Vous avez dit évident ?

[invite82078308]

Bonjour à tous !
Je me permets de soumettre ce petit problème à votre sagacité:

Considérons un carré ABCD, une courbe continue qui relie le point A au point C en restant à l'intérieur du carré, et une courbe continue qui relie B à D également en restant à l'intérieur du carré.
Vous me direz: c'est évident, ces deux courbes se rencontrent en au moins un point !
Mais saurez vous le démontrer ?
Je n'en connais aucune démonstration élémentaire.
J'ai bien une idée de démonstration qui me semble tenir la route, mais il serait assez fastidieux de la formaliser.

En espérant ne pas vous gâcher ce bel après-midi par le tracas que cela pourrait vous causer !
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[Pio2001]

Bonjour,
Je propose ceci pour le cas où l'intersection des deux courbes avec la circonférence du carré se réduit aux points A et C pour la courbe allant de A à C, et à B et D pour la courbe allant de B à D.

Considérons la surface délimitée par les segments AB, DA et par la courbe allant de B à D.
La courbe qui part de A a son point de départ sur la frontière de cette surface (le point A) et son point d'arrivée en dehors de cette surface (le point C). Elle coupe donc la frontière de cette surface en un point au moins.
Elle ne sort pas de la surface en A (car elle est contenue dans le carré et la courbe de B à D ne passe pas par A). Elle ne sort pas par les segments AB ou DA car elle ne les coupe qu'au point A. Elle sort donc de cette surface par le morceau de circonférence qui reste et qui est constitué par la courbe allant de B à D.
CQFD.

Il reste à traiter les cas où les courbes rencontrent les côtés du carré.

[invite82078308]

Je remarquerai toutefois que je n'ai dit nulle part que les courbes ne se recoupaient pas elles même, ce qui peut un peu compliquer les choses.
Surtout, vous affirmez que le point C n'appartient pas à votre surface; j'en suis pour ma part tout aussi convaincu que vous, mais il s'agit ici d'en faire la démonstration, et c'est là à mon avis que se trouve la principale difficulté du problème.

[inviteea028771]

Peux tu prouver l'assertion suivante :

"La courbe qui part de A a son point de départ sur la frontière de cette surface (le point A) et son point d'arrivée en dehors de cette surface (le point C). Elle coupe donc la frontière de cette surface en un point au moins."

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite82078308]

Peux tu prouver l'assertion suivante :

"La courbe qui part de A a son point de départ sur la frontière de cette surface (le point A) et son point d'arrivée en dehors de cette surface (le point C). Elle coupe donc la frontière de cette surface en un point au moins."

Cela aussi est un élément de la démonstration que j'attends de vous !

[invite9dc7b526]

Dans le cas où les diagonales sont des courbes simples, si elles ne se coupaient pas on aurait une représentation planaire du graphe K4, ayant 4 faces triangulaires plus une face carrée (l'extérieur), 4 sommets et 6 arêtes, ce qui violerait l'identité d'Euler. Si les diagonales ne sont pas des courbes simples, j'imagine qu'on peut s'en sortir en "coupant les boucles" : si les courbes à boucles ne s'intersectent pas, en coupant les boucles on n'ajoute pas de points d'intersection, mais je reconnais que c'est un argument un peu vaseux.

[pm42]

Une piste avec des mathématiques assez élémentaires : on définit la fonction f qui à un point P de la courbe qui va de A à C associe distance(P à C) - distance de (P à la courbe de B à D).
Si les courbes sont continues, cette fonction est continue (ce qui n'est pas évident mais se démontre par l'absurde assez facilement je pense. A vérifier).
On suppose que la courbe qui va de B à D ne passe ni par A ni par C sinon on a 1 point d'intersection.

On a donc f(A) > 0 puisque la distance à C est celle de la diagonale, la plus longue à l'intérieur de carré.
On a aussi f(C) < 0

On a donc une fonction continue qui va de > 0 à < 0 donc elle passe par 0 et il y a une intersection.

P.S : je viens de boire un peu trop (sans blague) donc toutes mes excuses si j'ai commis une erreur évidente.

[inviteea028771]

Non, ce que tu as montré, c'est qu'il existe un point P a égale distance de C et de la courbe qui va de B à D.

