'il ne reste pas constant.

[invite9dc7b526]

La complication n'est donc peut-être pas ou vous croyez.

au lieu de polémiquer, montre-la cette preuve qui n'utilise pas les courbes simples.

[invite82078308]

soit.
je considère le lacet défini en raboutant la courbe qui relie B à D en restant dans le carré à une courbe passant par l’extérieur du carré qui relie B à D en passant derrière A.
Dans le cas ou la courbe qui relie B à D en restant dans le carré passe par A ou par C, le problème est résolu ! Nous nous intéresseront donc aux autres cas.
L'indice du point A par rapport à ce lacet vaut 2 pi (ou -2 pi selon l'orientation choisie):
Cela demande une justification: On notera que calculer l'indice revient à intégrer une forme différentielle exacte définie sauf en A le long d'une courbe.
On pourra donc calculer cette intégrale en deux parties, celle définie par la courbe de l'énoncée et la courbe additionnelle que j'ai utilisée . dans ce cas , on peut par déformation de la courbe tout en restant dans des parties simplement connexes du plan (puisque la forme différentielle est exacte) se ramener à un cas facile à calculer.
Pour donner une idée intuitive de la chose, vous conviendrez que mon lacet fait exactement un tour autour de A.
Par un raisonnement analogue, on constate que l'indice du point C par rapport au lacet vaut zéro.
Là, il faut quand même utiliser un théorème puissant sur l'indice qui dit que celui ci est constant sur les composantes connexes du plan auquel on a enlevé les points du lacet.
On considère maintenant un point qui parcoure la courbe menant de A à C, son indice vaut 2 pi au début et 0 à la fin, par un argument de connexité, on en déduit qu'il rencontre la courbe de l'énoncé qui relie B à D.
On notera que l'indice d'un point par rapport à une courbe est à priori défini dans le cas d'un lacet continument différentiable, mais des arguments classique de densité des fonctions continument différentiables dans l'espace des fonctions continues et de compacité permettent de généraliser au cas des courbes continues.

Je reconnais que cette démonstration n'est pas tout à fait élémentaire, mais je n'en ai pour ma part pas trouvé de plus simple.

[Matmat]

Je suis quasiment d'accord , et j'ai compris ce que à quoi vous vouliez nous amener avec les indices , mais :

je considère le lacet défini en raboutant la courbe qui relie B à D en restant dans le carré à une courbe passant par l’extérieur du carré qui relie B à D en passant derrière A.

Appelons L ce laçet .

De ceci ( ou de sa contraposée ) :

Là, il faut quand même utiliser un théorème puissant sur l'indice qui dit que celui ci est constant sur les composantes connexes du plan auquel on a enlevé les points du lacet.

Vous en déduisez ceci :

On considère maintenant un point qui parcoure la courbe menant de A à C, son indice vaut 2 pi au début et 0 à la fin, par un argument de connexité, on en déduit qu'il rencontre la courbe de l'énoncé qui relie B à D.

Mais on peut juste déduire qu'il rencontre L , pourquoi la rencontre se fait forcément entre B et D dans le laçet L , comment excluez vous la partie que vous avez rabouté ?

[invite9dc7b526]

Le morceau rabouté étant à l'extérieur du carré et la courbe A-C à l'intérieur l'intersection se fait forcément entre les courbes données au départ.

Il manque quand-même un argument : pour calculer l'indice, il faut un lacet différentiable, donc il faut déformer un peu la courbe donnée. On a donc montré que la courbe déformée a une intersection avec l'autre courbe, mais ça ne dit pas de façon évidente que c'est vrai de la courbe d'origine.

On peut peut-être raisonner comme suit : une courbe continue est compacte comme image continue du compact [0,1]. Si deux courbes f et g ne se coupent pas, il existe un nombre positif d telle que min( d(x,y) x dans f, y dans g) = d. Il reste à montrer qu'on peut trouver une courbe différentiable à distance moindre que d d'une courbe donnée. Je me demande si c'est vrai du reste... quid de la courbe de Peano (cela dit cette courbe n'est pas un contre-exemple pour le théorème puisqu'elle remplit le carré, et donc rencontre n'importe quelle autre courbe du carré).

[invite82078308]

Il manque quand-même un argument : pour calculer l'indice, il faut un lacet différentiable, donc il faut déformer un peu la courbe donnée. On a donc montré que la courbe déformée a une intersection avec l'autre courbe, mais ça ne dit pas de façon évidente que c'est vrai de la courbe d'origine.

On peut peut-être raisonner comme suit : une courbe continue est compacte comme image continue du compact [0,1]. Si deux courbes f et g ne se coupent pas, il existe un nombre positif d telle que min( d(x,y) x dans f, y dans g) = d. Il reste à montrer qu'on peut trouver une courbe différentiable à distance moindre que d d'une courbe donnée. Je me demande si c'est vrai du reste... quid de la courbe de Peano (cela dit cette courbe n'est pas un contre-exemple pour le théorème puisqu'elle remplit le carré, et donc rencontre n'importe quelle autre courbe du carré).

J'ai évacué un peu vite la question en disant " par un argument classique de densité des fonctions continument différentiables et de compacité ..."
Je précise donc ce que j'entends par par là: on peut approcher notre lacet par une suite de lacets continument différentiables, chacun aura au moins une intersection avec l'autre courbe de l'énoncée, et cette suite de points d'intersections aura au moins une valeur d'adhérence ( compacité) qui répondra à la question.
On peut aussi, il me semble généraliser la notion d'indice à des lacets simplement continus, mais c'est plus technique .