[pm42]

En effet, ne pas faire de maths bourré. Bon, on doit pouvoir adapter en trouvant une fonction qui s'annule à l'intersection et qui change de signe entre les 2 cotés mais je vais attendre d'être mieux.

[invitedf3b174e]

Bonjour Schrodies-cat

Je trouve l’exercice trop facile, sauf si tu nous place dans une autre mathématique qu’il faudra nous définir

Tu me fais travailler et j’explique

Ton carré ABCD je le place dans un plan et les coordonnés des point sont :
D = (0, 0)
A = (0, aa)
B = (aa, aa)
C = (aa, 0)

La courbe continue qui relie le pont A(0, aa) au pont C(aa, 0) est f(x).
La fonction f(x) est décroissante en allant de aa à 0.
f(0) = aa et f(aa) = 0

Pour la courbe reliant D à B fonction g(x) elle est croissante allant de 0 à aa
G(0) = 0 et g(aa) = aa

La fonction h(x) = f(x) - g(x) part de aa pour x=0 et fini à –aa pour x=aa

Puisque f et g sont continues alors h est aussi une fonction continu et il existe nécessairement un xr pour lequel h(xr) = 0 car h(x) passe de aa à –aa
Si h(xr)= 0 c’est que f(xr)= g(xr)

Alors maintenant c’est quoi le problème

[inviteea028771]

Alors maintenant c’est quoi le problème

Tu ne traites que le cas ou la courbe est la courbe représentative d'une fonction...

[Pio2001]

Je remarquerai toutefois que je n'ai dit nulle part que les courbes ne se recoupaient pas elles même, ce qui peut un peu compliquer les choses.

C'est vrai, je n'ai pas parlé de ce cas. Je dirais que le trajet AB (par le côté du carré) - BD (par la courbe) - DA (par le côté du carré) forme un trajet continu qui revient à son point de départ. Il ne devrait pas être difficile d'admettre qu'il délimite une surface, quel que soit le nombre de boucles qu'il contient (contrairement à un trajet qui ne repasse pas par lui-même, comme un segment de droite).

Surtout, vous affirmez que le point C n'appartient pas à votre surface; j'en suis pour ma part tout aussi convaincu que vous, mais il s'agit ici d'en faire la démonstration, et c'est là à mon avis que se trouve la principale difficulté du problème.

Si on se limite au cas où les courbes ne touchent pas les côtés du carré, sauf au départ et à l'arrivée, cela paraît facile. Le trajet AD-DB-BA est entièrement contenu dans le carré, et ne passe pas par C.
Donc la surface qu'il délimite est elle-même entièrement contenue dans le carré.

C se trouve sur la frontière du carré. Si la surface considérée contenait C, soit C appartiendrait à sa frontière, soit sa frontière sortirait du carré pour englober C. Les deux étant exclus, C ne se trouve pas à l'intérieur de cette surface (je suppose que la surface du carré contient sa frontière, autrement dit que c'est un Fermé).

Peux tu prouver l'assertion suivante :

"La courbe qui part de A a son point de départ sur la frontière de cette surface (le point A) et son point d'arrivée en dehors de cette surface (le point C). Elle coupe donc la frontière de cette surface en un point au moins."

Mon cas particulier est celui où les courbes ne touchent pas la frontière du carré. On peut donc "se convaincre" que la courbe, au départ du point A se dirige vers l'intérieur de la surface AB-BD-DA et non vers l'extérieur de celle-ci. Comme elle aboutit à l'extérieur, il faudra qu'elle traverse la frontière.

Pour le démontrer qu'elle "part vers l'intérieur" sans s'appuyer sur une figure, je pense qu'il faut considérér les courbes et les surfaces comme des ensembles de points du plan, et déterminer lesquel sont inclus dans les autres. Voire même utiliser la notion de voisinage d'un point. Je n'ai pas fait cette partie de la démonstration.

[Deedee81]

Salut,

Y pas moyen de se ramener au théorème de la valeur intermédiaire ? Ou d'utiliser une démo semblable ? Ca y ressemble pas mal.

[invite9dc7b526]

Toujours dans le cas de courbes simples (i.e. sans auto-intersection), et dans le même esprit que ma démonstration précédente, il est facile de voir en faisant un dessin que si on a un carré avec deux diagonales qui ne se coupent pas, en nommant deux sommets sur le même côté "maisons" et les deux autres "puits", on peut ajouter une maison et un puits et compléter le fameux graphe K3,3 de façon planaire, ce qu'on sait être impossible.

[invitedf3b174e]

Tu ne traites que le cas ou la courbe est la courbe représentative d'une fonction...

Bonjour,
C’est bien,
Donc la démonstration de la réponse #10 est tout à fait juste, son problème c’est qu’elle ne concerne que les courbes représentatives d'une fonction.
Donne-moi un autre type de courbe et je vais refaire le même résonnement (…)
Carré.jpg

[JPL]

je vais refaire le même résonnement (…) [/ATTACH]

Ce sont les cloches qui résonnent... les mathématiciens raisonnent (sauf s'ils sont trop cloches !).

[invitedf3b174e]

Ce sont les cloches qui résonnent... les mathématiciens raisonnent (sauf s'ils sont trop cloches !).

oui
et alors, pour le reste du texte vous en dites quoi

ou c'est l'insulte qui vous attire et motive JPL

y-a-t-il un examen pour devenir modérateur modérément. ?

[JPL]

Désolé si tu as pu penser cela, ce n'était pas une insulte mais une plaisanterie. J'avais d'ailleurs pris la précaution de mettre un smiley.

[invitedf3b174e]

Désolé si tu as pu penser cela, ce n'était pas une insulte mais une plaisanterie. J'avais d'ailleurs pris la précaution de mettre un smiley.

Ok, no problema

Voir ci-après les 11 définitions de cloche

Cloche
adj inv
1 maladroit, boiteux
2 pour un objet, de mauvaise qualité
3 de forme évasée
nf
4 objet métallique évidé, dans lequel un battant vient produire un son en frappant l'objet lui-même
5 par extension son produit par une cloche
6 (géométrie) objet, courbe géométrique, ayant la forme d'une cloche
7 objet en creux servant à recouvrir
8 chapeau de femme sans bord
9 cloque, ampoule (Belgique)
10 ensemble des clochards
11 familier idiot, maladroit

[inviteea028771]

Donne-moi un autre type de courbe et je vais refaire le même résonnement (…)

Avec ces deux courbes, tu fais comment?

Sans titre.png

[invitedf3b174e]

Avec ces deux courbes, tu fais comment?

Pièce jointe 286635

je reçois message "Pièce jointe spécifié(e) non valide. Si vous suivez un lien valide, veuillez notifier l'administrateur"

Donne juste une description des courbes

[invite82078308]

C'est vrai, je n'ai pas parlé de ce cas. Je dirais que le trajet AB (par le côté du carré) - BD (par la courbe) - DA (par le côté du carré) forme un trajet continu qui revient à son point de départ. Il ne devrait pas être difficile d'admettre qu'il délimite une surface, quel que soit le nombre de boucles qu'il contient (contrairement à un trajet qui ne repasse pas par lui-même, comme un segment de droite).

C'est le "admettre" qui pose problème, je conçois que cela est vrai moyennant peut quelques hypothèses supplémentaires, mais je demande un démonstration ... qui ne doit donc pas reposer sur des intuitions visuelles, mais sur des faits mathématiques connus.
Note: Plutôt que de "surface", il serait pertinent de parler de composantes connexes.

Salut,

Y pas moyen de se ramener au théorème de la valeur intermédiaire ? Ou d'utiliser une démo semblable ? Ca y ressemble pas mal.

C'est ce que je m'étais dit à priori en abordant le problème, mais j'ai du recourir à des outils mathématiques bien plus avancés pour obtenir ce qui me semble être une bonne base de démonstration.
Une autre façon de voir les choses est de chercher un algorithme qui permet de calculer de façon approchée un point commun aux deux courbes. Le théorème des valeurs intermédiaires est constructif, des démonstrations usuelles donnent des algorithmes de résolution approchée d'équation; ici ...

[invite82078308]

A part ça l'idée d'une courbe fermée qui entoure une partie du plan est bonne, je suis moi aussi parti de là; mais il faut définir mathématiquement cette partie.

[invite82078308]

La discussion a l'air d'être au point mort ...
Faut-il que je vous donne un "Indice" ?

[Pio2001]

Dans la mesure où cela fait appel à des mathématiques du supérieur, je passe la main ...

[invite82078308]

En fait, ce n'est pas si compliqué que cela; la notion d'indice d'un point par rapport à une courbe permet de formaliser l'idée du nombre de tour que fait une courbe fermée autour d'un point n'appartenant pas à cette courbe. L'indice valant 2 Pi n, n étant le nombre de tours, comptés négativement dans le sens des aiguilles d'une montre et positivement en sens inverse.
La définition de l'indice est assez technique, ainsi que l'obtention de ses principales propriétés, mais une fois que cela est fait, on peut en user intuitivement.
On, notera en particulier que l'indice d'un point par rapport à un courbe ne varie pas quand cette courbe est déformée continument sans passer par ce point, ni quand on déplace continument le point sans couper la courbe.
C'est un outil fondamental pour l'étude de la topologie du plan.
Il est vrai que dans la question que j'ai posée, je vous demande de démontrer une évidence, mais cet outil permet de répondre à des questions moins évidente, comme ce classique des énigmes mathématiques: étant données trois maisons et trois usines (eau, gaz, électricité), est il possible de relier chaque maison à chaque usine sans que les conduites se croisent.
Ce problème a certainement déjà été posé sur futura-science, mais mes recherches n'ont rien donné.

[invite9dc7b526]

Il est vrai que dans la question que j'ai posée, je vous demande de démontrer une évidence, mais cet outil permet de répondre à des questions moins évidente, comme ce classique des énigmes mathématiques: étant données trois maisons et trois usines (eau, gaz, électricité), est il possible de relier chaque maison à chaque usine sans que les conduites se croisent.
Ce problème a certainement déjà été posé sur futura-science, mais mes recherches n'ont rien donné.

le fait que le graphe K3,3 n'est pas planaire se démontre de façon purement combinatoire, une fois connu le théorème d'Euler.

[invite5e6af660]

Bonjour à tous !
Je me permets de soumettre ce petit problème à votre sagacité:

Considérons un carré ABCD, une courbe continue qui relie le point A au point C en restant à l'intérieur du carré, et une courbe continue qui relie B à D également en restant à l'intérieur du carré.
Vous me direz: c'est évident, ces deux courbes se rencontrent en au moins un point !
Mais saurez vous le démontrer ?
Je n'en connais aucune démonstration élémentaire.
J'ai bien une idée de démonstration qui me semble tenir la route, mais il serait assez fastidieux de la formaliser.

En espérant ne pas vous gâcher ce bel après-midi par le tracas que cela pourrait vous causer !

ABCD un carré, chaque lettre en angle, [AC] et [CD] segment se croisant au centre du carré et à l'angle droit... en prenant deux courbes (AC) et (CD)
- existe-t-il des cas ou ces deux courbes ne se rejoigne pas : non... ?

- le simple fait de démontrer qu'il ne peut y avoir de courbe ne se croisant pas, démontre que toute les courbes se croisent en au moins un point... principe de croisement, il lui faut au moins un point de rencontre, sinon ce n'est pas un croisement.

- les diagonales peuvent-être comprises comme des variétés de diagonales (molles)

- c'est une question d'angle opposé dans le plan... il n'existe pas de chemin allant de deux angles opposé ne croisant (dans un quadrilatère) le chemin des deux autres angles opposé... (plus proche du postulat euclidien que de la démonstration toutefois)

[invite82078308]

le fait que le graphe K3,3 n'est pas planaire se démontre de façon purement combinatoire, une fois connu le théorème d'Euler.

Cela se démontre également de façon purement combinatoire avec quelques théorèmes d'indice.
Comment passe-t-on du théorème d'Euler, je suppose qu'il s'agit de celui-ci:
https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_Descartes-Euler
à la notion de graphe planaire ? Il doit falloir faire quand même un peu d'analyse.

[invite82078308]

ABCD un carré, chaque lettre en angle, [AC] et [CD] segment se croisant au centre du carré et à l'angle droit... en prenant deux courbes (AC) et (CD)
- existe-t-il des cas ou ces deux courbes ne se rejoigne pas : non... ?
(...)

D'une manière générale, en épistémologie, c'est à celui qui avance l'existence de quelque-chose de justifier ses dires.
En l'absence d'une telle justification, on doit considérer que la chose n'existe pas.
Toutefois, en mathématique, pour affirmer que quelque-chose n'existe pas, il convient de le prouver.
Faute de quoi, cette affirmation d'inexistence reste au mieux une conjecture.